आकलन: जब लगभग वाला जवाब ही सही जवाब होता है

0:00एक school में कितने बच्चे हैं? दफ़्तर में एक register रखा है, और उसमें हर बच्चे का नाम अलग पंक्ति में लिखा है। वहाँ जवाब यथार्थ है — गिनी हुई संख्या। पर तुम्हारे हाथ में वो register नहीं है। तुम सिर्फ़ इतना कह सकते हो — लगभग 150, या लगभग 400, या लगभग 1000। शायद तुम्हें लग रहा हो कि असली जवाब तो register वाला ही है, और बाकी सब उससे कम।

0:26तो क्या 'लगभग' वाला जवाब गलत जवाब है? नहीं, आकलन नाकाम गिनती नहीं है। वो एक अलग सवाल का जवाब है — उस सवाल का जो कहीं आसान है। आकलन सही कब है? जब वो उस फ़ैसले के लिए काफ़ी है जो तुम कर रहे हो। पास होना अपने आप में कोई गुण नहीं है — काम का होना गुण है। मान लो एक hall है जिसमें 600 लोग बैठ सकते हैं।

0:54असली सवाल ये नहीं कि school में ठीक-ठीक कितने बच्चे हैं। सवाल ये है कि सब बैठ पाएँगे या नहीं। अगर जवाब आया 'लगभग 500', तो फ़ैसला हो गया — सब बैठ जाएँगे। यहाँ यथार्थ संख्या लिख देने से उस फ़ैसले में एक भी बात नहीं जुड़ती। यानी बारीकी सवाल से आती है। पहले तय करो कि तुम क्या तय करना चाहते हो, फिर तय होगा कि जवाब कितना बारीक चाहिए।

1:21एक साल के समूह में 3 sections हैं। एक में 32 बच्चे, दूसरे में 29, और तीसरे में 35। यहाँ जोड़ लो — 32 और 35 मिलकर 67, और उसमें 29 और — कुल 96 बच्चे। अब एक अदला-बदली। बहुत से students को यहाँ लगता है कि संख्या बदल देना बेईमानी है। 96 की जगह हम 100 रख लेते हैं। 100 गोल संख्या है, और गोल संख्या से गुणा करना आसान है — यही पूरी तरकीब है।

1:52पर अदला-बदली चुपचाप नहीं होती। साफ़ कहो — 100, 96 से 4 ज़्यादा है। हमने ऊपर की तरफ़ गोल किया है, नीचे की तरफ़ नहीं। school में ऐसे 5 साल के समूह हैं। और हम ये मान लेते हैं कि हर समूह लगभग बराबर बड़ा है। तो गुणा करो — 5 गुना 100, यानी 500. school में लगभग 500 बच्चे। अब वही गुणा सही संख्या से करके देखो — 5 गुना 96, यानी 480.

2:22500 और 480 — फ़र्क 20 का है। और ये फ़र्क कहीं बाहर से नहीं आया, हम ख़ुद इसे लेकर आए हैं। हर समूह में गोल करने से 4 जुड़े थे, और समूह 5 हैं। 4 गुना 5 — वही 20. गोल करना गुणा हुआ, तो गलती भी गुणा हुई। यहाँ पहली नज़र में लगता है कि 4 इतना छोटा है कि उससे कुछ नहीं बिगड़ेगा। इसलिए ये कहना गलत है कि गोल करने से कभी फ़र्क नहीं पड़ता।

2:52गोल करना तब सुरक्षित है जब तुम्हें पता हो कि वो किस तरफ़ धकेलता है और कितना। 480 में 20 कितना है? हर 100 पर लगभग 4. यानी हमारा आकलन लगभग 4 प्रतिशत ऊपर है। अब उस hall पर लौटो। 600 की जगह के लिए 500 भी कहता है सब बैठ जाएँगे, और 480 भी। दोनों का फ़ैसला एक ही है, तो यहाँ 20 का फ़र्क बेमानी है। पर अगर hall में सिर्फ़ 490 की जगह हो, तो 480 कहता है सब बैठ जाएँगे और 500 कहता है नहीं।

