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Chapter 1 · Real Numbers

किसी वर्ग को भाग देने वाला prime ख़ुद संख्या को भी भाग देता है

Proving a number irrational11 मिनट

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अगर कोई prime किसी संख्या के square को काटता है, तो वो उस संख्या को भी काटता है। सुनने में साफ़ लगता है, पर prime की जगह 4 रख दीजिए और बात झूठी हो जाती है: 4 तो 36 को काटता है, पर 6 को नहीं।

मुख्य idea

किसी संख्या का वर्ग करने से उसमें चुपके से कोई ऐसा prime नहीं घुस सकता जो पहले से वहाँ न हो: वर्ग ठीक उन्हीं primes से बनता है, हर एक दुगुनी बार इस्तेमाल होकर। इस अवलोकन को Theorem 1.2 में बदलने वाली चीज़ uniqueness है — क्योंकि वर्ग का prime वर्णन सिर्फ़ एक है, दुगुना करके मिली primes की सूची बस एक सूची नहीं, वही सूची है, इसलिए वर्ग में मिले prime के पास मूल संख्या के अलावा कहीं और से आने का रास्ता ही नहीं। सब कुछ इस पर टिका है कि भाजक prime हो; composite भाजक दो अलग प्रतियों के टुकड़ों से जोड़कर बन सकता है, और इसीलिए 4, 36 को भाग देता है जबकि 6 के पास भी नहीं फटकता।

आपको क्या आना चाहिए

  • संख्या के primes दिए हों, तो उसके वर्ग को primes के गुणनफल के रूप में लिखना, और बताना कि कौन-से primes आते हैं और कितनी बार
  • समझाना कि मूल संख्या के factorisation से बाहर का कोई prime वर्ग में क्यों नहीं आ सकता
  • Theorem 1.2 का तर्क दोहराना, उस बिंदु का नाम लेते हुए जहाँ uniqueness वाला clause इस्तेमाल होता है
  • आख़िरी क़दम पूरा करना, "prime सूची में से एक है" से "prime संख्या को भाग देता है" तक
  • ऐसा counterexample देना जो दिखाए कि prime न होने वाले भाजक के लिए कथन नाकाम होता है, और समझाना कि क्या टूटता है
  • किसी बाद के प्रमाण में हर वह जगह पहचानना जहाँ Theorem 1.2 लगाया जा रहा है, और किस prime के साथ

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक पंक्ति में अर्थहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ
prime number1 से बड़ी पूर्ण संख्या जो सिर्फ़ ख़ुद से और 1 से विभाज्य होअभाज्य संख्या§1.3, p. 6 में छपा, Theorem 1.2 के कथन में
dividesठीक-ठीक चला जाता है, बिना शेष छोड़ेविभाजित करता है§1.3, p. 6 में छपा
positive integerशून्य से बड़ी पूर्ण संख्याधनात्मक पूर्णांक§1.3, p. 6 में छपा, यह तय करते हुए कि theorem किसके बारे में है
prime factorisationसंख्या को ऐसे फिर से लिखना कि उसका हर factor prime होअभाज्य गुणनखंडन§1.3, p. 6 में छपा, प्रमाण की शुरुआत में
not necessarily distinctसूची के primes दोहराए जा सकते हैं, और आम तौर पर दोहराए जाते हैंआवश्यक नहीं कि भिन्न हों§1.3, p. 6 में छपा, primes की सूची पर शर्त के रूप में
uniquenessFundamental Theorem of Arithmetic का वह clause जो दूसरे, असहमत factorisation को ख़ारिज करता हैअद्वितीयता§1.2, p. 4 में छपा, और फिर §1.3, p. 6 में, जहाँ प्रमाण इसी पर टिका है
squaringकिसी संख्या को उसी से गुणा करनावर्ग करना§1.3, p. 7 में छपा, उसके बाद वाले प्रमाण में
index doublingयह तथ्य कि वर्ग करने से हर prime का index अपना दुगुना हो जाता हैघात का दुगुना होनाइस पाठ का शब्द; chapter असर दिखाता है पर उसे नाम नहीं देता
composite divisorऐसा भाजक जो ख़ुद composite हो, जिसके लिए theorem का निष्कर्ष नाकाम हो सकता हैभाज्य भाजकइस पाठ का वाक्यांश, सिर्फ़ counterexample को चिह्नित करने के लिए; इस chapter में नहीं छपा

