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Chapter 6 · Number Play

Cryptarithms: सिर्फ़ शर्तों से अंक वापस निकालना

Sequences and hidden digits11 मिनट

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T + T + T = UT: अंकों की जगह letters हों, तो क्या हर letter के लिए 10 अंक आज़माने पड़ते हैं? नहीं। इकाई के स्तंभ में दाईं ओर से कुछ नहीं आता, इसलिए वही सबसे पहले पढ़ा जा सकता है, और वहीं से T बराबर 5 निकलता है।

मुख्य idea

अक्षरों वाली पहेली खोज जैसी दिखती है, पर खोज है नहीं। column वाला जोड़ एक कड़ी है जिसके चलने की दिशा तय है: इकाई वाला column अपने दाईं ओर की किसी चीज़ पर निर्भर नहीं करता, इसलिए उसे सबसे पहले सुलझाया जा सकता है और वह अक्सर कोई अंक सीधे पक्का कर देता है; वह बाईं ओर जो भेजता है वह हासिल (carry) है, और हासिल बहुत छोटी संख्या होती है — दो संख्याएँ जोड़ी जा रही हों तो ज़्यादा से ज़्यादा एक, और तीन हों तो ज़्यादा से ज़्यादा दो। आप जो भी column सुलझाते हैं, वह अगले को छोटा कर देता है। इस क्रम में चलें तो आज़माने को लगभग कुछ नहीं बचता, और अंक एक-एक करके निकल आते हैं। अंदाज़ा तब लगाना पड़ता है जब आपने columns को पढ़ा ही न हो।

आपको क्या आना चाहिए

  • अक्षर-के-बदले-अंक वाला जोड़ पढ़ना और बताना कि हर column क्या कहता है
  • पहचानना कि दी गई पहेली का कौन-सा column सबसे ज़्यादा जानकारी देता है, और वहीं से शुरू करना
  • इकाई वाले column से कोई अंक पक्का करना, जवाब के बजाय कारण देते हुए
  • हासिल की सीमा बताना, और बताना कि दो की जगह तीन संख्याएँ जोड़ने पर सीमा अलग क्यों होती है
  • तर्क देना कि जिस जोड़ में एक जगह बढ़ गई हो उसका सबसे बाईं ओर का अंक छोटा होना चाहिए, और बताना कि कितना छोटा
  • दो पंक्तियों वाला अक्षरों का जोड़ पूरा हल करना और वापस रखकर हल की जाँच करना
  • तय करना कि पहेली का एक हल है या कई
  • किसी और को हल ऐसे समझाना जैसे वह मजबूरन उठे क़दमों की एक कड़ी हो

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक पंक्ति में परिभाषाहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ
cryptarithmगणित का ऐसा जोड़ जिसमें अंकों की जगह अक्षर होंअंक-पहेली§6.5, p.143 पर छपा
alphameticउसी तरह की पहेली के लिए chapter का दिया दूसरा नामअक्षर-गणित§6.5, p.143 पर छपा
digitदस symbols 0 से 9 में से कोई एक, जिसकी जगह कोई अक्षर हो सकता हैअंक§6.5, p.143 पर छपा
units placeलिखी हुई संख्या का सबसे दाईं ओर का columnइकाई का स्थान§6.5, p.143 पर छपा
tens placeइकाई के ठीक बाईं ओर वाला columnदहाई का स्थान§6.5, p.143 पर छपा
carryवह मात्रा जो कोई column अपने बाईं ओर वाले column को भेजता हैहासिल§6.5, p.143 में बताया गया, पर इस chapter में इसके लिए कोई छपा शब्द नहीं
leading digitकिसी संख्या के सबसे बाईं ओर वाले अंक के लिए व्याख्या का वाक्यांश—व्याख्या का वाक्यांश; इस chapter में नहीं छपा
forcedऐसी value के लिए व्याख्या का शब्द जिसका शर्तें कोई विकल्प नहीं छोड़तीं—व्याख्या का शब्द; इस chapter में नहीं छपा

Hindi column में standard NCERT Hindi गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash Part I का Hindi संस्करण इस brief के लिए इस्तेमाल हुए corpus में नहीं है, इसलिए इन्हें Hindi छपाई से मिलाया नहीं गया — Notes देखें।