3:26वही आकलन, वही 20 का फ़र्क — पर अब वो फ़ैसला पलट देता है। इसलिए अकेले आकलन को अच्छा या बुरा नहीं कहा जा सकता। पूछना पड़ता है — किस काम के लिए काफ़ी है? आकलन को तर्क बनाने वाली चीज़ एक ही है — जो कुछ हमने मान लिया, वो लिखा हुआ सामने है। यहाँ 3 मान्यताएँ हैं। पहली — ये 3 sections आम हैं, कोई असामान्य रूप से बड़े या छोटे नहीं।

3:54दूसरी — बाकी साल के समूह भी इतने ही बड़े हैं। ये सबसे बड़ी छलाँग है, क्योंकि हमने उन्हें देखा तक नहीं। तीसरी — 96 को 100 मान लेना गुणा के बाद भी चल जाएगा। और इसी को हमने नापा — वो 20 निकला। अंदाज़े और आकलन का फ़र्क यही है। अंदाज़े में उँगली रखने की कोई जगह नहीं होती। यहाँ 3 जगह हैं, और कोई भी इनमें से किसी पर भी उँगली रख सकता है।

4:22अब लंबाई नापते हैं। दरवाज़े तक की दूरी तुम नाप सकते हो। मैदान की चौड़ाई और गेट तक की दूरी नापना मुश्किल है — फ़ीता इतना लंबा नहीं होता। इसलिए एक नाप चुनो जो हमेशा साथ रहता है — अपना कदम। मान लो एक कदम लगभग 60 cm का है। ये हमारा अपना चुना हुआ नाप है, किसी किताब का नहीं, और इसे नापकर बदला जा सकता है। दरवाज़े तक 12 कदम निकले।

4:4912 गुना 60, यानी 720 cm — लगभग 7 m. अब मैदान देखो — वो उस दूरी का लगभग 8 गुना दिखता है। 8 गुना 12, यानी 96 कदम — लगभग 58 m. और गेट लगभग 3 मैदान दूर है — यानी लगभग 173 m. देखो क्या हुआ। सिर्फ़ 12 कदम गिने गए, बाकी सब गुणा है। 12 गुना 8 गुना 3 — 288 कदम। जो नापा नहीं जा सकता था, वो नापी हुई चीज़ से बन गया।

5:25अब यही तरकीब समय पर लगाओ। तुम्हें लग सकता है कि पूरे दिन की गिनती के लिए पूरा दिन गिनना पड़ेगा। यहाँ देखो — 1 मिनट तक अपनी साँसें गिनो, और मान लो 15 निकलीं। ऊपर लिखो — 1 घंटे में 60 मिनट होते हैं। 15 गुना 60, यानी 900 साँसें हर घंटे। और 1 दिन में 24 घंटे। 900 गुना 24, यानी 21600 साँसें एक दिन में। पूरी ज़ंजीर में नाप सिर्फ़ 1 है — वो पहला मिनट।

5:58बाकी 2 गुणा हैं। 15 गुना 60 गुना 24, सीधे भी वही 21600. अब मान लो गिनती 12 निकली होती। 12 गुना 60 गुना 24 — 17280. मोटे तौर पर लगभग 20000. तो ईमानदार जवाब एक संख्या नहीं, एक पट्टी है — 17280 से 21600 के बीच। और पट्टी भी काम की है। वो बताती है कि जवाब 1000 में नहीं और 10 लाख में भी नहीं। अब तक हम ख़ुद संख्या बना रहे थे।

6:33अब उल्टा चलते हैं — कोई तुम्हें एक संख्या थमा देता है, और तुम्हें तय करना है कि वो मानने लायक है या नहीं। मान लो कोई कहता है कि वो अब तक school में 13000 घंटे बिता चुका है। बहुत से students को ऐसी संख्या पक्की लगती है, सिर्फ़ इसलिए कि वो गोल है। संख्या गोल है और बड़ी है। क्या कोई संख्या सिर्फ़ इसलिए मानने लायक हो जाती है कि वो गोल और बड़ी है?

