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Chapter 3 · Number Play

तय अंकों वाले कितने numbers होते हैं, और digit sums ऐसा बर्ताव क्यों करते हैं

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5 अंकों वाली संख्याएँ 90000 हैं — और इन्हें गिनने के लिए एक भी लिखनी नहीं पड़ती। आगे की जगह पर 9 विकल्प, बाकी हर जगह पर 10, और गुणा।

मुख्य idea

numbers गिनना और अंक गिनना दो अलग काम हैं, और एक ही चाल दोनों कर देती है: लिखने की एक जगह तय करो, पूछो कि उसमें कितने चिह्न खड़े हो सकते हैं, और गुणा करो। यही चाल बिना कुछ गिनाए 9, 90, 900, 9000 और 90,000 दे देती है — पहली जगह के पास नौ विकल्प हैं, बाद की हर जगह के पास दस। यही digit sum को भी समझाती है: किसी number के अंक जोड़ने में जान-बूझकर यह भुला दिया जाता है कि कौन-सा अंक कहाँ खड़ा था, और ठीक इसीलिए 68, 176 और 545 सब 14 देते हैं, और इसीलिए कोई भी number किसी दिए गए digit sum वाला सबसे बड़ा number नहीं हो सकता। और यही चाल अंक 7 के बारे में Dinesh के सवाल को सूची बनाने वाली समस्या से गिनती वाली समस्या में बदल देती है।

आपको क्या आना चाहिए

  • बताना कि ठीक एक, दो, तीन, चार और पाँच अंकों वाली कितनी पूर्ण संख्याएँ हैं
  • इस गिनती को सूची बनाकर नहीं, हर जगह के विकल्पों से समझाना
  • बताना कि 5-digit numbers कहाँ शुरू होते हैं और कहाँ ख़त्म
  • दिए गए number का digit sum निकालना
  • बताए गए digit sum वाले कई numbers बनाना
  • दिए गए digit sum वाला सबसे छोटा number ढूँढ़ना, और सही ठहराना कि वह सबसे छोटा क्यों है
  • दिए गए digit sum वाला सबसे बड़ा 5-digit number ढूँढ़ना, और उसे सही ठहराना
  • समझाना कि दिए गए digit sum वाला कोई सबसे बड़ा number होता ही क्यों नहीं
  • बताना कि 40 से 70 तक गिनते हुए digit sums कैसे चलते हैं, और गिरावट को समझाना
  • समझाना कि लगातार अंकों वाले 3-digit numbers के digit sums हमेशा तीन के पहाड़े में क्यों होते हैं, और बताना कि सूची कहाँ रुकती है
  • गिनना कि numbers की किसी range में चुना हुआ कोई अंक कितनी बार लिखा जाता है

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक line में मतलबहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
digitउन दस चिह्नों में से एक जिनसे कोई number लिखा जाता हैअंक§3.4, p.60 — वहीं छपा, पूरे section में
digit sumकिसी number के सारे अंक जोड़ने से मिलने वाला कुलअंकों का योग§3.4, p.60 — वहीं छपा, और मोटे उप-शीर्षक Digit sums of numbers के रूप में
consecutiveएक के ठीक बाद दूसरा, जैसे 3, 4 और 5 आते हैंक्रमागत§3.4, p.60 — वहीं छपा, सवाल 3 में
Digit Detectivessection के आख़िर वाली अंक-गिनती की पहेली के लिए किताब का अपना नाम—§3.4, p.61 — वहीं मोटे उप-शीर्षक की तरह छपा
Komalवह student जिसकी बात से digit sum वाला हिस्सा शुरू होता है—§3.4, p.60 — वहीं छपा
Dineshवह student जो पूछता है कि उसने कितने 7s लिखे हैं—§3.4, p.61 — वहीं छपा
Math Talkकिताब का margin badge, ऐसे prompt के लिए जिस पर class में बहस होनी है—§3.4, p.60 — वहीं margin badge की तरह छपा
thousands digitवह अंक जिसके बाद comma लिखा जाता हैहज़ार का अंक§3.2, p.59 — वहीं छपा, इस section से एक page पहले
leading digitव्याख्या का दिया नाम, सबसे पहले लिखे जाने वाले अंक के लिए, अकेला अंक जो 0 नहीं हो सकता—व्याख्या का अपना शब्द, किताब में कहीं नहीं छपा
place valueकोई अंक अपनी जगह की वजह से कितने का है — वही चीज़ जिसे digit sum फेंक देता हैस्थानीय मानइस chapter में नहीं छपा; व्याख्या इसे पिछली कक्षाओं से लाती है