व्याख्या के लिए एक सावधानी। chapter बस इतना कहता है कि हर अक्षर 0 से 9 तक का कोई अंक है। वह कभी नहीं कहता कि अलग-अलग अक्षरों के अंक अलग-अलग होने चाहिए — और सातों में से किसी भी पहेली को हल करने के लिए उस नियम की ज़रूरत नहीं। उसे चुपके से मत ले आइए।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "अक्षर एक पहेली से अगली पहेली तक अपनी values रखते हैं।" नहीं रखते। T पहली पहेली में 5 है, p.143 पर, और आख़िरी पहेली में 1, p.144 पर। हर पहेली नया बँटवारा है, और जो student values आगे ले जाता है उसे विरोधाभास मिलेंगे और वह ख़ुद को दोष देगा।
  • "हर अक्षर के लिए दसों अंक आज़माने पड़ते हैं।" तीन अक्षरों के लिए हज़ार combinations होंगे। chapter के अपने सवाल — क्या यह 2 हो सकता है, क्या 3 हो सकता है — आज़माइश जैसे दिखते हैं, पर असल में छाँटकर हटाने का प्रदर्शन हैं।
  • "हासिल हमेशा 1 होता है।" दो संख्याएँ जोड़ी जा रही हों तो हाँ। तीन हों, तो कोई column 2 भेज सकता है। पहेली 1 तीन संख्याएँ जोड़ती है, इसलिए वहाँ सीमा अलग है, और नियम को सपाट कह देना chapter के बिल्कुल पहले उदाहरण पर ही ग़लत होगा।
  • "अगर जोड़ में जोड़ी जा रही संख्याओं से एक अंक ज़्यादा है, तो वह अतिरिक्त अंक कुछ भी हो सकता है।" दो अंकों वाली दो संख्याएँ ज़्यादा से ज़्यादा 198 तक पहुँचती हैं, इसलिए सबसे बाईं ओर का अतिरिक्त अंक सिर्फ़ 1 हो सकता है। यही एक observation छपी हुई दो पहेलियों को खोल देता है।
  • "अलग-अलग अक्षरों के अंक अलग-अलग होने चाहिए।" यह और जगह आम चलन है, पर यह chapter इसे लागू नहीं करता। यहाँ किसी चीज़ को इसकी ज़रूरत नहीं।
  • "जहाँ से पहेली सबसे आसान दिखे, वहीं से शुरू करो।" वहाँ से शुरू करो जहाँ से जानकारी बहती है। columns बाईं ओर आगे बढ़ाते हैं, इसलिए सबसे दाईं ओर वाला column ही अकेला है जिसे और कुछ जाने बिना पढ़ा जा सकता है। कोई भी दूसरा शुरुआती क़दम जुआ है।
  • "जैसे ही मुझे चलने वाले अंक मिल गए, मेरा काम ख़त्म।" तब तक नहीं, जब तक आप यह न दिखा दें कि और कुछ नहीं चलता। कुछ पहेलियों के कई जवाब होते हैं, और एक ढूँढ़ने और यह दिखाने में कि वही अकेला है, वही फ़र्क़ है जो grid वाले section ने किया था।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 6.5 Q11

पूरा transcript1,526 शब्द

आज जोड़ के ऐसे सवाल, जिनमें अंकों की जगह letter लिखे हैं, और हमें अंक ढूँढने हैं। पहली नज़र में यह अंदाज़े का खेल लगता है, हर letter के लिए 10 अंक आज़माओ। पर आज देखेंगे कि स्तंभ सही क्रम में पढ़ो, तो आज़माने को लगभग कुछ बचता ही नहीं। खेल का एक नियम, एक सवाल के अंदर हर letter का अंक हर जगह वही रहता है। अलग letter अलग अंक हों, यह ज़रूरी नहीं, इन सवालों में यह शर्त नहीं है।

और किसी संख्या का पहला अंक 0 नहीं होता, वरना वह सच में उतने अंकों की संख्या नहीं। पहला सवाल, T धन T धन T, बराबर U T, यानी एक अंक को 3 बार जोड़ो तो एक 2 अंकों की संख्या। क्या T 2 हो सकता है, या 3? जवाब के लिए सही जगह से शुरू करना होगा। जोड़ में हर स्तंभ अपना हासिल बाईं ओर भेजता है, इसलिए इकाई वाले स्तंभ में दाईं ओर से कुछ नहीं आता।

इकाई का स्तंभ ही अकेला है जिसे बाकी कुछ जाने बिना पढ़ा जा सकता है, तो शुरुआत वहीं से। इकाई पर 3 बार T का आखिरी अंक खुद T होना चाहिए। T बराबर 2, तो 3 बार 2 का आखिरी अंक 6, 2 नहीं, और T बराबर 3, तो 9, 3 नहीं। सभी 10 अंक जाँचो, यह शर्त बस 0 और 5 पूरी करते हैं। ध्यान रहे, 2 और 3 पूछना अंदाज़ा नहीं था, वह हटाने का तरीका था, हर हटाया अंक एक वजह से हटा।

