like terms इकट्ठा करना, और "सरलतम रूप" किस काम का है

0:00एक आयत लो, उसकी लंबाई l है और चौड़ाई b, कोई number नहीं बताया गया। इसके चारों तरफ़ चलो, तो परिमाप बनता है l plus b plus l plus b। अब पदों को अदल-बदल करो, l को l के पास रखो और b को b के पास, तो बनता है 2 l plus 2 b। पर क्या ये 2 व्यंजक सच में एक ही हैं, जबकि हमें न लंबाई पता है न चौड़ाई?

0:29इसका जवाब देने के लिए पहले तय करना होगा कि 2 व्यंजकों के बराबर होने का मतलब क्या है। कोई भी 2 व्यंजक बराबर हैं, जब letters की जगह कोई भी numbers रखो, दोनों का मान हर बार एक ही आए। minus 12 से 12 तक, l और b की सारी 625 जोड़ियाँ आज़माई गईं, और हर एक पर दोनों व्यंजक बराबर निकले। मसलन l बराबर 3 और b बराबर 4, तो लंबा रूप 14, और छोटा रूप भी 14।

1:00पर असली वजह ये जाँचें नहीं हैं, असली वजह यह है कि छोटा रूप उन नियमों से बना जो हर number पर चलते हैं। मान रखकर देखना हिसाब की पुष्टि है, सबूत तो वे नियम हैं। तो क्या एक जगह मान मिल जाना काफ़ी है? देखो, 2 l plus 2 b और l plus 3 b, l और b दोनों 3 रखो, तो दोनों 12, बिल्कुल बराबर। पर b बराबर 4 रखो, तो पहला 14 और दूसरा 15, अलग।

1:32सारी 625 जोड़ियों में ये सिर्फ़ 25 बार मिलते हैं, ठीक तब जब l और b एक ही हों। यानी जिसने संयोग से वर्ग चुन लिया, वह एक गलत बराबरी को सही मान लेता, एक मान अलग होना साबित करता है, बराबर होना नहीं। अब पेंसिलों के पैकेट, हर पैकेट में c पेंसिलें, पहली बार 5 पैकेट, फिर 3, फिर 10। कुल पेंसिलें हैं 5 c plus 3 c plus 10 c।

2:02बंटन गुणधर्म को उल्टी तरफ़ से देखें, तो यह है bracket 5 plus 3 plus 10, गुणा c। यानी 18 c, और यह हर c के लिए सच है, सारे 25 मानों पर जाँचा गया। मान लो हर पैकेट में 50 पेंसिलें, तो 250 plus 150 plus 500, यानी 900, और 18 गुणा 50 भी 900। गौर करो, c में कुछ नहीं जुड़ा, जुड़े तो बस आगे वाले numbers। रबड़ के पैकेट भी हैं, हर एक में d रबड़, पहले 4 पैकेट, फिर 6, और फिर बस 1।

2:39तो कुल रबड़ हैं 4 d plus 6 d plus d। आखिरी d के आगे कुछ लिखा नहीं, पर उसका गुणांक 1 है, जैसे गुणा का चिह्न छुपता है, वैसे ही यह 1 भी छुपता है। इसलिए 4 plus 6 plus 1, यानी 11 d। पूरी खरीद मिलाकर हुई 18 c plus 11 d। क्या इसे और छोटा किया जा सकता है? c को 1 पर रोक कर रखो, और d को minus 12 से 12 तक बदलो, तो 25 अलग अलग जोड़ आते हैं।

3:13यानी जोड़ दोनों letters पर अलग अलग टिका है, कोई एक letter वाला व्यंजक इसके बराबर नहीं हो सकता। minus 40 से 40 तक का कोई भी number, c plus d से गुणा करके, इसके बराबर नहीं बनता, क्योंकि 18 और 11 अलग हैं। इसलिए 18 c plus 11 d अधूरा काम नहीं, यह पूरा हो चुका जवाब है, रुकना यहाँ पसंद की बात नहीं, गणित की बात है। यही नियम क्षेत्रफल में भी दिखता है, एक आयत, ऊँचाई v, और बीच से बँटा हुआ, चौड़ाई 4 और 3।

3:45दोनों टुकड़ों के क्षेत्रफल 4 v और 3 v। या पूरा आयत एक बार में, v गुणा bracket 4 plus 3, यानी 7 v, दोनों तरीके एक ही सतह नाप रहे हैं। अब उल्टा देखो, एक आयत की चौड़ाई 12 और ऊँचाई n, उसमें से 4 चौड़ी पट्टी काटो। बचे हिस्से की चौड़ाई 12 minus 4, यानी 8, तो क्षेत्रफल 8 n, और घटाकर देखो तो 12 n minus 4 n।

4:16यानी घटाने में भी पद ठीक वैसे ही इकट्ठे होते हैं जैसे जोड़ने में। अब इनके नाम, जिन पदों में वही letter हो, जैसे 5 c, c और 10 c, उन्हें समान पद कहते हैं। इसी तरह 12 n और minus 4 n भी समान पद हैं, चिह्न अलग होने से कुछ नहीं बदलता। और जिन पदों में letters अलग हों, जैसे 18 c और 11 d, वे असमान पद हैं।