हिंदी column में standard NCERT हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है; यह Ganita Prakash के हिंदी संस्करण से उतारी नहीं गई है। Notes देखें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "1-digit numbers दस हैं।" किताब 1 से गिनती है, इसलिए नौ हैं। 0 शामिल है या नहीं, यह एक चलन की बात है।
  • "3-digit numbers गिनने के लिए उनकी सूची बनानी पड़ती है।" विकल्प गिनने पड़ते हैं। 900 चीज़ों की सूची बनाना कोई रास्ता नहीं है, और अभ्यास की पूरी बात यही है कि इसकी कभी ज़रूरत ही नहीं थी।
  • "बड़े number का digit sum भी बड़ा होता है।" 90,000 का digit sum 9 है; 99 का digit sum 18 है। digit sum आकार का पैमाना नहीं है, क्योंकि उसने आकार को फेंक दिया है।
  • "digit sum 14 वाला एक सबसे बड़ा number होता है।" सबसे बड़ा 5-digit वाला होता है। कोई भी लंबाई चलने दो, तो तुम हमेशा और zeros डालकर उसी digit sum वाला और बड़ा number पा सकते हो। सवाल 1 के हिस्से (c) और (d) ठीक इसी फ़र्क़ को परखते हैं, और इन्हें आपस में मिला देना आसान है।
  • "गिनते हुए digit sums लगातार बढ़ते जाते हैं।" एक दहाई के अंदर वे एक-एक बढ़ते हैं और फिर इकाई का अंक घूमकर वापस आने पर आठ गिर जाते हैं। 49 → 50 को देखना यह समझने का सबसे सस्ता तरीक़ा है कि गिरावट हासिल (carry) की वजह से है।
  • "कितने 7s, 1 से 100 तक, का मतलब है कि कितने numbers में 7 है।" ये अलग सवाल हैं और अलग जवाब देते हैं, क्योंकि 77 एक number है जो दो 7s से लिखा गया।
  • "लगातार अंकों वाला pattern हमेशा चलता रहता है।" वह 789 पर रुक जाता है। ऐसे सिर्फ़ सात numbers हैं, और किताब का आगे वाला सवाल ठीक यही पूछता है।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 3.4 Q1, Figure it Out · 3.4 Q2, Figure it Out · 3.4 Q3, End-of-Chapter Figure it Out Q3

पूरा transcript1,685 शब्द

चलो गिनती लिखना शुरू करते हैं — 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9। और यहाँ आकर हम अटक जाते हैं। क्योंकि अंक कुल 10 ही हैं — 0 से 9 तक। संख्याओं की पूरी वर्णमाला बस इतनी है। तो आगे बढ़ने के लिए हम एक चालाक काम करते हैं — लिखने की एक दूसरी जगह इस्तेमाल करने लगते हैं। फिर 10, 11, 12, और गिनती फिर चल पड़ती है।

अब एक तालिका बनाओ, जिसमें 5 खाने हों — कितनी संख्याएँ 1 अंक की हैं, कितनी 2 की, 3 की, 4 की, और 5 की। पहला खाना भरा है — 9। बाकी 4 खाली। इन्हें एक-एक करके लिखना कोई तरीका नहीं है। हमें बिना लिखे गिनना सीखना होगा। पहला खाना देखो — 1 अंक वाली संख्याएँ कितनी हैं? ज़्यादातर लोग कहते हैं 10, क्योंकि अंक 10 हैं। पर हमारी तालिका 1 से गिनती शुरू करती है, 0 से नहीं।