7:00जाँच का एक आकार होता है। यहाँ 3 संख्याएँ चाहिए — दिन में कितने घंटे, साल में कितने दिन, और कितने साल। तीनों का गुणा ही वो कुल घंटे हैं। और ये तीनों संख्याएँ किसी ने हमें नहीं दी हैं। हमें ख़ुद चुननी हैं — इसलिए चुनकर कहना भी पड़ेगा कि हमने क्या चुना। एक चुनाव लो — दिन के 6 घंटे, साल के 200 दिन, और 6 साल। 6 गुना 200 गुना 6 — 7200 घंटे।

7:33ये 13000 से काफ़ी कम है। दूसरा चुनाव — 8 घंटे, 220 दिन, 7 साल, यानी 12320 घंटे। अब करीब है, पर फिर भी कम। सिर्फ़ 2 मिसालों से बात तय नहीं होती। इसलिए हर मुमकिन चुनाव देखो। घंटे 5 से 8 तक, दिन 180 से 220 तक, और साल 5 से 8 तक। घंटों के 4 चुनाव, दिनों के 5, सालों के 4 — यानी कुल 80 जोड़-मेल। पूरी पट्टी यही है।

8:06इनमें सबसे बड़ा है 8 गुना 220 गुना 8, यानी 14080. और सबसे छोटा है 5 गुना 180 गुना 5, यानी 4500. 13000 इन दोनों सिरों के बीच में है। इसका मतलब है कि वो नामुमकिन नहीं है — सिर्फ़ इसी से उसे ख़ारिज नहीं किया जा सकता। पर 80 में से सिर्फ़ 2 चुनाव 13000 तक पहुँचते हैं। और दोनों में दिन के 8 घंटे चाहिए, 8 साल चाहिए, और दिन 210 या 220 चाहिए — यानी हर पैमाने पर सबसे ऊपर वाला सिरा।

8:43तो जाँच का जवाब हाँ या ना नहीं है। जवाब ये है — 13000 तभी बनता है जब तीनों संख्याएँ सबसे ऊपर हों। अब सवाल इतना ही बचा कि क्या वे संख्याएँ सच में इतनी ऊपर हैं। अब एक और सवाल। एक mug, एक बाल्टी, और छत पर एक टंकी। पूछो — पूरी टंकी भरने में कितने mug पानी लगेगा? पहले mug चुनो — मान लो 250 ml का। 1 litre में 1000 ml होते हैं, तो 1 litre में 4 mug.

9:14बाल्टी 20 litre की है। 20 गुना 4 — यानी 80 mug की एक बाल्टी। और टंकी 500 litre की। 500 में 20 कितनी बार? 25 बार। यानी 25 बाल्टी की एक टंकी। अब 25 गुना 80 — 2000 mug. और सीधे भी जाँच लो: 500 litre में हर litre के 4 mug, यानी वही 2000. दोनों रास्ते एक ही जगह पहुँचे। यहाँ हर संख्या हमारी चुनी हुई थी। mug बड़ा होगा तो जवाब घटेगा, टंकी बड़ी होगी तो बढ़ेगा।

9:51'ये इस पर निर्भर करता है' पूरा जवाब है — बशर्ते तुम बता सको कि किस पर। अब तक हमने आकलन बनाए, पर किसी को सच्ची गिनती से मिलाकर नहीं देखा। शायद तुम सोच रहे हो कि ऐसे आकलन को जाँचा ही नहीं जा सकता। एक बार वो भी करते हैं। यहाँ साल भर की छुट्टी के दिन गिनो। हर हफ़्ते 2 दिन, और साल में 52 हफ़्ते — 104 दिन।

10:17अब नीचे जोड़ते जाओ — त्योहारों के मान लो 20 दिन, और लंबी छुट्टी के 45. जोड़ो — 104 और 20 और 45, कुल 169 दिन छुट्टी। साल में 365 दिन होते हैं। 365 में से 169 घटाओ — 196 दिन बचे। और पीछे जाँच में हमने साल के 200 दिन चुने थे। अब गिनकर 196 निकले। फ़र्क सिर्फ़ 4 दिन का — यानी वो चुनाव हवा में नहीं था, और अब हमें ये भी पता है कि कितना हवा में नहीं था।

