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Chapter 5 · Connecting the Dots...

लंबी-चौड़ी कहानियाँ: सच्चा graph भी कैसे भटका देता है

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परिवार का दरवाज़ा औसत लंबाई पर बना - 160 सेंटीमीटर, बिल्कुल सही हिसाब। फिर भी 173 वाले को हर बार 13 सेंटीमीटर झुकना पड़ता है।

मुख्य idea

इस section की हर table और हर graph सही है, और पढ़ने वाला उनसे जो भी ग़लत निष्कर्ष निकाले, वह उसका अपना है। फ़ासला हमेशा दायरे (scope) का होता है: कोई data set उन्हीं मामलों के बारे में सवाल का जवाब देता है जो उसमें सच में हैं, और जो दावा उनसे आगे पहुँचता है — सभी schools तक, किसी उम्र की हर लड़की तक, धरती की सबसे ऊँची इमारत तक — वह समर्थित नहीं है, तस्वीर चाहे कितनी भी साफ़ दिखे। इसलिए graph पढ़ने में दो अलग हुनर हैं। पन्ने से value निकालना आसान वाला है। यह कहना कि वह value आपको कौन-से वाक्य लिखने का हक़ देती है — यह section उसी के लिए है।

आपको क्या आना चाहिए

  • परखना कि बताया गया कोई दावा दी गई table या graph से समर्थित है या नहीं, और दोनों ही हालत में वजह देना
  • समझाना कि एक या दो schools का data सभी बच्चों के बारे में सवाल का फ़ैसला क्यों नहीं कर सकता
  • औसतों के बारे में दावे और हर व्यक्ति के बारे में दावे में फ़र्क़ करना
  • ऐसा graph पढ़ना जिसकी खड़ी line zero से शुरू नहीं होती, और बताना कि यह चुनाव अंतरों के दिखने पर क्या असर डालता है
  • बिना छपे number वाले bar से value का अनुमान लगाना, और जवाब पर अनुमान का label लगाना
  • ऐसा दावा पकड़ना जिसका फ़ैसला graph कर ही नहीं सकता, क्योंकि graph उस मात्रा के बारे में है ही नहीं
  • किसी रुझान को सावधानी से आगे बढ़ाना, और बताना कि आगे का अनुमान (extrapolation) किस बात से जोखिम भरा बनता है

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक पंक्ति में परिभाषाहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
generaliseजिन मामलों को नापा, उनसे मिली बात को उन मामलों तक बढ़ाना जिन्हें नहीं नापासामान्यीकरण करना§5.4 में छपा, Part II, p.126
justifiedऐसे कथन के लिए कहा जाता है जिसका data सच में समर्थन करता हैन्यायसंगत§5.4 में छपा, Part II, p.127, और justified के रूप में फिर §5.3 में, Part II, p.118
validskyscraper वाले graph पर इसी जाँच के लिए chapter का शब्दवैध§5.4 में छपा, Part II, p.131
surveyबहुत से मामलों से पूछकर या उन्हें नापकर जुटाया गया dataसर्वेक्षण§5.4 में छपा, Part II, p.126
average heightकिसी बताई गई उम्र पर किसी बताए गए समूह की mean लंबाईऔसत ऊँचाई§5.4 में छपा, Part II, pp.126–127
trendकिसी पंक्ति या column के साथ चलने पर values जिस दिशा में बढ़ती हैंप्रवृत्ति§5.4 में छपा, Part II, p.128
estimategraph से उतनी सटीकता तक पढ़ी गई value जितनी निशान इजाज़त देते हैंआकलन§5.4 में छपा, Part II, p.131 और §5.3 में, Part II, p.118
infographicऐसी तस्वीर जो चित्रों और text के साथ data भी दिखाती हैसूचना-चित्र§5.3 में छपा, Part II, p.122
zoomed inऐसे graph के लिए chapter का वर्णन जिसकी value line zero से ऊपर शुरू होती हैनिकट दृश्य§5.4 में छपा, Part II, p.128
baselineवह value जहाँ से graph की खड़ी line शुरू होती हैआधार रेखाइस पाठ का शब्द, इस chapter में नहीं छपा, जो इसी चीज़ का वर्णन उस value का नाम लेकर करता है जहाँ से line शुरू होती है
extrapolateकिसी रुझान को आपके पास मौजूद आख़िरी value से आगे ले जानाबहिर्वेशनइस पाठ का शब्द; यह chapter p.128 पर यही करने को कहता है, पर इसका नाम नहीं लेता
representative sampleमामलों का ऐसा set जिसे इस तरह चुना गया हो कि उससे मिली बातें आगे भी लागू होंप्रतिनिधि प्रतिदर्शइस पाठ का शब्द, इस chapter में नहीं छपा — किताब यह बात यह कहकर रखती है कि दो schools काफ़ी नहीं हैं

