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Chapter 1 · Geometric Twins

बराबर भुजाओं के सामने वाले angles बराबर होते हैं

What congruence lets you prove11 मिनट

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congruent के लिए 2 त्रिभुज चाहिए, और हमारे पास एक है: बराबर भुजाओं वाला त्रिभुज। ऊपर से एक लकीर खींचो, तो 2 आधे बनते हैं, और R H S उन्हें congruent साबित करता है।

मुख्य idea

अब तक congruence उन दो triangles के बीच का संबंध था जो तुम्हें दिए गए थे। यह section उसे एक औज़ार बना देता है, और जो चाल इसे मुमकिन बनाती है वह बड़ी हिम्मत वाली है: अगर तुम्हारे पास सिर्फ़ एक triangle है, तो उसे आधा काटो और दोनों आधों की तुलना करो। isosceles triangle में altitude डालो, और तुम पहले triangle में से ही दूसरा triangle बना लेते हो, दोनों आधों को RHS से congruent साबित करते हो, और नतीजा — base के दोनों angles बराबर हैं — सीधे correspondence से पढ़ लेते हो। एक अकेली आकृति के बारे में एक तथ्य दो आकृतियों के बीच के संबंध से निकाल लिया गया है, और कुछ भी नापा नहीं गया।

आपको क्या आना चाहिए

  • isosceles वाला नतीजा बताना: बराबर भुजाएँ अपने सामने वाले angles को बराबर होने पर मजबूर करती हैं
  • isosceles triangle के शीर्ष से उसके base तक altitude बनाना
  • altitude से बनने वाली तीन बराबरियाँ गिनाना, और बताना कि हर एक कहाँ से आती है
  • RHS को लागू होने वाली condition के रूप में पहचानना, और बताना कि hypotenuse कौन-सी भुजा है
  • correspondence से base के दोनों angles की बराबरी निकालना
  • समझाना कि यह तर्क सिर्फ़ छपे हुए triangle के लिए नहीं, हर isosceles triangle के लिए क्यों सही है
  • शीर्ष का angle दिया हो, तो base के दोनों angles निकालना
  • circle की दो radii से बने triangle पर यह नतीजा लगाना

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक line में परिभाषाहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
isosceles triangleऐसा triangle जिसकी दो भुजाएँ बराबर लंबाई की होंसमद्विबाहु त्रिभुज§1.3, Part II, p.17 में छपा, section के शीर्षक में भी
altitudeकिसी vertex से सामने वाली भुजा पर डाला गया perpendicularशीर्षलंब§1.3, Part II, p.17 में छपा
hypotenuseright-angled triangle की वह भुजा जो उसके right angle के सामने हैकर्ण§1.2, Part II, p.17 में छपा
RHS conditionएक right angle, एक hypotenuse और एक दूसरी भुजा, जिनसे congruence पक्की हो जाती हैसमकोण-कर्ण-भुजा (RHS) प्रतिबंध§1.2, Part II, p.17 में छपा, और §1.3, p.18 में लगाया गया
corresponding partsदो congruent triangles के वे हिस्से जो एक-दूसरे पर आ बैठते हैंसंगत भाग§1.3, Part II, p.18 में छपा
common sideवह भुजा जो तुलना किए जा रहे दोनों triangles की हैउभयनिष्ठ भुजा§1.3, Part II, p.18 में छपा
centreवह point जिससे circle की हर radius बनाई जाती हैकेंद्र§1.3, Part II, p.21 में छपा
constructionबनाकर जोड़ी गई वह चीज़ जिससे दूसरा triangle बनता हैरचना§1.3, Part II, pp.17–18 में छपा
base anglesisosceles triangle की असमान भुजा के सिरों पर बने दो anglesआधार कोणइस पाठ का शब्द, इस chapter में नहीं छपा — chapter इन्हें सिर्फ़ ∠B और ∠C कहता है
apex angleदोनों बराबर भुजाओं के बीच का angleशीर्ष कोणइस पाठ का शब्द, इस chapter में नहीं छपा
bisectorऐसी line जो किसी angle या segment को दो बराबर हिस्सों में बाँटेसमद्विभाजकइस पाठ का शब्द, इस chapter में नहीं छपा — chapter इसकी जगह बराबर हिस्सों के बारे में शब्दों में पूछता है
theoremऐसा कथन जो नापकर नहीं, प्रमाण से साबित होप्रमेयइस पाठ का शब्द, इस chapter में नहीं छपा