इसलिए जवाब है 9। अगर 0 को भी गिनो, तो 10 होंगी। ये एक तय किया हुआ नियम है, गलती नहीं — बस पहले से बता देना चाहिए कि कौन सा नियम चल रहा है। और यहीं एक नियम पहली बार दिखता है — कोई संख्या 0 से शुरू नहीं होती। 07 लिखो, तो वो 2 अंकों की संख्या नहीं बनती। वो बस 7 है, आगे एक बेकार 0 के साथ।

इसलिए सबसे आगे वाला अंक खास है। उसके पास 9 विकल्प हैं, 10 नहीं। ये बात याद रखना, आगे यही सब कुछ करेगी। अब 2 अंकों वाली संख्याएँ। इन्हें लिखने की बजाय, लिखने की 2 जगहों के बारे में सोचो। आगे वाली जगह पर क्या आ सकता है? 1 से 9 तक कुछ भी — यानी 9 विकल्प। और पीछे वाली जगह पर? 0 से 9 तक कुछ भी, क्योंकि यहाँ 0 बिल्कुल ठीक है।

यानी 10 विकल्प। और आगे का हर विकल्प, पीछे के हर विकल्प के साथ जुड़ सकता है। तो 9 कतारें बनती हैं, हर कतार में 10 संख्याएँ। आगे 1 रखो, तो पहली कतार बनती है — 10 से 19 तक। और आगे 9 रखो, तो आखिरी कतार — 90 से 99 तक। हर कतार में पीछे वाला अंक 0 से 9 तक घूमता है। यानी 9 गुणा 10 — 90।

पूरी 90 संख्याएँ, और हमने एक भी लिखी नहीं। चाहो तो जाँच लो। 10 से 99 तक गिनो — 90 संख्याएँ। दोनों जवाब मिलते हैं। अब यही तरीका दोहराओ। 3 अंक — आगे 9 विकल्प, फिर 10, फिर 10। यानी 900। 4 अंक — 9, फिर 10, 10, 10। यानी 9000। और 5 अंक — 9, फिर 4 बार 10। यानी 90000। अब तालिका पूरी भर गई — 9, 90, 900, 9000, और 90000।

हर नई जगह गिनती को 10 गुना कर देती है, क्योंकि उस नई जगह पर 10 अंक आ सकते हैं। तालिका के 4 के 4 कदम यही दिखाते हैं। और आगे का 9 कभी नहीं बदलता, क्योंकि पहला अंक कभी 0 नहीं हो सकता। एक ही तरीका — जगह चुनो, विकल्प गिनो, गुणा करो — और पूरी तालिका भर गई। अब 5 अंकों वाली संख्याएँ कहाँ रहती हैं? सबसे छोटी है 10000 — आगे 1, और पीछे 4 शून्य।

उससे ठीक पहले वाली, 9999, में सिर्फ़ 4 अंक हैं। और सबसे बड़ी है 99999। उसके ठीक बाद वाली, 100000, को एक छठी जगह चाहिए। वहाँ से कहानी फिर शुरू होती है। अब इन्हें गिनो। 99999 में से 10000 घटाओ, और 1 जोड़ो — 90000। वही जवाब, जो गुणा से मिला था। 2 अलग रास्ते, एक ही संख्या। अब एक नई बात। बोर्ड पर 3 संख्याएँ हैं — 68, 176 और 545।