हिंदी column में standard NCERT हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash Part II का हिंदी संस्करण उपलब्ध नहीं था — Notes देखें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "अगर graph सही है, तो निष्कर्ष सुरक्षित है।" इस section का हर आँकड़ा सही है। सामने रखी गई सारी ग़लतियाँ दायरे की ग़लतियाँ हैं, और numbers जाँचने से इनमें से कोई नहीं पकड़ी जाती।
  • "दो schools में दिखा pattern आम तौर पर भी pattern है।" chapter साफ़-साफ़ इसका उल्टा कहता है, और उसके अपने बारह means ही उलटा उदाहरण हैं: लड़के-बनाम-लड़कियाँ वाली तुलना एक कक्षा से अगली कक्षा तक ख़ुद से भी मेल नहीं खाती।
  • "'इस उम्र की लड़कियाँ औसतन लंबी हैं' का मतलब है कि हर लड़की लंबी है।" p.127 का चौथा कथन ठीक इसी को पकड़ने के लिए लिखा गया है, और यही जाल §5.2 में कक्षा 5 की class के साथ एक बार पहले ही बिछ चुका है। दो बार सामना, एक ही ग़लती — दोनों बार इसे एक ही ग़लती कहकर नाम दीजिए।
  • "जो खड़ी line zero से शुरू न हो, वह बेईमानी है।" यह न chapter की राय है, न ही ठीक राय। यह एक चुनाव है जिसका मक़सद बताया गया है। अनुशासन यह है कि इसे पहचानें, बताएँ कि यह क्या कर रहा है, और कटी हुई तस्वीर से आँख के अंदाज़े से अनुपात निकालने से इनकार करें।
  • "जिस bar पर कोई number न हो, उसका इस्तेमाल नहीं हो सकता।" उसका अनुमान लगाया जा सकता है, उतनी सटीकता तक जितनी निशान इजाज़त देते हैं, और जवाब को अनुमान कहकर बताया जा सकता है। skyscraper chart के तीन bars जान-बूझकर बिना label के हैं।
  • "सबसे लंबे bar का मतलब सबसे बड़ा / सबसे ऊँचा / सबसे अच्छा।" skyscraper chart पर सबसे लंबे bar का मतलब है 150 m से ऊँची सबसे ज़्यादा इमारतें। वह इस बारे में कुछ नहीं कहता कि सबसे ऊँची कौन-सी है। हमेशा मात्रा पढ़िए, क्रम नहीं।
  • "रुझान को जितना चाहें उतना आगे बढ़ाया जा सकता है।" table 19 पर इसलिए रुकती है कि survey 19 पर रुका था। chapter जो 2029 का अनुमान माँगता है, वह ठीक-ठाक अभ्यास है; 2129 का अनुमान नहीं होगा, और यह फ़र्क़ एक वाक्य के लायक़ है।
  • "जिसका data set बड़ा है, वही सही है।" राष्ट्रीय table दो schools भर के dots से कहीं बड़ी है, और फिर भी वह किसी नाम वाले बच्चे के बारे में कुछ नहीं कह सकती। आकार दायरे की कुछ समस्याएँ ठीक करता है, सब नहीं।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 2 Q6, Figure it Out · 4 Q7, Figure it Out · 4 Q8