हिंदी column में NCERT की standard हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। इस brief के लिए Ganita Prakash Part II का हिंदी संस्करण उपलब्ध नहीं था — Notes देखें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "congruence तभी इस्तेमाल हो सकती है जब तस्वीर में दो triangles हों।" यह section इसी को तोड़ने के लिए है। p.17 पर एक triangle है और p.18 पर दो, और दूसरा पढ़ने वाले ने ख़ुद वहाँ रखा। एक अतिरिक्त line खींचना जायज़ चाल है, और यह chapter का सबसे ज़्यादा दूसरी जगह काम आने वाला विचार है।
  • "angles बराबर हैं क्योंकि तस्वीर सममित दिखती है।" तस्वीर सममित दिखती है, और ठीक इसीलिए तर्क मायने रखता है। किताब कह सकती थी "मोड़कर देख लो"; इसके बजाय वह इसे साबित करती है, और प्रमाण ही उन हालतों तक साथ जाता है जहाँ सममिति दिखती नहीं — जैसे p.21 का circle।
  • "∠B और ∠C बराबर हैं क्योंकि दोनों नीचे हैं।" वे इसलिए बराबर हैं कि AB और AC बराबर हैं। आकृति में triangle को करवट से लिटा दो और tick marks वैसे ही रखो; नतीजे को निशानों के साथ चलना चाहिए, page के साथ नहीं।
  • "altitude इसलिए चुना गया कि वह सममिति की धुरी जैसा दिखता है।" वह इसलिए चुना गया कि वह दो right angles बनाता है, और RHS को यही चाहिए। बताओ कि construction किसलिए है।
  • "नतीजा इस पर टिका है कि शीर्ष 80° का है।" section 8 को उलटी बात ज़ोर से कहनी है। तर्क में कहीं भी वह number इस्तेमाल नहीं हुआ; 80° सिर्फ़ इसलिए है कि आगे वाले सवाल का कोई जवाब हो।
  • "बराबर भुजाओं के सामने वाले angles बराबर होते हैं" को उलटकर — "बराबर angles मतलब बराबर भुजाएँ।" यह एक अलग कथन है। chapter इसे साबित नहीं करता।
  • "congruence साबित करती है कि दोनों आधे एक ही triangle हैं।" वे दो अलग triangles हैं जो हिस्से-दर-हिस्से मेल खाते हैं। correspondence A↔A, D↔D, B↔C ही ∠B को ∠C के सामने पढ़ने की छूट देती है, और इसे दिखाना चाहिए।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 1.3 Q5, Figure it Out · 1.3 Q6

पूरा transcript1,564 शब्द

congruent का सवाल अक्सर 2 दिए हुए त्रिभुजों के बारे में होता है, क्या ये मिलते हैं? पर यही विचार एक औज़ार भी बन सकता है, ऐसी बात साबित करने का, जो एक ही त्रिभुज के बारे में है। चाल साहसी है, अगर त्रिभुज एक ही है, तो उसे बीच से काटो और दोनों आधे आपस में मिलाओ। त्रिभुज A B C, ऊपर A, नीचे बाएँ B, नीचे दाएँ C।

A B पर एक निशान, A C पर भी वैसा ही निशान, यानी A B बराबर A C, दोनों 5। और A पर 80 degree। B और C पर के angles के बारे में क्या कह सकते हैं? congruent के लिए 2 त्रिभुज चाहिए, और हमारे पास एक है। तो दूसरा त्रिभुज खुद बनाओ, A से B C पर लंब गिराओ, जो B C को D पर मिले। अब एक त्रिभुज के 2 हिस्से बन गए, बाईं तरफ़ A D B, और दाईं तरफ़ A D C।

एक नई लकीर खींचना पूरी तरह जायज़ चाल है, और यही यहाँ सबसे काम का विचार है। लंब का मतलब, D पर दोनों तरफ़ right angle, 90 और 90 degree। यही लकीर क्यों? इसलिए नहीं कि बीच की लकीर जैसी दिखती है, बल्कि इसलिए कि यह 2 right angles बनाती है। और right angles ठीक वही हैं जो R H S को चाहिए। पहली बराबरी, A B बराबर A C, जो दिया था।

दूसरी, D पर दोनों angles 90, जो हमने बनाए। तीसरी, A D, जो दोनों हिस्सों की साझी भुजा है। A B, D वाले right angle के सामने है, और A C भी, यानी दोनों अपने अपने हिस्से के hypotenuse। और A D, बाकी एक भुजा, दोनों में साझी। right angle, hypotenuse, और एक भुजा, यानी R H S। तो A D B congruent A D C। जोड़ियाँ, A का A, D का D, और B का C।