हिंदी column में standard हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। इस पाठ्यपुस्तक का हिंदी संस्करण नहीं देखा गया, इसलिए इस column को standard चलन मानें, हिंदी संस्करण के ठीक-ठीक शब्द नहीं।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "ज़ाहिर है, वर्ग का भाजक संख्या का भी भाजक है।" सिर्फ़ तब, जब वह भाजक prime हो, और यह तथ्य कि 4, 36 को भाग देता है पर 6 को नहीं, यह दिखाने के लिए काफ़ी है कि आम रूप ग़लत है। theorem कोई स्पष्ट बात दोहरा नहीं रहा; वह उस दायरे के चारों ओर रेखा खींच रहा है जहाँ स्पष्ट बात सच है।
  • "यह किसी भी भाजक के लिए चलता है।" 4 और 9 दोनों 36 को भाग देते हैं जबकि किसी भी factor को भाग नहीं देते। दोनों counterexamples चलाइए।
  • "वर्ग में मिला prime संख्या में दो बार आना ही चाहिए।" नहीं — p = 3 और a = 3 लीजिए: 3, 9 को भाग देता है, और 9, 3 को भाग नहीं देता। theorem जो देता है वह यह है कि p, a को भाग देता है; वहाँ से p², a² को अपने आप भाग देता है, और इससे ज़्यादा कुछ नहीं।
  • "वर्ग करने से कोई नया prime factor आ सकता है।" नहीं आ सकता, और पूरा प्रमाण इसी एक वाक्य को पक्का करने के लिए है। 30 → 900 और 12 → 144 दिखाइए, और दोनों बार prime सूची को अपनी जगह टिके रहने दीजिए।
  • "प्रमाण को परीक्षा से बाहर बताया गया है, इसलिए theorem को नज़रअंदाज़ किया जा सकता है।" कथन chapter के अपने summary में आता है, और §1.3 का हर irrationality वाला प्रमाण उस पर टिका है। प्रमाण छोड़ना ठीक है; theorem छोड़ने से बाक़ी chapter बिना सहारे के रह जाता है।
  • "a² का factorisation वही है जो a का।" primes वही हैं, factorisation वही नहीं। 30 और 900 हर index में अलग हैं।

Worked answers: Exercise 1.1 · Exercise 1.2

पूरा transcript1,809 शब्द

इस पूरे सिलसिले में एक जगह ऐसी आती है जहाँ सब रुककर एक बहुत छोटी सी बात साबित की जाती है। ये बात भटकाव जैसी लगती है, पर असल में भटकाव नहीं है। मान लीजिए आपको दिखाना है कि 2 का वर्गमूल किसी भिन्न के रूप में नहीं लिखा जा सकता। उस तर्क के बीच में आपके हाथ में एक पूर्ण संख्या होती है, और पता होता है कि 2 उसके वर्ग को पूरा पूरा काटता है।

और आप कहना चाहते हैं, कि फिर तो 2 उस संख्या को भी काटता है। बस यही एक क़दम इस video का पूरा विषय है। ये न अपने आप साफ़ है, न मुफ़्त है, और इसमें एक शब्द बदल दें तो ये ग़लत हो जाता है। पहले ये देखते हैं कि वर्ग करने से किसी संख्या के साथ असल में होता क्या है। संख्या 30 लीजिए, इसे prime में तोड़ें तो 30 बराबर 2 गुणा 3 गुणा 5 है।