कोई साफ़ समानता नहीं। अलग आकार, अलग लंबाई। अब हर संख्या के अंक जोड़ो। 6 और 8 — 14। फिर 1, 7 और 6 — ये भी 14। और 5, 4 और 5 — फिर से 14। तीनों का जवाब 14। अंक जोड़ने से जो कुल मिलता है, उसे कहते हैं — अंकों का योग। पर अंकों का योग असल में करता क्या है? जवाब सीधा है। अंक जोड़ते समय हम जानबूझकर ये भूल जाते हैं कि कौन सा अंक किस जगह खड़ा था।

176 में आगे वाला 1 असल में 100 है। पर अंकों के योग में वो सिर्फ़ 1 जोड़ता है। बस 1। इसीलिए 545 और 68 का योग एक जैसा है, जबकि 545, 68 के 8 गुने से भी बड़ा है। और देखो — 90000 के अंकों का योग सिर्फ़ 9 है, पर 99 का 18। यानी अंकों का योग ये नहीं बताता कि संख्या कितनी बड़ी है। वो बस लिखे हुए अंक गिनता है, उनकी जगह छोड़कर।

अब और संख्याएँ बनाओ, जिनके अंकों का योग 14 हो। जैसे 77, 95, 239, और 1166। जाँच लो — 7 और 7, 9 और 5, 2 और 3 और 9, और 1, 1, 6, 6। चारों का योग 14। तो अब 2 सवाल अपने आप उठते हैं। इनमें सबसे छोटी कौन सी है? और सबसे बड़ी कौन सी? पहले सबसे छोटी। 1 अंक से काम नहीं चलेगा, क्योंकि सबसे बड़ा अंक 9 है, और 9, 14 से कम है।

तो कम से कम 2 अंक चाहिए। और संख्या छोटी रखनी है, तो आगे वाला अंक जितना हो सके उतना छोटा रखो। पीछे वाला अंक ज़्यादा से ज़्यादा 9 हो सकता है। इसलिए आगे वाला कम से कम 14 में से 9 घटाकर — यानी 5 होगा। आगे 5, पीछे 9 — यानी 59। और 5 और 9 जोड़ो, तो 14। और इससे छोटी कोई नहीं चलेगी। 10 से 58 तक एक भी संख्या का योग 14 नहीं है, क्योंकि आगे 5 से कम हो, तो पीछे 9 से ज़्यादा चाहिए — और ऐसा कोई अंक है ही नहीं।

और 2 अंकों में ऐसी संख्याएँ सिर्फ़ 5 हैं — 59, 68, 77, 86 और 95। हर बार आगे का अंक 1 बढ़ता है, और पीछे का 1 घटता है, ताकि योग 14 ही रहे। अब दूसरा सिरा — 5 अंकों वाली सबसे बड़ी संख्या, जिसका योग 14 हो। सबसे बड़ी चाहिए, तो आगे वाला अंक सबसे बड़ा रखो — 9। इससे 14 में से 9 खर्च हो गए। बाकी बचे 5, और 4 जगहें।

फिर वही सोच — अगला अंक जितना बड़ा हो सके। वो है 5, और इसके बाद कुछ नहीं बचता। तो आखिरी 3 जगहों पर 0 आता है। जवाब है 95000। पर अब असली सवाल। अंकों का योग 14 रखकर, कोई संख्या कितनी बड़ी हो सकती है? अब 95000 के आखिर में 0 लगाओ — 950000। योग अब भी 14, और संख्या 10 गुना बड़ी। और फिर से एक 0 लगाओ — संख्या फिर 10 गुना।

हर बार योग 14, और ऐसे ही आगे, जितने चाहो उतने 0। अंकों के योग में 0 की कोई कीमत नहीं। और एक 0 और लगाना हमेशा मुमकिन है। इसलिए ऐसी कोई सबसे बड़ी संख्या है ही नहीं। ध्यान दो, ये 2 अलग सवाल हैं। 5 अंकों वाली सबसे बड़ी संख्या है — 95000। पर सब संख्याओं में सबसे बड़ी नहीं है। अब 40 से 70 तक, हर संख्या के अंकों का योग लिखो।