ध्यान रहे, ये एक ही त्रिभुज नहीं, 2 अलग त्रिभुज हैं, जो हिस्सा दर हिस्सा मिलते हैं। और एक को दूसरे पर रखने के लिए पलटना पड़ता है। यही जोड़ी हमें B के angle को C के angle से मिलाने का हक देती है। अब जोड़ी से देखो, B का जोड़ीदार C, तो B पर का angle, C पर के angle के बराबर। और ऊपर से मुफ़्त, B D बराबर D C, D ठीक बीच में।

ध्यान रखो, हमने कोई angle नापा नहीं, बात एक त्रिभुज की थी, और निकली 2 त्रिभुजों के रिश्ते से। उसी जोड़ी से एक और बात, A पर का angle भी 2 बराबर हिस्सों में बँटा, 40 और 40। और D, B C के ठीक बीच में, क्योंकि B D और D C जोड़ीदार भुजाएँ हैं। यानी यह एक ही लकीर 3 काम करती है, लंब है, B C को आधा करती है, और A के angle को भी आधा करती है।

पर यह सब A B बराबर A C से आया है, भुजाएँ बराबर न हों तो इसकी कोई गारंटी नहीं। पूरी बात, किसी भी त्रिभुज में, बराबर भुजाओं के सामने वाले angles बराबर होते हैं। तर्क में 80 कहीं इस्तेमाल नहीं हुआ, 80 बस अगले सवाल के लिए है। A पर 1 से 179 तक हर पूरी degree, भुजाएँ 2 या 5 या 9, और हर एक अलग दिशा में, कुल 537 त्रिभुज।

सभी 537 में नीचे के दोनों angles बराबर। अब 80 degree वापस लाओ, नीचे के 2 angles बराबर, और तीनों का जोड़ 180। यहाँ 180 में से 80 घटाओ, बचे 100, जो 2 बराबर हिस्सों में बँटते हैं। हर एक 50 degree। और नापकर देखो, B पर 50, C पर 50। लंब ही एक रास्ता नहीं, अब B C का बीच का बिंदु लो, M, और A को M से जोड़ो।

A B बराबर A C, B M बराबर M C, और A M दोनों हिस्सों में साझी, यानी पूरी 3 भुजाएँ बराबर। तो S S S से A M B congruent A M C, और यह भी पलटकर ही बैठते हैं। जोड़ी से देखो, B का जोड़ीदार C, और नापो तो B पर 50, C पर 50। तीसरा तरीका, A के angle को आधा करो, 40 और 40, और वह लकीर B C को E पर मिले।

अब सवाल, A E B और A E C को मिलाने के लिए कौन सी शर्त काम आएगी? भुजाएँ A B और A C बराबर, बीच के angles 40 और 40, और A E साझी, यानी भुजा, angle, भुजा, यानी S A S। तो दोनों हिस्से फिर मिलते हैं, और B पर का angle, C पर के angle के बराबर, 50 और 50। तो 3 अलग लकीरें, 3 अलग शर्तें, लंब से R H S, बीच के बिंदु से S S S, और आधे angle से S A S।

और नतीजा हर बार एक, बराबर भुजाओं के सामने वाले angles बराबर। कौन सी लकीर खींचें, यह हम चुनते हैं, बस इतना देखना है कि बनने वाले हिस्से किसी शर्त पर पूरे उतरें। कोई कहे, चित्र तो सुडौल दिखता है, मोड़कर देख लो, बराबर हैं। दिखना सबूत नहीं, असली चीज़ तर्क है, जो वहाँ भी काम करता है जहाँ सुडौलपन नज़र नहीं आता। जैसे तब, जब त्रिभुज किसी circle के अंदर छिपा हो।

यह भी नहीं कि B और C नीचे हैं, इसलिए बराबर। त्रिभुज को करवट पर लिटाओ, निशान वैसे ही रखो। बराबर भुजाओं के सामने वाले angles, अब भी 50 और 50। नतीजा निशानों से बँधा है, पन्ने पर जगह से नहीं, त्रिभुज को जैसे भी घुमाओ। अब भुजाएँ बराबर न हों, A B, 5, और A C, 7, वही 80 degree। वही लंब गिराओ, पर अब दोनों हिस्से एक दूसरे पर नहीं बैठते।