T बराबर 0 हो, तो जोड़ भी 0, कोई 2 अंकों की संख्या नहीं। तो T बराबर 5, और 5 धन 5 धन 5 बराबर 15, यानी U बराबर 1। T और U चुनने के कुल 100 तरीके हैं, और सब जाँचने पर ठीक 1 चलता है। अब सवाल बदलो, T धन T बराबर U T, 3 की जगह 2 बार, तो क्या होगा? इकाई पर 2 बार T का आखिरी अंक T हो, यह बस 0 के लिए सच है।

और 0 से 2 अंकों का जोड़ नहीं बनता, तो इस सवाल का कोई हल नहीं, ठीक 0। यानी वही इकाई वाला तर्क यह भी साबित कर देता है कि हल है ही नहीं, बिना एक भी कोशिश के। दूसरा सवाल, K 2 धन K 2, बराबर H M M, और हमें K, H और M ढूँढने हैं। K 2 का मतलब, दहाई पर K और इकाई पर 2, यानी 10 बार K, धन 2।

M क्या होना चाहिए? इकाई का स्तंभ, 2 धन 2, यानी 4, कोई हासिल नहीं, तो M बराबर 4। एक ही कदम में एक letter पक्का, 10 विकल्पों में से बस 1 बचा। और जो स्तंभ सुलझता है, वह अगले स्तंभ के विकल्प घटा देता है। अब H, क्या वह 2 या 3 हो सकता है? यहाँ 2 अंकों की 2 संख्याओं का सबसे बड़ा जोड़, 99 धन 99, यानी 198।

तो 3 अंकों का जोड़ 200 तक पहुँच ही नहीं सकता, H बराबर 1। अब जोड़ पता है, 1, 4, 4, यानी 144। तो K 2, 144 का आधा, यानी 72, और K बराबर 7। जाँचो, 72 धन 72 बराबर 144। H, K और M के कुल 1000 विकल्प, और सब जाँचने पर ठीक 1 चला। दूसरे सवाल में 3 letters, H, K और M, तो शुरू में 1000 विकल्प।

इकाई ने M पक्का किया, तो बचे 100। सीमा ने H पक्का किया, तो बचे 10, बस K के 10 विकल्प। और दहाई का स्तंभ, K धन K बराबर 14, यानी K बराबर 7, तो बचा ठीक 1। हर सुलझा स्तंभ अगले का काम घटाता गया, यही कड़ी का मतलब है, और इसीलिए क्रम मायने रखता है। हर स्तंभ बाईं ओर एक हासिल भेजता है, वह कितना बड़ा हो सकता है?

और 2 संख्याएँ जोड़ो, तो एक स्तंभ में सबसे ज़्यादा 9 धन 9 धन 1, यानी 19, तो हासिल ज़्यादा से ज़्यादा 1। पहले सवाल में 5 धन 5 धन 5 बराबर 15, वहाँ हासिल 1 गया, पर 9 धन 9 धन 9 होता, तो 27, और हासिल 2। अब 3 संख्याएँ जोड़ो, तो 9 धन 9 धन 9, और पीछे से 2 तक का हासिल, यानी 29 तक, तो हासिल 2 तक।

हर संभव स्तंभ जोड़कर देखा गया, सबसे बड़ा हासिल सच में यही निकला। इसलिए हासिल हमेशा 1, यह कहना गलत है, पहले सवाल में 3 संख्याएँ जुड़ रही थीं। पर हासिल हमेशा छोटा होता है, और यही छोटापन हर स्तंभ को बाँध देता है। अब 4 और सवाल, पहला, Y Y धन Z, बराबर Z, O, O। जोड़ 3 अंकों का है, और 2 अंकों की संख्या में एक अंक जोड़कर 99 धन 9, यानी 108 से ज़्यादा नहीं जाता, तो Z बराबर 1, और O बराबर 0।

इकाई से भी जाँचो, Y धन 1 का आखिरी अंक 0, तो Y बराबर 9, दोनों रास्ते एक ही जवाब पर। अब Y Y धन 1 बराबर 100, तो Y Y बराबर 99। देखो, 99 धन 1 बराबर 100, और सब जाँचने पर यही अकेला हल। दूसरा, B 5 धन 3 D, बराबर E D 5। इकाई पर 5 धन D का आखिरी अंक 5, तो D बराबर 0, 10 में से बस 1 अंक।

दहाई पर B धन 3, और जवाब में दहाई का अंक D, यानी 0, तो B धन 3 बराबर 10, B बराबर 7, और हासिल 1 से E बराबर 1। स्तंभ से जाँचो, इकाई 5 धन 0 बराबर 5, दहाई 7 धन 3 बराबर 10, 0 लिखो और 1 आगे, वही E। यहाँ 75 धन 30 बराबर 105, और यही अकेला हल। तीसरा, K P धन K P, बराबर P R R।