पूरा transcript1,836 शब्द

मान लो सभी आँकड़े और ग्राफ़ बिल्कुल सही हैं, फिर भी उनसे गलत निष्कर्ष निकालना बहुत आसान है। गलती हर बार एक ही तरह की होती है, दायरे की, आँकड़े जिन चीज़ों के बारे में हैं, बात उनसे आगे पहुँच जाती है। तो ग्राफ़ पढ़ने में 2 हुनर हैं, मान पढ़ना आसान वाला है, और यह तय करना कि वह मान तुम्हें कौन सा वाक्य कहने देता है, असली वाला।

मान लो एक परिवार के 5 लोग, लंबाइयाँ 147, 152, 160, 168, 173 सेंटीमीटर, कुल 800। वे दरवाज़ा औसत लंबाई का बनाते हैं, 800 को 5 से भाग, ठीक 160 सेंटीमीटर। अब सबसे लंबे सदस्य का क्या होगा? वह 173 का है, हर बार 13 सेंटीमीटर झुककर निकलेगा। गिनो, 2 लोगों को झुकना पड़ेगा, 168 वाले को 8 सेंटीमीटर, और 173 वाले को 13। यहाँ 2 आराम से निकलते हैं, और 1 ठीक 160 का है, बस छूता हुआ।

औसत एक सारांश है, नाप की शर्त नहीं, दरवाज़े के लिए सबसे लंबे की लंबाई चाहिए। एक और परिवार, 158, 159, 160, 161, 162, इनका औसत भी 160। पर यहाँ सबसे लंबा सिर्फ़ 162, वहाँ 173, औसत एक जैसा, सबसे लंबा अलग। तो औसत जानकर सबसे लंबे का पता नहीं चलता, यह सवाल उस आँकड़े के दायरे से बाहर है। मान लो 216 परिवार, हर परिवार में 3 लोग, और हर परिवार में औसत के दरवाज़े को जाँचा।

सभी 216 में सबसे लंबा औसत के बराबर या उससे ऊपर, कोई अपवाद नहीं। बराबर सिर्फ़ उन 6 परिवारों में जहाँ तीनों की लंबाई एक जैसी, बाकी 210 परिवारों में किसी न किसी को झुकना पड़ा। अब 2 स्कूल, A और B, कक्षा 6, 7 और 8, हर कक्षा में लड़कों और लड़कियों की लंबाई के बिंदु। हर समूह के पास बस उसका औसत लिखा है, कुल 12 औसत, और यही 12 संख्याएँ हमारे पास हैं।

अलग अलग बच्चों की लंबाई कहीं लिखी नहीं, तो इनसे कोई और सारांश ईमानदारी से नहीं निकल सकता। हर पंक्ति में देखो, औसत में कौन लंबा, लड़के या लड़कियाँ? और 6 पंक्तियों में से 4 में लड़कियाँ आगे, 2 में लड़के, और बराबर एक भी नहीं। स्कूल A में कक्षा 6 और 7 में लड़कियाँ आगे, कक्षा 8 में लड़के। स्कूल B में कक्षा 6 में लड़कियाँ, कक्षा 7 में लड़के, कक्षा 8 में फिर लड़कियाँ।

मतलब इन आँकड़ों में लड़के लड़कियों की तुलना की कोई एक दिशा ही नहीं, एक स्कूल भी खुद से सहमत नहीं। सबसे करीबी पंक्ति, स्कूल A, कक्षा 7, लड़कियाँ 141 दशमलव 8 3, लड़के 141 दशमलव 8 0। फ़र्क सिर्फ़ 0 दशमलव 0 3 सेंटीमीटर, 1 मिलीमीटर का भी छोटा सा हिस्सा। सबसे बड़ा फ़र्क स्कूल A की कक्षा 6 में, 2 दशमलव 9 8 सेंटीमीटर, वह भी 3 से कम।