और B पर लगभग 61, C पर लगभग 39, बराबर नहीं। यानी काम बराबर भुजाएँ कर रही हैं, लंब नहीं। एक सावधानी, हमने साबित किया, बराबर भुजाएँ, तो सामने के angles बराबर। उल्टी बात, बराबर angles, तो सामने की भुजाएँ बराबर, यह एक अलग बात है। वह यहाँ साबित नहीं हुई, इसलिए उसे इस्तेमाल मत करो। अब ऐसा त्रिभुज, जिसकी तीनों भुजाएँ बराबर हों, हर एक 6। नतीजा पहली बार लगाओ, A B बराबर A C, तो B और C पर के angles बराबर।

दूसरी बार, B A बराबर B C, तो A और C पर के angles भी बराबर। तीनों बराबर, और जोड़ 180, तो हर एक 180 बटा 3, यानी 60। नापकर देखो, तीनों 60 के। अब उल्टा चलो, बराबर भुजाओं वाला त्रिभुज, और नीचे का हर angle 70। तो ऊपर, A पर का angle कितना होगा, नापे बिना? और 180 में से 70 घटाओ, फिर एक और 70 घटाओ, बचे 40।

और ऊपर 40 रखकर त्रिभुज बनाओ, तो नीचे नापो, 70 और 70। अब A पर right angle, यानी 90, और भुजाएँ फिर बराबर। अब 180 में से 90 घटाओ, नीचे के लिए बचे 90। यह 2 बराबर हिस्सों में, हर एक 45, और नापो तो 45 और 45। तर्क यहाँ भी वही, बराबर भुजाएँ, तो नीचे के angles बराबर, बीच का angle चाहे जितना हो। एक अभ्यास, बराबर भुजाएँ, और ऊपर का angle 36 degree।

नीचे का हर angle कितना होगा, पहले खुद हिसाब लगाकर देखो। देखो, 180 में से 36 घटाओ, बचे 144। आधा करो, हर एक 72, और नापो तो 72 और 72। खुद करो, एक circle, केंद्र A, और B, C circle पर। A B और A C दोनों radius हैं, इसलिए बराबर, यहाँ किसी को निशान लगाने की ज़रूरत नहीं। A पर 120 degree। रुककर सोचो, नीचे के दोनों angles कितने होंगे, नापे बिना?

नीचे के angles बराबर, और 180 में से 120 घटाकर आधा, हर एक 30। नापो तो, 30 और 30। यहाँ चित्र में सुडौल त्रिभुज नहीं, एक circle दिखता है। फिर भी बराबर radius, बराबर भुजाएँ हैं, और तर्क अपने आप लागू। इसीलिए सबूत, दिखने से ज़्यादा काम का है। फिर एक circle, radius 4, और केंद्र A पर इस बार 60। यहाँ 180 में से 60 घटाओ, बचे 120, और आधा, हर एक 60।

यानी तीनों angles 60 के, सब बराबर। और इसलिए B C की लंबाई भी radius जितनी, पूरे 4। यानी यह वही त्रिभुज निकला जिसकी तीनों भुजाएँ बराबर हैं, जो हमने अभी देखा था। एक और, ऊपर A, बाएँ B, नीचे C, दाएँ D, और A से C तक लकीर। A B बराबर A D, और C B बराबर C D। और A C दोनों में साझी, तो S S S से A B C congruent A D C।

अब हिस्से देखो, A पर का angle 2 बराबर हिस्सों में, 30 और 30, और C पर का भी। चाल वही, पहले congruent साबित करो, फिर जोड़ी से हिस्से देखो। उसी चित्र में अब B से D तक एक और लकीर खींचो, तो ऊपर एक त्रिभुज A B D, और नीचे एक त्रिभुज C B D। ऊपर वाले में A B बराबर A D, तो यही नतीजा सीधे लगाओ, B और D पर के angles बराबर, 60 और 60।

नीचे वाले में C B बराबर C D, तो वहाँ भी B और D पर के angles बराबर, लगभग 70 और 70। ऊपर और नीचे के हिस्से जोड़ो, तो पूरे चित्र में B पर का angle और D पर का angle भी बराबर, लगभग 130 और 130। देखा, एक बार नतीजा साबित हो गया, तो वह हर नए चित्र में बिना नापे काम आता है। याद रखो, congruent एक औज़ार भी है।

एक त्रिभुज हो, तो लकीर खींचकर 2 बनाओ। लंब इसलिए, क्योंकि वह R H S के लिए right angles देता है। बराबर भुजाओं के सामने वाले angles बराबर। और उल्टी दिशा वाली बात, अलग है, यहाँ साबित नहीं हुई।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

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