4:43समान पद मिलकर एक पद बन जाते हैं, असमान पद अलग ही रहते हैं, और यही सरल करने का पूरा काम है। अब कुर्सियाँ और मेज़ें जोड़नी हैं, हर कुर्सी की किट में 40 पेंच, हर मेज़ की किट में 75। हर कुर्सी के 6 पेंच और हर मेज़ के 10 पेंच बच जाते हैं, वे वापस डिब्बे में। x कुर्सियों और y मेज़ों में लगे पेंच, 40 x plus 75 y, minus, bracket 6 x plus 10 y।

5:13bracket के आगे का minus दोनों पदों तक पहुँचता है, तो 40 x minus 6 x, और 75 y minus 10 y। समान पद मिलाओ, x वाले पदों में 40 minus 6, यानी 34 x, और y वाले पदों में 75 minus 10, यानी 65 y। और अगर bracket को घटाने की जगह जोड़ना हो, तो दोनों चिह्न बदलकर, minus 6 x और minus 10 y, जवाब वही, सारी 625 जोड़ियों पर।

5:48आम गलती यह है कि minus सिर्फ़ पहले पद तक पहुँचे, तो 40 x plus 75 y minus 6 x plus 10 y। यह बनता है 34 x plus 85 y, और मेज़ के बचे पेंच घटने की जगह जुड़ गए। सारी 625 जोड़ियों में यह सिर्फ़ 25 बार सही बैठता है, जब y ही 0 हो, यानी कोई मेज़ न हो। तो नियम वही है, minus वाला bracket खोलो, तो अंदर का हर पद चिह्न बदलता है।

6:17एक quiz, हर सही जवाब के p अंक मिलते हैं, और हर गलत जवाब पर q अंक कटते हैं। एक खिलाड़ी के 3 दौर, 7 p minus 3 q, 8 p minus 4 q, और 6 p minus 2 q। p वाले पद एक तरफ़, 7 plus 8 plus 6, यानी 21 p, और q वाले दूसरी तरफ़, 3 plus 4 plus 2, यानी minus 9 q। कुल 21 p minus 9 q, और कुछ भी आर पार नहीं जुड़ा।

6:47अगर सही जवाब के 4 अंक और गलत पर 1 कटे, तो दौर बनते हैं 25, 28 और 22। जोड़ो तो 75, और 21 गुणा 4 minus 9, यानी 84 minus 9, भी 75। दूसरे खिलाड़ी का कुल है 23 p minus 7 q। फ़र्क निकालो, 23 p minus 21 p, और minus 7 q minus, minus 9 q, यानी 2 p plus 2 q। फ़र्क एक number नहीं, एक व्यंजक है, क्योंकि वह अंक देने के तरीके पर टिका है, p और q बदलो तो फ़र्क भी बदलेगा।

7:26सही पर 4 और गलत पर 1 वाले तरीके में, यह फ़र्क 10 है। और 23 p को 3 दौरों में बाँटने के 300 तरीके हैं, इसलिए कोई एक बँटवारा ही सही जवाब नहीं। अगर गलत जवाब पर कुछ न कटे, तो q बराबर 0, और पहले खिलाड़ी के 4 अंक वाले तरीके में कुल 84। अब bracket के आगे एक number, 4 गुणा bracket x plus y, minus y।

7:54बंटन से 4 अंदर के हर पद तक जाता है, 4 x plus 4 y, फिर minus y। अब y वाले पद मिलाओ, अकेले y का गुणांक 1 है, तो 4 minus 1, यानी 3 y। पूरा जवाब 4 x plus 3 y, सारी 625 जोड़ियों पर सही। जो उस छुपे 1 को भूल जाए और 4 x plus 4 y लिखे, वह 625 में से सिर्फ़ 25 बार सही होगा, जब y 0 हो।

8:24एक चित्र, 4 पंक्तियाँ, ऊपर 4 बार 3, फिर r और s, फिर से r और s, और नीचे फिर 4 बार 3। पंक्ति दर पंक्ति देखें, तो 12, r plus s, r plus s, और 12। या समान को समान से, 2 r, 2 s, और 8 बार 3, यानी 24। या ऊपर का आधा, 12 plus r plus s, उसका 2 गुणा। तीनों रास्ते सरल करने पर एक ही जगह पहुँचते हैं, 2 r plus 2 s plus 24, सारी 625 जोड़ियों पर।

9:01पर आधा करके दुगना करना सिर्फ़ इसलिए चला कि चित्र ऊपर नीचे एक जैसा है, यह हर जगह का तरीका नहीं। अब 11 पंक्तियाँ, हर एक में एक व्यंजक और उसके आगे किसी का दावा कि यही सरलतम रूप है। सरलतम रूप का मतलब तय है, कोई bracket न बचे, समान पद मिल जाएँ, और सिर्फ़ numbers वाले पद जुड़ जाएँ। पहले से बता दें, इनमें 8 दावे गलत हैं, 3 सच हैं, और सच वालों में भी सिर्फ़ पंक्ति 2 पूरी तरह सरलतम है।