इसका वर्ग कीजिए, तो 900 मिलता है। और 900 बराबर 2 की घात 2, गुणा 3 की घात 2, गुणा 5 की घात 2 है। अब ध्यान से देखिए कि क्या बदला और क्या नहीं बदला। यहाँ prime वही के वही हैं; 2 के साथ 3 और 5 ही बैठे हैं। और हर घात दुगुनी हो गई, तीनों column में घात 1 से बढ़कर 2 हो गई। अब एक ऐसी संख्या लेते हैं जिसकी घातें अलग अलग हैं।

संख्या 12 बराबर 2 की घात 2 गुणा 3 है, और 12 का वर्ग 144 है। और 144 बराबर 2 की घात 4, गुणा 3 की घात 2 है। घातें 2 और 1 से बदलकर 4 और 2 हो गईं, पर prime अपनी जगह से हिले तक नहीं। यानी वर्ग करने से कोई ऐसा prime नहीं आ सकता, जो पहले से न हो। उसके पास नया prime लाने का कोई ज़रिया ही नहीं, वर्ग तो बस उसी संख्या की 2 प्रतियों से बना है।

संख्या 2 से 500 तक की हर संख्या का वर्ग जाँचा गया, और एक भी नया prime नहीं आया। तो अब हमारे सामने दावा ये है। अगर कोई prime किसी पूर्ण संख्या के वर्ग को पूरा पूरा काटता है, तो वो उस संख्या को भी काटता है। इसे उन्हीं संख्याओं पर जाँचते हैं जो अभी देखीं। अब prime 3 लीजिए, ये 900 को काटता है, और 30 को भी काटता है।

और 7 लीजिए, जो ख़ुद prime है; ये न 900 को काटता है, न 30 को। ये दोनों नाकामियाँ असल में एक ही नाकामी है, और दावा भी ठीक यही कहता है। पर ये बात अपने आप साफ़ क्यों नहीं है? क्योंकि इसका आम रूप ग़लत है, और ज़्यादातर लोग चुपचाप वही आम रूप मान लेते हैं। आम रूप ये है, कि कोई संख्या किसी गुणनफल को काटे, तो वो गुणा होने वाली किसी एक संख्या को ज़रूर काटेगी।

ये बात सीधी सीधी ग़लत है। संख्या 6 गुणा 6 बराबर 36 है। और 4 से 36 पूरा पूरा कटता है, क्योंकि 36 बराबर 4 गुणा 9 है। पर 4 से 6 नहीं कटता। यानी किसी वर्ग का भाजक अपने आप उस संख्या का भाजक नहीं बन जाता। हमारा दावा इससे कहीं सँकरा है, और यही सँकरापन पूरी बात है। तो अब तर्क ठीक से बनाते हैं, और देखते हैं कि prime शब्द कहाँ काम आता है।

संख्या को prime की एक सूची के गुणनफल की तरह लिखिए। इसमें दोहराव की छूट है, कोई prime बार बार आए, तो उसे उतनी बार लिखिए। अब इसका वर्ग कीजिए, यानी इस सूची को उसी सूची से गुणा कीजिए। तो वर्ग वही सूची है, बस दोहराकर लिखी हुई। सूची का हर prime अब भी वहीं है, और हर एक अब पहले से दुगुनी बार आता है। कुछ नया नहीं आया, क्योंकि उसके आने की कोई जगह ही नहीं थी।

यही वो prime सूची है जिसका गुणनफल उस संख्या का वर्ग है। और अब वो क़दम, जिस पर पूरा तर्क टिका है। हमें बताया गया है कि वो prime इस वर्ग को पूरा पूरा काटता है। यानी वर्ग को ऐसे भी लिखा जा सकता है, वो prime, गुणा जो कुछ बचा। उस बचे हुए हिस्से को भी prime में तोड़ दीजिए, तो वर्ग की prime में एक दूसरी लिखावट मिल जाती है।