अब स्कूलों की तुलना, हर कक्षा में, लड़कों में भी और लड़कियों में भी, स्कूल B आगे, 6 में से 6 बार। इनमें सबसे छोटा फ़र्क भी 6 दशमलव 7 9 सेंटीमीटर, कक्षा 8 के लड़कों में। और यह लड़के लड़कियों के सबसे बड़े फ़र्क 2 दशमलव 9 8 से भी बड़ा, तो इन आँकड़ों की असली बड़ी बात स्कूलों का फ़र्क है। स्कूल B की कक्षा 6 के लड़के, 149 दशमलव 8 4, स्कूल A की कक्षा 8 के लड़कों, 149 दशमलव 3 5, से भी लंबे।

लड़कियों में भी यही, 150 दशमलव 2 और 147 दशमलव 8 1। ऐसा क्यों है? इन औसतों में कोई वजह लिखी नहीं, इसलिए कोई भी वजह बताना इन आँकड़ों के दायरे से बाहर। तो हम क्या कह सकते हैं, इन 6 पंक्तियों में कभी लड़कियाँ आगे, कभी लड़के। और क्या नहीं कह सकते, कि पूरे देश में या दुनिया भर में लड़के लंबे हैं या लड़कियाँ, 2 स्कूलों के बच्चे यह तय नहीं कर सकते।

अब एक बड़ा सर्वे, उम्र 5 से 19 तक, हर उम्र की औसत लंबाई, 4 सर्वे, हर बार 10 साल के अंतर पर। हर सर्वे में लड़कों और लड़कियों का अलग कॉलम, तो कुल 120 संख्याएँ, इतनी कि एक एक पढ़ी नहीं जा सकतीं। कोने देखो, सर्वे 1 में 5 साल के लड़के 101 दशमलव 3, लड़कियाँ 100 दशमलव 0, सर्वे 4 में 19 साल के लड़के 166 दशमलव 5, लड़कियाँ 155 दशमलव 2।

पहला दावा, सर्वे 1 से सर्वे 4 तक हर उम्र पर, लड़कों और लड़कियों दोनों की, औसत लंबाई बढ़ी, सही? जाँचने के लिए 30 जोड़ियाँ, और 30 की 30 में बढ़त। सबसे कम बढ़त 3 दशमलव 0 सेंटीमीटर, 19 साल के लड़कों में, सबसे ज़्यादा 7 दशमलव 2, 5 साल की लड़कियों में, तो दावा सही। पर दावा ज़रा बदलो, हर 10 साल में बढ़ी, तो जवाब बदल जाता है।

पहले सर्वे से दूसरे सर्वे तक, 23 खानों में बढ़त, 6 में गिरावट, और 1 में बिल्कुल बराबर, 16 साल की लड़कियाँ, दोनों बार 150 दशमलव 1। गिरावट छोटी, सबसे बड़ी भी 0 दशमलव 2 सेंटीमीटर, पर एक शब्द बदला और दावा गलत हो गया। दूसरा दावा, पहले सर्वे की 13 साल की लड़कियाँ, तीसरे सर्वे की 14 साल की लड़कियों से लंबी? बस 2 खाने देखो, 143 दशमलव 2 और 148 दशमलव 0।

पहला दूसरे से 4 दशमलव 8 कम, तो दावा गलत। तीसरा दावा, सर्वे 4 के 15 साल के लड़के, सर्वे 1 के 16 साल के लड़कों से लंबे। खाने हैं 159 दशमलव 0 और 158 दशमलव 9। सही, पर सिर्फ़ 0 दशमलव 1 सेंटीमीटर से, यानी 1 मिलीमीटर, कोई ग्राफ़ इतना फ़र्क नहीं दिखा पाता। अगला दावा, हर उम्र पर लड़कों का औसत लड़कियों से ज़्यादा, सही? गलत करने के लिए एक उल्टा उदाहरण काफ़ी, और यहाँ 11 हैं, ऐसे खाने जहाँ लड़कियाँ आगे।

