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Chapter 1 · Real Numbers

HCF-गुणा-LCM वाला shortcut दो संख्याओं पर क्यों चलता है और तीन पर क्यों टूट जाता है

Factorising into primes13 मिनट

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HCF गुणा LCM बराबर गुणनफल, इसे आमतौर पर संख्याओं का एक नियम मानकर रट लिया जाता है, और फिर 3 संख्याओं पर इसका टूटना एक अलग चौंकाने वाली बात बन जाता है।

मुख्य idea

HCF गुणा LCM का गुणनफल के बराबर होना संख्याओं के बारे में कोई तथ्य नहीं; यह दो indices गिनने के बारे में एक तथ्य है। हर prime के लिए, छोटा index और बड़ा index मिलकर ठीक वही दो indices इस्तेमाल कर लेते हैं जो गुणनफल में हैं, इसलिए न कुछ छूटता है और न कुछ दो बार गिना जाता है। एक तीसरी संख्या जोड़िए, और छोटा तथा बड़ा अब भी दो ही indices लेते हैं — बीच वाला बस छूट जाता है, और identity ठीक उतनी कम पड़ती है जितना वह बीच वाला index योगदान देता है। इससे यह भी साफ़ पता चलता है कि तीन संख्याएँ इसे कब पूरा करती हैं: जब किसी बीच वाले index के पास योगदान देने को कुछ न हो। तो सबक "तीन से सावधान रहो" नहीं है; सबक यह है कि आप पहले से देख सकते हैं कि ऐसी कोई भी identity किस ओर जाएगी।

आपको क्या आना चाहिए

  • किसी हल की हुई जोड़ी पर दो संख्याओं वाली identity को जाँचना और बताना कि उससे क्या निकाला जा सकता है
  • यह दिखाकर identity को समझाना कि किसी prime के छोटे और बड़े indices मिलकर गुणनफल में उसके दोनों indices फिर से बना देते हैं
  • identity को दोनों दिशाओं में इस्तेमाल करना: HCF और गुणनफल से LCM, और HCF तथा LCM से गुणनफल
  • chapter की अपनी तीन संख्याओं पर दिखाना कि identity नहीं चलती, और उस चूक का आकार नापना
  • उस चूक को एक-एक prime करके बीच वाले index पर डालना, और भाग देने से पहले अंतर की भविष्यवाणी करना
  • ऐसी तीन संख्याएँ देना जिन पर identity फिर भी चलती है, और बताना कि उनमें ख़ास क्या है
  • chapter के आख़िरी note वाले सुधरे हुए तीन-संख्या सूत्र लगाना और उन्हें किसी जाने-पहचाने जवाब से जाँचना

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक पंक्ति में अर्थहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ
HCFदी गई हर संख्या को भाग देने वाली सबसे बड़ी संख्यामहत्तम समापवर्तक§1.2, p. 4 में छपा
LCMवह सबसे छोटी धनात्मक संख्या जिसे दी गई हर संख्या भाग देती हैलघुत्तम समापवर्त्य§1.2, p. 4 में छपा
positive integersशून्य से बड़ी पूर्ण संख्याएँ, पूरी चर्चा का दायराधनात्मक पूर्णांक§1.1, p. 1 में, और p. 9 के आख़िरी note में छपा
greatest powerसंख्याओं में किसी prime का सबसे ऊँचा indexउच्चतम घात§1.2, p. 4 में छपा
smallest powerतुलना की जा रही संख्याओं में किसी prime का सबसे नीचा indexन्यूनतम घात§1.2, p. 4 में छपा
middle indexतीन संख्याओं में, किसी prime के column का वह index जो न सबसे नीचा है न सबसे ऊँचामध्य घातइस पाठ का शब्द; chapter इसे कभी अलग करके नहीं देखता
shortfall factorतीन संख्याओं का गुणनफल उनके HCF गुणा LCM से कितने गुना बड़ा हैन्यूनता गुणकइस पाठ का गढ़ा हुआ शब्द; इस chapter में नहीं छपा
pairwise coprimeसंख्याओं में से कोई भी दो कोई prime साझा नहीं करतींयुग्मशः सहअभाज्यइस पाठ का जोड़ा हुआ शब्द; chapter दो संख्याओं के लिए "coprime" §1.3, p. 7 में छापता है, पर तीन संख्याओं वाला यह रूप इस्तेमाल नहीं करता