10:52अब एक मान्यता बदलो। अगर लंबी छुट्टी 45 की जगह 60 दिन की हो, तो बचते हैं 181 दिन। मान्यता बदली, जवाब बदला — और साफ़ दिख रहा है कि किसने बदला। अब एक नक़्शा। नक़्शे के किनारे एक पट्टी बनी होती है — scale। असली काम वही करती है। वो बताती है कि कागज़ का 1 cm ज़मीन के कितने km के बराबर है। मान लो यहाँ 1 cm बराबर 200 km है।

11:24नक़्शे पर 2 निशानों के बीच पैमाना रखो और नापो। मान लो 9.5 cm निकले। अब गुणा करो — 9.5 गुना 200, यानी 1900 km. यही पूरा हिसाब है। अब गलती को भी नापो। अगर नापने में आधा cm इधर-उधर हो जाए, तो जवाब में 100 km का फ़र्क आ जाता है। 1900 में 100 कितना है? हर 100 पर लगभग 5. यानी नापने की छोटी-सी चूक जवाब को लगभग 5 प्रतिशत हिला देती है।

11:58और ध्यान दो — हमने सीधी दूरी नापी है। सड़क घूमकर जाती है, इसलिए हमेशा लंबी होती है। अगर सड़क 10 में से 3 हिस्से लंबी हो, तो वही सफ़र 2470 km का हो जाता है। इसलिए जवाब के साथ बताना पड़ेगा कि तुमने कौन-सी दूरी नापी। अब उस दूरी को समय में बदलकर देखो। अगर चाल 60 km हर घंटे हो, तो 1900 km में लगभग 32 घंटे लगेंगे।

12:26अब नीचे वो 100 km वाली चूक वापस लाओ। 1800 km पर लगभग 30 घंटे। 32 घंटे हों या 30 — फ़ैसला नहीं बदलता। सफ़र 2 दिन का है, और तुम्हें उतना ही सामान बाँधना है। यहाँ 100 km की चूक बेमानी है। ज़्यादातर लोग उल्टा सोचते हैं — कि संख्या जितनी बड़ी हो, आकलन उतना बारीक चाहिए। होता उल्टा है। किसी देश की लंबाई km के आख़िरी अंक तक बताना बेमानी होगा।

12:56और फिर भी 490 वाले hall में सिर्फ़ 20 का फ़र्क फ़ैसला पलट रहा था। तो बारीकी संख्या के आकार से नहीं आती — वो सवाल से आती है। बहुत से students यही सोचकर रह जाते हैं। तो क्या आकलन का मतलब बस अंदाज़ा लगाना है? नहीं, यहाँ एक भी जगह हवा में छलाँग नहीं लगी। हर कदम पर या तो कुछ नापा गया, या कोई चुनाव साफ़-साफ़ कहा गया, और फिर गुणा हुआ।

13:25अंदाज़े से असहमत होने का कोई तरीका नहीं होता — तुम बस दूसरा अंदाज़ा लगा सकते हो। आकलन से असहमत होने का तरीका है — उस कदम पर उँगली रखो जो तुम्हें गलत लगता है। अब अपना सवाल बनाओ। एक छोटी चीज़ चुनो जिसे तुम सच में नाप सको, और एक बड़ी राशि चुनो जिसे तुम गिन ही नहीं सकते। फिर गुणा करके जवाब निकालो, और नीचे अपनी मान्यताएँ लिखो।

13:50आख़िर में उस मान्यता पर निशान लगाओ जो तुम्हें सबसे कमज़ोर लगती है। वही तुम्हारे आकलन की असली पहचान है। अब board पर पीछे मुड़कर देखो। 96 को 100 माना, 5 से गुणा किया — और गोल करने की गलती भी 5 गुनी होकर 20 हो गई। हमने उसे नापा, छिपाया नहीं। एक कदम से 288 कदम तक, और 1 मिनट की 15 साँसों से पूरे दिन की 21600 तक — तरीका दोनों जगह एक ही था।

14:20छोटा नाप, फिर गुणा। और 13000 की जाँच में 80 चुनावों में से सिर्फ़ 2 वहाँ पहुँचे। जवाब हाँ या ना नहीं था — जवाब शर्तों के साथ आया। आकलन नाकाम यथार्थ गिनती नहीं है। वो एक आसान सवाल का सही जवाब है। और वो सही तब है जब तुम्हारा फ़ैसला उससे तय हो जाए — न उससे पहले, न उससे ज़्यादा।