सभी 4 सर्वे में ऐसा होता है, और सर्वे 4 में उम्र 5, 10, 11, 12 पर। सर्वे 4 में लड़कों की सबसे बड़ी सालाना बढ़त 6 दशमलव 2 सेंटीमीटर, 12 से 13 साल के बीच। लड़कियों की 5 दशमलव 8, 10 से 11 के बीच, यानी 2 साल पहले। इसीलिए लड़कियाँ बस 12 तक की उम्र में आगे दिखती हैं, 13 से आगे सभी 28 खानों में लड़के आगे।

एक और दावा, हर 13 साल की लड़की हर 11 साल की लड़की से लंबी है? तालिका में सिर्फ़ औसत हैं, सर्वे 4 में 147 दशमलव 7 और 138 दशमलव 6, 9 दशमलव 1 सेंटीमीटर का फ़र्क। पर दावा हर एक लड़की के बारे में है, और औसत किसी एक के बारे में कुछ नहीं कहता। मान लो 5 लड़कियाँ 11 साल की, औसत ठीक 138 दशमलव 6, और 5 लड़कियाँ 13 साल की, औसत ठीक 147 दशमलव 7।

अब 25 जोड़ियों में से 1 में छोटी वाली लंबी, 143 दशमलव 0 की 11 साल वाली, 142 दशमलव 5 की 13 साल वाली से। औसत बिल्कुल सही, फिर भी दावा गलत, यह वही दरवाज़े वाली गलती है, सारांश को हर एक पर लागू करना। आख़िरी दावा, लड़के 19 के बाद भी बढ़ते रहते हैं? तालिका 19 पर रुक जाती है, 20 साल की कोई पंक्ति है ही नहीं, तो यह तालिका इसका जवाब नहीं दे सकती।

इशारा ज़रूर है, सर्वे 4 में 18 से 19 तक लड़के बस 0 दशमलव 5 बढ़े, लड़कियाँ 0, दोनों साल 155 दशमलव 2, पर इशारा जवाब नहीं। देखो, 19 साल के लड़कों की लंबाई सर्वे दर सर्वे 0 दशमलव 7, 0 दशमलव 9 और 1 दशमलव 4 बढ़ी। औसत ठीक 1 सेंटीमीटर, तो अगले सर्वे का अंदाज़ा लगभग 167 दशमलव 5, एक कदम आगे, यह ठीक है। पर यही रुझान बहुत आगे तक खींचना, बहुत सारे सर्वे आगे तक, उसका कोई आधार नहीं।

उल्टी दिशा में भी देखो, 5 साल के आसपास लड़के साल में 6 सेंटीमीटर बढ़ते हैं। यही कदम 5 साल पीछे जन्म तक चलाओ, तो नवजात 77 दशमलव 1 सेंटीमीटर का निकलेगा। जबकि नवजात लगभग 50 सेंटीमीटर का होता है, यह अंदाज़ा 27 दशमलव 1 ज़्यादा, रुझान अपने दायरे में सही है, बाहर बेकार। ऐसे आँकड़ों के ग्राफ़ में पैमाना अक्सर 0 से नहीं, 145 से शुरू होता है, ताकि पास से दिखे।

यहाँ 3 दशमलव 0 सेंटीमीटर की बढ़त, 0 से 170 के पूरे चित्र में सिर्फ़ लगभग 1 दशमलव 8 प्रतिशत। और 145 से 185 की खिड़की, 40 सेंटीमीटर ऊँची, उसमें वही बढ़त 7 दशमलव 5 प्रतिशत, 4 दशमलव 2 5 गुना बड़ी दिखती है। पर एक कीमत है, 151 दशमलव 9 और 166 दशमलव 5 असल में लगभग 1 दशमलव 1 0 गुना के फ़र्क पर। खिड़की में उनकी पट्टियाँ ऊँचाई के 17 दशमलव 2 5 और 53 दशमलव 7 5 प्रतिशत पर, यानी लगभग 3 दशमलव 1 2 गुना।