फिर वही सीमा, 198 से ज़्यादा नहीं, तो P बराबर 1। अब इकाई पर 1 धन 1 बराबर 2, तो R बराबर 2, और जोड़ 1, 2, 2। दहाई पर K धन K से जवाब की दहाई 2 और आगे 1 का हासिल बनना है, यानी K धन K बराबर 12, K बराबर 6। तो 61 धन 61 बराबर 122। चौथा, C 1 धन C, बराबर 1 F F। और 2 अंकों की संख्या में एक अंक जोड़कर 100 पार करना है, यह तभी जब C 1 कम से कम 91 हो, तो C बराबर 9।

अब 91 धन 9, बराबर 100, तो F बराबर 0। स्तंभ से भी, इकाई 1 धन 9 बराबर 10, 0 लिखो, 1 आगे, फिर दहाई 9 धन 1 बराबर 10, फिर 0, और आगे 1। सब जाँचने पर भी यही अकेला हल, 91 धन 9 बराबर 100। इन 4 में रास्ते अलग थे, एक इकाई से खुला, बाकी 3 सबसे आगे वाले अंक की सीमा से। दोनों में एक बात समान, हर कदम किसी पक्की जानकारी से उठा, इकाई में आने वाला कुछ नहीं, या जोड़ की ऊपरी सीमा।

जहाँ आसान लगे वहाँ से शुरू करना जुआ है, शुरू वहाँ से करो जहाँ से जानकारी बहती है। और जोड़ में एक अंक ज़्यादा हो, तो वह कुछ भी नहीं हो सकता, 2 अंकों की 2 संख्याओं से वह बस 1 ही होता है। letters वाले ऐसे जोड़ के सवालों को cryptarithm कहते हैं, यानी छिपे हुए अंकों का गणित। एक आखिरी सवाल, U T धन T A, बराबर T A T।

इकाई पर T धन A का आखिरी अंक T, यानी A बराबर 0, पर T कुछ भी हो सकता है, 10 जोड़ियाँ बचती हैं। यहाँ इकाई अकेले कुछ पक्का नहीं करती, पूरे जोड़ को एक नज़र में देखना होगा। जोड़ 3 अंकों का, 198 से ज़्यादा नहीं, तो T बराबर 1। अब दहाई पर U धन 1 से दहाई का अंक 0 और हासिल 1 चाहिए, तो U धन 1 बराबर 10, U बराबर 9।

जाँचो, इकाई 1 धन 0 बराबर 1, यानी T, दहाई 9 धन 1 बराबर 10, 0 यानी A, और आगे 1, यानी फिर T। देखो, 91 धन 10 बराबर 101, और सब जाँचने पर यही अकेला हल। ध्यान दिया, पहले सवाल में T बराबर 5 था, और आखिरी में 1। हर सवाल नई शुरुआत है, एक सवाल के अंक दूसरे में ले जाओगे तो उलझन होगी, और गलती अपनी नहीं, तरीके की होगी।

और अलग letters के अलग अंक, यह शर्त नहीं थी, फिर भी सभी 7 हलों में अलग letters के अंक अलग निकले। आँख बंद करके आज़माते, तो 3 letters के 1000 विकल्प, और इन 7 सवालों में कुल 5200। हमने हर सवाल में 1 या 2 स्तंभ पढ़े, और अंक एक एक करके गिरते गए, हल कुल 7, हर सवाल का 1। कोई हल मिल गया, तो काम खत्म नहीं, दिखाना होता है कि दूसरा कोई नहीं, और स्तंभ वाला तर्क यही दिखाता है।

अंदाज़ा तब लगाना पड़ता है, जब स्तंभ पढ़े ही न हों। खुद एक सवाल बनाओ, कोई जोड़ लो, और उसके अंकों की जगह letter लिखो। किसी और को हल करने से पहले बताओ कि कौन सा स्तंभ पहले खुलेगा, इकाई, या सबसे आगे का अंक। और हल के बाद दिखाओ कि दूसरा हल क्यों नहीं हो सकता। याद रखो, एक सवाल में हर letter का अंक हर जगह वही। इकाई से शुरू करो, उसमें कुछ और नहीं आता।

यहाँ 2 संख्याओं का हासिल 1 तक, 3 का 2 तक। और 2 अंकों की 2 संख्याओं का जोड़ 198 से ऊपर नहीं, तो तीसरा अंक 1। स्तंभ सही क्रम में पढ़ो, तो अंदाज़ा नहीं, तर्क।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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