हिंदी column में standard हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। इस पाठ्यपुस्तक का हिंदी संस्करण नहीं देखा गया, इसलिए इस column को standard चलन मानें, हिंदी संस्करण के ठीक-ठीक शब्द नहीं।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "HCF × LCM = गुणनफल संख्याओं का एक नियम है।" यह इस बात का नतीजा है कि हर column में ठीक दो indices हैं। एक बार इसे ऐसे कह दीजिए, और तीन संख्याओं वाला मामला रटने लायक कोई चौंकाने वाला नियम नहीं रह जाता।
  • "तो तीन संख्याओं के लिए identity हमेशा ग़लत है।" नहीं — 17, 23, 29 और 8, 9, 25 दोनों इसे पूरा करते हैं। chapter की टिप्पणी उसके सामने रखे उदाहरण के बारे में लिखी गई है; टिकने लायक आम कथन यह है कि तीन संख्याओं के लिए identity की कोई गारंटी नहीं।
  • "तीन संख्याओं का HCF उन्हें जोड़ियों में बाँटकर और identity दो बार लगाकर निकाला जा सकता है।" आख़िरी note ठीक इसीलिए है कि ऐसा नहीं चलता; उसे तीनों जोड़ीवार HCF और तीनों वाला HCF एक साथ चाहिए।
  • "कमी बेतरतीब है।" यह 24 है 6, 72, 120 के लिए, और 3 है 12, 15, 21 के लिए, और दोनों भाग देने से पहले columns से पढ़ी जाती हैं। पहले भविष्यवाणी कीजिए, फिर भाग दीजिए, और भविष्यवाणी को सही साबित होने दीजिए।
  • "अगर HCF 1 है तो LCM गुणनफल है, संख्याएँ कितनी भी हों।" यह सिर्फ़ तब सच है, जब उनमें से कोई भी दो कोई prime साझा न करें। तीन संख्याओं का HCF 1 हो सकता है जबकि उनमें से दो अब भी कोई factor साझा करती हों — 6, 10, 15 वाला जाना-माना जाल यही है, और उनका LCM 30 है, 900 नहीं।
  • "Q4 चाहता है कि 306 और 657 के factorisations निकाले जाएँ।" वह HCF इसीलिए देता है कि काम identity करे। वहाँ factor trees की ओर हाथ बढ़ाना इस बात का संकेत है कि identity समझ में नहीं बैठी।

Worked answers: Exercise 1.1 · Exercise 1.2 · this video explains Exercise 1.1 Q4

पूरा transcript1,984 शब्द

एक बात ऐसी है जो अक्सर आँखों के सामने से निकल जाती है, और कोई उस पर रुककर सोचता नहीं। संख्या 6 और 20 को लीजिए, इनका HCF बराबर 2 है और इनका LCM बराबर 60 है। अब इन दोनों जवाबों को आपस में गुणा कीजिए, 2 गुणा 60 करने पर 120 मिलता है। और शुरू वाली दोनों संख्याओं का गुणा, यानी 6 गुणा 20, वो भी पूरा 120 ही बनता है।

यानी HCF गुणा LCM ठीक उतना निकला, जितना दोनों संख्याओं का गुणनफल है। अब सवाल ये है, क्या ये सिर्फ़ इसी जोड़ी का इत्तफ़ाक़ है, या हर जोड़ी के साथ यही होता है? ये जानना ज़रूरी है, क्योंकि अगर ये हमेशा सच है तो ये एक shortcut है, और अगर नहीं, तो एक जाल। इसकी वजह देखने के लिए एक बार में बस एक prime का column देखते हैं। पहले 2 वाला column लीजिए, इसमें 6 के पास 2 की घात 1 है, और 20 के पास 2 की घात 2 है।

यहाँ HCF इन दोनों में से छोटी घात 1 लेता है, और LCM बड़ी घात 2 लेता है। अब ध्यान से देखिए कि यहाँ असल में हुआ क्या। शुरुआत में इस column में घात 1 और घात 2 रखी हुई थीं। छोटी और बड़ी चुनने के बाद भी हाथ में वही 1 और 2 आए, न कुछ कम, न कुछ ज़्यादा। न कोई घात छूटी, और न किसी घात को दोबारा गिना गया।