दोनों बातें सच हैं, खिड़की छोटे फ़र्क दिखाती है, और पट्टियों का अनुपात बिगाड़ देती है, तो ऐसे चित्र में गुना कभी आँख से तय नहीं करना चाहिए। अब एक और चार्ट, 20 शहर, हर शहर में 150 मीटर से ऊँची कितनी इमारतें, ऊपर से नीचे घटते क्रम में। अब 17 पट्टियों पर संख्या लिखी है, 3 खाली छोड़ी गई हैं, पंक्ति 3, 7, 20। जिन पट्टियों पर संख्या नहीं, उनका भी अंदाज़ा लगता है, क्रम की वजह से पंक्ति 3 का मान 251 और 367 के बीच, पंक्ति 20 का 46 से ज़्यादा नहीं।

पंक्ति 13 पर 86 इमारतें। उसके ऊपर 12 पंक्तियाँ, नीचे 7, कुल मिलाकर 20। अब 2 दावे, ठीक 12 शहरों में 86 से ज़्यादा इमारतें हैं, और सिर्फ़ 7 शहरों में कम, कौन सा सही? पहला ठीक है, यह सबसे ज़्यादा इमारतों वाले शहरों की क्रम सूची है, जो शहर इसमें नहीं, उसके पास आख़िरी पंक्ति से भी कम। दूसरे के लिए दुनिया का हर शहर इस चार्ट पर होना चाहिए, और चार्ट में बस 20 पंक्तियाँ हैं, तो यह दावा चार्ट से नहीं निकलता।

और एक दावा, दुनिया की सबसे ऊँची इमारत सबसे ऊपर वाले शहर में है। यह चार्ट इमारतें गिनता है, उनकी ऊँचाई नहीं नापता, सबसे लंबी पट्टी मतलब सबसे ज़्यादा इमारतें, सबसे ऊँची इमारत नहीं। तो यह दावा न सही साबित होता, न गलत, चार्ट से तय ही नहीं होता। आख़िर में जानवरों की सबसे तेज़ रफ़्तार, किलोमीटर प्रति घंटा, 15 जानवर, हवा में, ज़मीन पर और पानी में, हर जगह 5।

पानी वालों में सेलफ़िश 109, डॉल्फ़िन 40, सी लायन 40, पेंगुइन 35, व्हेल 26। अब दावा, सेलफ़िश व्हेल से लगभग 4 गुना तेज़ है। देखो, 109 को 26 से भाग, लगभग 4 दशमलव 1 9, तो हाँ, लगभग 4 गुना, यह आँकड़ों से तय होता है। और दावा, सेलफ़िश दुनिया की सबसे तेज़ तैराक है? इस चार्ट के 5 तैराकों में सबसे तेज़, हाँ, पर दुनिया में, चार्ट पर सिर्फ़ 15 जानवर हैं, बाकी के बारे में यह कुछ नहीं कहता।

क्या बड़ा आँकड़ा हमेशा सही? सर्वे की तालिका 2 स्कूलों से कहीं बड़ी है। फिर भी वह किसी एक बच्चे की लंबाई के बारे में कुछ नहीं कहती, आकार कुछ दायरे की समस्याएँ सुलझाता है, सब नहीं। सही आँकड़े से भी गलत निष्कर्ष निकलता है, जब बात आँकड़े के दायरे से आगे जाती है। औसत एक सारांश है, किसी एक पर लागू होने वाला नाप नहीं। हर दावे के 3 जवाब हो सकते हैं, सही, गलत, या इन आँकड़ों से तय नहीं होता।

रुझान को तालिका की सीमा से बाहर नहीं खींचना, और छोटी खिड़की वाले ग्राफ़ से गुना तय नहीं करना। हर चार्ट पर सवाल यही, यह क्या गिन रहा है, और किसके बारे में है।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

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