पर किसी संख्या को prime के गुणनफल की तरह सिर्फ़ एक ही तरह लिखा जा सकता है। कोई दूसरी सूची होती ही नहीं है। इसलिए जो सूची अभी बनी, जिसमें वो prime साफ़ दिख रहा है, और दोहराकर बनी सूची, दोनों एक ही सूची हैं। मतलब वो prime दोहराई गई सूची में मौजूद है। और uniqueness बस यहीं इस्तेमाल होती है, इससे पहले का सब हिसाब किताब था। तो वो prime दोहराई गई सूची का एक prime है।

पर दोहराई गई सूची तो असली सूची ही है, बस दोहराकर लिखी हुई। इसलिए वो prime उस संख्या के अपने prime में से एक है। और वो संख्या इन्हीं prime का गुणनफल है। जो संख्या कुछ prime का गुणनफल हो, उसे उनमें से हर prime पूरा पूरा काटता है। तो वो prime उस संख्या को काटता है, और यही पूरा theorem है। और ध्यान दीजिए, हमें ये पता करने की ज़रूरत ही नहीं पड़ी कि वो संख्या है क्या।

न वर्ग का हिसाब लगाया, बस इतना इस्तेमाल किया कि संख्या की prime में एक ही लिखावट है, और उसके वर्ग की भी। अब इसे जान बूझकर तोड़ते हैं, क्योंकि जिस शर्त को कभी टूटते न देखा हो, उस पर भरोसे की कोई वजह नहीं। संख्या 6 लीजिए, तो उसका वर्ग 36 है। अब prime में देखें, तो 6 बराबर 2 गुणा 3 है, और 36 बराबर 2 की घात 2 गुणा 3 की घात 2 है।

अब भाजक 4 लीजिए, जो prime नहीं है। संख्या 36 को 4 काटता है पर 6 को नहीं काटता, और factorisation दिखाता है कि ऐसा क्यों है। संख्या 36 को ऐसे देखिए, जैसे 6 की जोड़ी अगल बगल रखी हो। हर प्रति में 2 का एक गुणनखंड बैठा है। और 4 बराबर 2 गुणा 2 है, तो वो बाईं प्रति से एक 2 लेता है, और दाईं प्रति से भी एक 2 लेता है।

वो दोनों प्रतियों के टुकड़ों से बना है, और अकेली कोई प्रति उसे पूरा नहीं दे सकती। भाज्य भाजक यही कर सकता है, और theorem ठीक इसी को रोकने के लिए है। संख्या 4 को ख़ास मानने से पहले, यही काम दूसरे prime के साथ करके देखिए। संख्या 36 को 9 से भी भाग दिया जा सकता है, क्योंकि 36 बराबर 9 गुणा 4 है। पर 9 से 6 नहीं कटता।

और हिसाब बिल्कुल वैसा ही है, बस 2 की जगह 3 आ गया है। हर प्रति में एक 3 है, और 9 बराबर 3 गुणा 3 है, तो वो हर प्रति से एक 3 लेता है। यानी ये संख्या 4 की कोई ख़ासियत नहीं है। और ख़ासकर, किसी prime की घात होना भी काफ़ी नहीं है। संख्या 9 बराबर 3 की घात 2 है, इसमें हर टुकड़ा prime 3 है, फिर भी theorem टूट जाता है।

शर्त ये नहीं कि लगभग prime हो, या एक prime से बना हो, शर्त ये है कि वो prime ही हो। तो prime में ऐसा क्या है, जो वो नहीं कर सकता? वो टुकड़ों में बँट ही नहीं सकता। किसी भाजक को दोनों प्रतियों से एक साथ लेने के लिए, पहले उसे टुकड़ों की जोड़ी में तोड़ना पड़ता है। संख्या 4 टूटती है 2 और 2 में, और 9 टूटता है 3 और 3 में।

अब किसी prime को तोड़कर देखिए। संख्या 7 को एक पूर्ण संख्या गुणा दूसरी पूर्ण संख्या लिखने का तरीका बस 1 गुणा 7 है, या 7 गुणा 1 है। और prime होने का मतलब यही है, और यहाँ बस इसी बात का इस्तेमाल हो रहा है। तो दोनों टुकड़ों में से एक पूरा prime है, और दूसरा कुछ भी नहीं। मतलब prime को किसी एक ही प्रति से, साबुत निकलना होगा।