और HCF को LCM से गुणा करने पर ये घातें जुड़ जाती हैं, 1 और 2 मिलकर 3, जो इस column में शुरू से था। ये बात सिर्फ़ इसी पहले column की कोई ख़ासियत नहीं है। कोई भी जोड़ी लीजिए, और कोई भी prime लीजिए। उस prime की पहली संख्या में कोई घात होगी, और दूसरी संख्या में कोई घात होगी। और 2 संख्याओं में से छोटी और बड़ी, वो बस वही 2 संख्याएँ हैं, क्रम से रखी हुई।

इसलिए छोटी और बड़ी का जोड़ हमेशा उतना ही होता है जितना शुरू में था, हर column में, हर बार। अब HCF को LCM से गुणा करते ही हर column फिर से पूरा जुड़ जाता है, इसलिए जवाब गुणनफल ही होना है। ये न इत्तफ़ाक़ है, और न 6 और 20 की कोई ख़ास बात। ये बात सिर्फ़ इतनी है कि हर column में ठीक 2 घातें बैठी हैं। संख्या 120 तक की हर जोड़ी पर, यानी 14400 जोड़ियों पर, ये बराबरी एक बार भी नहीं टूटी।

और इसी वजह से ये बात सच में काम की है। संख्या 96 बराबर 2 की घात 5 गुणा 3 है, और 404 बराबर 2 की घात 2 गुणा 101 है। इनका HCF निकालना आसान है, 2 वाले column में 5 और 2 हैं, छोटी घात 2 है, इसलिए HCF बराबर 4 है। अब मान लीजिए हमें इनका LCM चाहिए। एक रास्ता है, फिर से हर column में जाकर बड़ी घात उठाना।

दूसरा रास्ता है, 96 को 404 से गुणा करना, जो 38784 बनता है, और फिर उसे 4 से भाग देना। और भाग देने पर जो संख्या निकलती है, बस वही इनका LCM है। बस एक गुणा और एक भाग, column पर दूसरा चक्कर लगाने की ज़रूरत ही नहीं पड़ी। ये बात उल्टी दिशा में भी उतनी ही अच्छी तरह चलती है। मान लीजिए कोई आपको 306 और 657 देता है, बताता है कि इनका HCF बराबर 9 है, और इनका LCM पूछता है।

इनमें से किसी भी संख्या को prime में तोड़ने की ज़रूरत नहीं है। संख्या 306 को 657 से गुणा करें, तो 201042 बनता है। इसे 9 से भाग दीजिए, तो 22338 आता है। यही LCM है, और हमें ये पता ही नहीं चला कि इन संख्याओं में कौन से prime बैठे हैं। अगर तोड़कर देखें, तो जवाब यही रहता है, 306 बराबर 2 गुणा 3 की घात 2 गुणा 17 है, और 657 बराबर 3 की घात 2 गुणा 73 है।

पर पूरी बात यही है कि इसकी कोई ज़रूरत ही नहीं थी। इसका एक तीसरा इस्तेमाल भी है, जिस पर लोग अक्सर ध्यान नहीं देते। ये चारों चीज़ें आपस में बँधी हुई हैं, इसलिए इनमें से एक को छोड़कर बाक़ी पता हों, तो वो एक भी तय हो जाती है। मान लीजिए आपको पता है कि HCF बराबर 4 है, LCM बराबर 9696 है, और एक संख्या 96 है। तो दोनों संख्याओं का गुणनफल 4 गुणा 9696 होना चाहिए, जो 38784 बनता है।

और 38784 को 96 से भाग दें, तो 404 मिलता है। यानी दूसरी संख्या कभी अनजानी थी ही नहीं, वो पहले से तय थी। ये हर जोड़ी पर चलता है, 120 तक की सभी 14400 जोड़ियों पर दूसरी संख्या हर बार ठीक यही निकली। अब अगला सवाल अपने आप उठता है, क्या ये बराबरी 3 संख्याओं पर भी चलती है? जल्दी में जवाब देना हो तो मन कहता है, हाँ, ज़रूर चलती होगी।