कुल 31 संख्याएँ। 40 का योग 4, 41 का 5, 42 का 6। हर बार 1 बढ़ता है, और 49 पर पहुँचकर 13। और फिर 50। उसका योग सिर्फ़ 5। यानी 8 गिर गया। और यही 59 से 60 पर होता है, और 69 से 70 पर भी। 30 कदमों में से 27 बार 1 ऊपर, और 3 बार 8 नीचे। वजह फिर वही जगहों वाली है। 49 से 50 पर इकाई का अंक 9 से 0 हो जाता है — 9 घटे।

और दहाई का अंक 1 बढ़ता है। 9 घटे, 1 बढ़ा — कुल 8 की गिरावट, और हर बार यही। अब ऐसी 3 अंकों वाली संख्याएँ, जिनके अंक एक के बाद एक बढ़ते हों — जैसे 345। इसका योग 12। और देखो — 123 का योग 6, 234 का 9। 6, 9, 12 — सब 3 की गिनती में। वजह छोटी सी है — बीच वाले अंक से पहला 1 कम है, और आखिरी 1 ज़्यादा।

तो योग हमेशा बीच वाले अंक का 3 गुना होता है। और ऐसी संख्याएँ सिर्फ़ 7 हैं — 123 से 789 तक। उनके योग 6, 9, 12, 15, 18, 21 और 24। आगे क्यों नहीं? 9 के बाद 10 चाहिए, और 10 कोई अंक नहीं। और पीछे 012 नहीं चलेगा, क्योंकि वो 3 अंकों की संख्या नहीं — वो बस 12 है। दोनों सिरे उन्हीं नियमों से बंद हैं जो हम देख चुके हैं।

अब आखिरी पहेली। 1 से 100 तक हर संख्या लिखो। कुल कितनी बार 7 लिखना पड़ा? सवाल ध्यान से पढ़ो। पूछा है कितनी बार 7 लिखा गया — ये नहीं कि कितनी संख्याओं में 7 है। ये 2 अलग सवाल हैं। और इसका सबूत है 77। संख्या एक है, पर उसे लिखने में 7 को 2 बार लिखना पड़ता है। एक और बोर्ड देखो — 237, 57, 877, 7041, 1799 और 676।

संख्याएँ 6 हैं, हर एक में 7 है। पर 7 गिनो, तो 7 बार लिखा है, क्योंकि 877 में 7 को 2 बार लिखा गया है। इसलिए 1 से 100 तक 19 संख्याओं में 7 है, पर 7 लिखा गया 20 बार। इन 20 को बिना सूची के गिनो। इकाई की जगह पर 7 आता है — 7, 17, 27, और ऐसे ही 97 तक। कुल 10 बार। और दहाई की जगह पर — 70 से 79 तक।

ये भी 10 बार। 10 और 10 — 20। कोई सूची नहीं बनाई। संख्याएँ नहीं, जगहें गिनीं। और 1 से 1000 तक? अब 3 जगहें हैं, और हर जगह पर 7 ठीक 100 बार आता है। यानी 300 बार 7 लिखा गया। जबकि 7 वाली संख्याएँ सिर्फ़ 271 हैं। फ़र्क फिर वही — कुछ संख्याओं में 7 एक से ज़्यादा बार है। आज की बात। जगह चुनो, गिनो कि वहाँ क्या आ सकता है, और गुणा करो।

इसी से 9, 90, 900, 9000 और 90000 मिले, और 1 से 100 तक 7 के 20 निशान भी। और अंकों का योग अंक रखता है, पर उनकी जगह फेंक देता है। इसीलिए अलग-अलग आकार की संख्याओं का योग एक हो सकता है, और सबसे बड़ी कोई नहीं होती। अब तुम्हारी बारी। वो सबसे छोटी संख्या कौन सी है, जिसके अंकों का योग 20 हो? अपने जवाब comments में लिखना।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

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