और एक प्रति तो वही संख्या है, इसलिए वो prime उस संख्या को काटता है। ये वही theorem है, बस सूचियों की जगह तस्वीर देखकर निकाला गया। रास्ते अलग हैं पर बात एक है, अगर ये अलग निकलते, तो इनमें से कोई एक ग़लत होता। शायद अब भी ऐसा लगे कि 4 और 9 अनोखे हैं, और भाज्य भाजक आमतौर पर ठीक चलते हैं। पर असल में ऐसा बिल्कुल नहीं है।

संख्या 2 से 300 तक हर संख्या लीजिए, उसका वर्ग कीजिए, और उस वर्ग के 1 से बड़े सारे भाजक लिखिए। कुल मिलाकर ऐसे 4684 भाजक बनते हैं। इनमें से 578 भाजक prime हैं, और 4106 भाजक भाज्य हैं। उन 578 prime भाजकों में से, उस संख्या को न काटने वाले भाजक शून्य हैं। थोड़े बहुत भी नहीं, एक भी नहीं, बिल्कुल शून्य। पर उन 4106 भाज्य भाजकों में से 3217 भाजक उस संख्या को नहीं काटते।

यानी theorem थोड़ा सा सच और लगभग आम नहीं है, ये एक लकीर के एक तरफ़ पूरा सच है और दूसरी तरफ़ ज़्यादातर झूठ। और इन नाकामियों में से 796 भाजक किसी एक prime की घात हैं, इसीलिए उस भ्रम को नाम लेकर हटाना पड़ा। एक और बात है जो theorem नहीं कहता, और उसमें सटीक रहना ज़रूरी है। ये नहीं कहता कि उस prime का वर्ग भी उस संख्या को काटेगा।

मान लीजिए prime 3 है, और संख्या भी 3 ही है। तो 3 से 3 का वर्ग, यानी 9, पूरा पूरा कट जाता है। पर 9 से 3 नहीं कटता। और ये भी कोई तुक्का नहीं है। अगर 200 से छोटे हर prime को 500 तक की हर संख्या के साथ जोड़ें, तो prime कुल 952 बार वर्ग को काटता है। और उन 952 बार में से 734 बार prime का वर्ग उस संख्या को नहीं काटता।

आपको मिलता है कि prime संख्या को काटता है, और वहाँ से prime का वर्ग संख्या के वर्ग को अपने आप काटता है। इससे ज़्यादा कुछ नहीं मिलता, और ज़्यादा माँगना भी नहीं चाहिए। तो अब उसी जगह लौटते हैं, जहाँ से ये बात शुरू की थी। आपको दिखाना है कि 2 का वर्गमूल किसी भिन्न के रूप में नहीं लिखा जा सकता। उस तर्क में कहीं एक पूर्ण संख्या होती है, पता होता है कि 2 उसके वर्ग को काटता है, और चाहिए कि 2 उस संख्या को काटे।

वो क़दम यही theorem है, बस उसी prime के साथ जो ऊपर लिखा है। संख्या 3 के वर्गमूल वाला तर्क इसे prime 3 के साथ इस्तेमाल करता है, और 5 वाला तर्क prime 5 के साथ। और ये वहाँ एक ही वजह से चलता है, कि 2 के साथ 3 और 5, ये तीनों prime हैं। यही तर्क 4 के वर्गमूल पर चलाइए, तो ये तुरंत गिर जाता है, क्योंकि 4 prime नहीं है और वो क़दम मिलता ही नहीं।

और ये अच्छा ही है, क्योंकि 4 का वर्गमूल 2 है, और 2 तो एक बिल्कुल ठीक भिन्न है। तो ये छोटा theorem कोई भटकाव नहीं था। ये वो क़ब्ज़ा है जिस पर ये सारे सबूत घूमते हैं, और उसे थामे रखता है prime शब्द।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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