जोड़ी के लिए ये इतनी सफ़ाई से चली, और उसकी वजह भी column की बात लग रही थी, जोड़ी की नहीं। पर ऐसे अंदाज़े को मान लेने की बजाय परखना चाहिए। और परखना आसान है, दोनों तरफ़ का हिसाब लगाइए और मिलाकर देखिए। पर हिसाब लगाने से पहले उसी वजह पर लौटते हैं, क्योंकि वो पहले ही बता देती है कि क्या होगा। जोड़ी में हर column में 2 घातें होती हैं, और छोटी और बड़ी मिलकर दोनों को इस्तेमाल कर लेती हैं।

तिकड़ी में हर column में 3 घातें होती हैं। यहाँ भी HCF सबसे छोटी घात लेता है, और LCM सबसे बड़ी घात लेता है। और बीच वाली घात को इनमें से कोई नहीं लेता, वो बस छूट जाती है। इसलिए आम तौर पर दोनों तरफ़ बराबर नहीं हो सकतीं। गुणनफल में तीनों घातें हैं, पर HCF गुणा LCM में उनमें से सिर्फ़ 2 घातें हैं। अब संख्या 6, फिर 72 और 120 लेते हैं।

संख्या 6 बराबर 2 गुणा 3 है, 72 बराबर 2 की घात 3 गुणा 3 की घात 2 है, और 120 बराबर 2 की घात 3 गुणा 3 गुणा 5 है। इनका HCF बराबर 6 है, और इनका LCM बराबर 360 है। तीनों संख्याओं को आपस में गुणा करें, तो 51840 मिलता है। और HCF को LCM से गुणा करें, तो 2160 मिलता है। ये एक संख्या नहीं हैं, और एक दूसरे के पास भी नहीं हैं।

अब 51840 को 2160 से भाग दें, तो ठीक 24 आता है। यानी बराबरी सिर्फ़ टूटती नहीं, एक तरफ़ ठीक 24 गुना छोटी रह जाती है। और अब वो हिस्सा, जिसकी वजह से ये सब जानना काम का है। ये 24 बिना भाग दिए, सिर्फ़ column देखकर पहले ही बताया जा सकता था। सबसे पहले 2 की घातें देखिए, वो हैं 1, फिर 3 और 3, जिनका जोड़ 7 है।

सबसे छोटी घात 1 और सबसे बड़ी घात 3 है, यानी 7 में से 4 घातें इस्तेमाल हुईं। तो इस column में 3 घातें छूट गईं। अब 3 वाले column में घातें हैं 1, फिर 2 और 1, कुल 4 घातें, जिनमें से 1 और 2 इस्तेमाल हुईं, तो एक घात छूटी। और 5 वाले column में घातें हैं शून्य, शून्य और 1, यहाँ बीच वाली घात हटाने से कुछ नहीं जाता।

कुल मिलाकर 2 की घात 3 छूटी, और 3 की घात 1 छूटी। और 2 की घात 3 गुणा 3, यानी 24 बनता है, वही 24, और वो भी भाग दिए बिना। ये तुक्का नहीं था, ये देखने के लिए 12, फिर 15 और 21 पर फिर से आज़माते हैं। इनका HCF बराबर 3 है और LCM बराबर 420 है, तो HCF गुणा LCM 1260 बनता है। और इन तीनों का गुणनफल 3780 बनता है।

अब 3780 को 1260 से भाग दें, तो 3 आता है। और column से अंदाज़ा ये था, 3 वाले column में घातें हैं 1, फिर 1 और 1, और बीच वाली हटाने पर 3 की घात 1 छूटती है। बाक़ी हर column में तीनों में से सिर्फ़ एक संख्या कुछ रखती है, तो वहाँ बीच वाली घात शून्य है। यानी कमी ठीक 3 गुना की है, और ये भी भाग देने से पहले ही पता था।

पर सावधान, तिकड़ी पर ये बराबरी हर बार नहीं टूटती। संख्या 17, फिर 23 और 29 लीजिए। इनका HCF बराबर 1 है और LCM बराबर 11339 है, जो ठीक इनका गुणनफल है। यहाँ बराबरी पूरी तरह टिकी रहती है। अब 8, फिर 9 और 25 लीजिए, और ध्यान दीजिए कि इनमें से एक भी prime नहीं है। इनका HCF बराबर 1 है, LCM बराबर 1800 है, और गुणनफल भी पूरा 1800 है।