9:32अब पंक्ति 2 देखो, इसमें 3 b minus 2 b minus b है, दावा 0, और यह सही है, 3 minus 2 minus 1, यानी 0। हर गलत दावे के पीछे की गलती दोहराकर देखी गई, और वह ठीक उसी दावे पर पहुँची। पंक्ति 1, 3 a plus 2 b, दावा 5, पर 5 किसके, a के या b के? a और b अलग letters हैं, इसलिए यह जैसा है वैसा ही रहेगा।

10:02पंक्ति 3, 6 गुणा bracket p plus 2, दावा 6 p plus 8, यहाँ 6 को 2 में जोड़ दिया, जबकि 6 गुणा 2 होता है 12, तो 6 p plus 12। अब पंक्ति 4, इसमें bracket 4 x plus 3 y, minus bracket 3 x plus 4 y, और इसका दावा है x plus y, यहाँ दोनों बार बड़े में से छोटा घटाया, 4 minus 3। पर y के लिए यह 3 minus 4 है, यानी minus 1, तो सही है x minus y, और अगर बस पहला चिह्न बदलते तो x plus 7 y बनता, वह भी नहीं।

10:42पंक्ति 5, 5 minus bracket 2 minus 6 z, दावा 3 minus 6 z, minus सिर्फ़ 2 तक पहुँचा, जबकि वह अंदर के हर पद तक जाता है, सही है 3 plus 6 z। पंक्ति 6, 2 plus bracket x plus 3, दावा 2 x minus 6, बाहर का plus गुणा पढ़ लिया, और अंदर का plus minus, सही है x plus 5। पंक्ति 7, 2 y plus bracket 3 y minus 6, दावा minus y plus 6, जुड़ने वाले bracket को घटा दिया, सही है 5 y minus 6।

11:26पंक्ति 8, 7 p minus p plus 5 q minus 2 q, दावा 7 p plus 3 q, अकेले p को 0 मान लिया, जबकि उसका गुणांक 1 है, सही है 6 p plus 3 q। पंक्ति 11, 4 गुणा bracket 2 r plus 3 s plus 5, दावा minus 20 minus 8 r minus 12 s, हर पद सही आकार का, पर हर चिह्न उल्टा, सही है 8 r plus 12 s plus 20।

12:03और हर सुधार को मूल व्यंजक से हर मान पर मिलाकर देखा गया, कोई सुधार सिर्फ़ सही दिखने से नहीं माना गया। पंक्ति 9, 5 गुणा bracket 2 w plus 3 x plus 4 w, दावा 10 w plus 15 x plus 20 w, गुणा सही है, पर 10 w और 20 w समान पद हैं। उन्हें मिलाओ, तो 30 w plus 15 x, तभी काम पूरा होता है। पंक्ति 10, 3 j plus 6 k plus 9 h plus 12, दावा 3 गुणा bracket j plus 2 k plus 3 h plus 4, और यह हिसाब में सच है, 3 letters की सारी 15625 तिकड़ियों पर।

12:51पर इसमें bracket बचा है, और सरलतम की शर्त है कि कोई bracket न बचे, यानी सबसे छोटा रूप ज़रूरी नहीं सरलतम हो। फ़ैसला लंबाई नहीं करती, परिभाषा करती है। एक आखिरी सवाल, क्या सरलतम रूप में पदों की गिनती का letters की गिनती से कोई रिश्ता है? इस पूरे वीडियो के 11 सरलतम रूप देखो, किसी में भी पदों की गिनती, letters की गिनती plus 1 से ज़्यादा नहीं।

13:19वजह सीधी है, हर letter का ज़्यादा से ज़्यादा 1 पद, और सिर्फ़ numbers वाला ज़्यादा से ज़्यादा 1 पद। पर कम हो सकते हैं, 3 b minus 2 b minus b में letter है, पर सरल करने पर कोई पद नहीं बचता, बस 0। तो letters पदों की एक सीमा तय करते हैं, पक्की गिनती नहीं। याद रखो, 2 व्यंजक बराबर तब हैं, जब हर मान पर बराबर हों, एक मान पर मिलना सबूत नहीं।

13:49समान पद बंटन गुणधर्म से मिलते हैं, जुड़ते आगे वाले numbers हैं, letter नहीं। असमान पदों पर काम रुकता है, और वह रुकना जवाब है, कमी नहीं। minus वाला bracket खोलो, तो अंदर का हर पद चिह्न बदलता है, और अकेले letter के आगे 1 छुपा है। और सरलतम रूप परिभाषा से तय होता है, कोई bracket नहीं, समान पद मिले हुए, सबसे छोटा दिखना नहीं।