यहाँ भी बराबरी फिर से टिकी रही। दोनों मामलों में हर prime तीनों में से सिर्फ़ एक संख्या में है, तो हर बीच वाली घात शून्य है, और छूटने को कुछ है ही नहीं। पर ये वही बात नहीं है कि HCF बराबर 1 हो। संख्या 6, फिर 10 और 15 लीजिए। तीनों को एक साथ 1 के सिवा कोई संख्या नहीं काटती, तो इनका HCF सच में 1 है।

पर इनका LCM बराबर 30 है, 900 नहीं। इनका गुणनफल 900 है, तो यहाँ कमी पूरे 30 गुना की है। और column तुरंत इसकी वजह बता देते हैं। संख्या 6 और 10 दोनों में 2 है, 6 और 15 दोनों में 3 है, और 10 और 15 दोनों में 5 है। इसलिए हर column में बीच वाली घात 1 है। तो सवाल ये नहीं कि तीनों में कुछ साझा है या नहीं, सवाल ये है कि कोई भी जोड़ी कुछ साझा करती है या नहीं।

इसलिए सही बात ये नहीं कि तिकड़ी पर ये बराबरी टूटती है। सही बात ये है कि इसकी कोई गारंटी नहीं है। ये ठीक तब चलती है जब कोई भी जोड़ी कोई prime साझा न करे, वरना ये ठीक उतनी कम पड़ती है जितना छूटी हुई बीच वाली घातों का गुणनफल। ये 40 तक की हर तिकड़ी पर जाँचा गया, कुल 11480 तिकड़ियाँ। इनमें से बराबरी 3008 तिकड़ियों पर टिकी, और 8472 तिकड़ियों पर टूटी।

यानी आसान वाली दोनों बातें, कि ये हमेशा टूटती है या कभी नहीं टूटती, ग़लत हैं। और सभी 11480 तिकड़ियों में column से पढ़ी गई कमी हर बार भाग से निकली कमी के बराबर रही। तो एक काम का सवाल उठता है, तिकड़ी का LCM जल्दी कैसे निकालें? सीधा तरीका ये लगता है कि फिर भी वही करें, तीनों को गुणा करें और HCF से भाग दें। संख्या 6, फिर 72 और 120 पर, 51840 को 6 से भाग देने पर 8640 मिलता है।

जबकि असली LCM बराबर 360 है। यानी ये चूकता ही नहीं, 24 गुना ज़्यादा निकल जाता है, वही 24, बस दूसरी तरफ़ से। और ये कोई चुनी हुई ख़राब मिसाल नहीं है। अगर 30 तक की हर तिकड़ी पर आज़माएँ, कुल 4960 तिकड़ियों पर, तो ये तरीका 3645 तिकड़ियों पर ग़लत निकलता है। यानी ये सही से कहीं ज़्यादा बार ग़लत है। तो अब इसकी मरम्मत, और ये देखने लायक है क्योंकि ये मनमानी नहीं है।

जो छूटा था वो बीच वाली घात थी, और उसे वापस लाने के लिए जोड़ियों की जानकारी चाहिए। तीनों संख्याओं का गुणनफल लीजिए, उसे तीनों के HCF से गुणा कीजिए, फिर हर जोड़ी के HCF से भाग दीजिए। यहाँ हर जोड़ी का HCF निकालें, तो 6, फिर 24 और 6 मिलते हैं। ऊपर 51840 गुणा 6, यानी 311040 है, और नीचे 6 गुणा 24 गुणा 6, यानी 864 आता है।

और 311040 को 864 से भाग दें, तो 360 आता है, यानी वही LCM। और यही ढाँचा दोनों की भूमिकाएँ आपस में बदल भी देता है। गुणनफल को तीनों के LCM से गुणा करें, और हर जोड़ी के LCM से भाग दें, तो HCF मिलता है। यहाँ हर जोड़ी का LCM निकालें, तो 72, फिर 360 और 120 मिलते हैं। ऊपर 51840 गुणा 360 है, और नीचे 72 गुणा 360 गुणा 120, तो दोनों तरफ़ का 360 कट जाता है।

अब 51840 को 72 गुणा 120 से, यानी 8640 से भाग दें, तो 6 आता है, यानी वही HCF। इसमें रटने लायक कोई नियम नहीं है, बस इतना याद रहे कि छूटने वाली चीज़ बीच वाली घात है। बाक़ी सब बस हिसाब है, ऐसे सजाया हुआ कि गिनती ठीक बैठे।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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