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Chapter 1 · Real Numbers

मान लीजिए 2 का वर्गमूल एक fraction है, और देखिए यह मान्यता कैसे ढह जाती है

Proving a number irrational14 मिनट

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14 min.

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2 का वर्गमूल अपरिमेय है, यानी कोई भी भिन्न उसके बराबर नहीं। ये अनगिनत भिन्नों के बारे में दावा है, और कोई calculator इसे तय नहीं कर सकता: 99 बटा 70 का वर्ग 2 से बस ज़रा सा चूकता है, और ये चूक कभी शून्य नहीं होती।

मुख्य idea

इस प्रमाण को दो चीज़ें चलाती हैं, और उनमें से कोई भी algebra नहीं है। पहली है शुरुआत में मुफ़्त की सफ़ाई: किसी भी fraction को तब तक छोटा किया जा सकता है जब तक उसके दोनों हिस्सों में कुछ साझा न रहे, और फिर तर्क हवा में से एक साझा 2 पैदा कर देता है, जो विरोधाभास सिर्फ़ इसलिए है कि "कुछ साझा नहीं" पहले ही पक्का कर लिया गया था। दूसरी है Theorem 1.2, जिसे दो बार बुलाया जाता है, और 2 के prime होने का इस्तेमाल सिर्फ़ यहीं होता है। हू-ब-हू वही क्रम 4 पर चलाइए, और वह सिर्फ़ विरोधाभास तक पहुँचने में नाकाम नहीं होता — वह एक पहचानी जा सकने वाली पंक्ति पर अटक जाता है, और वहीं दिखता है कि प्रमाण 2 के prime होने के बारे में है, वर्गमूलों के अटपटे होने के बारे में नहीं।

आपको क्या आना चाहिए

  • बताना कि किसी संख्या को irrational कहने के लिए क्या दिखाना होता है, और समझाना कि यह एक साथ हर fraction के बारे में दावा क्यों है
  • समझाना कि decimal expansion, चाहे जितना आगे ले जाया जाए, कुछ भी तय क्यों नहीं करता
  • विरोधाभास से प्रमाण की शुरुआत करना: तर्क के लिए मानी जा रही मान्यता का नाम लेना, और उसे नज़र के सामने रखना
  • ऐसे fraction तक छोटा करने को सही ठहराना जिसके दोनों हिस्सों में कोई factor साझा न हो, और बताना कि इसके बिना प्रमाण क्यों ढह जाता
  • मानी गई समानता से लेकर इस कथन तक algebra चलाना कि 2, numerator के वर्ग को भाग देता है
  • Theorem 1.2 को उन दोनों जगहों पर लगाना जहाँ उसकी ज़रूरत है, इस्तेमाल हुए prime का नाम लेते हुए
  • विरोधाभास को ठीक-ठीक पहचानना, और बताना कि क्या ख़ारिज हुआ है — मान्यता, न कि कोई क़दम
  • यही तर्क 4 पर चलाना और ठीक वह पंक्ति ढूँढ़ना जहाँ यह काम करना बंद कर देता है

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक पंक्ति में अर्थहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ
irrationalऐसी संख्या जिसे एक integer बटा दूसरे integer के रूप में, शून्य से अलग नीचे वाले हिस्से के साथ, नहीं लिखा जा सकताअपरिमेय संख्या§1.3, p. 6 में छपा, जहाँ chapter परिभाषा फिर से कहता है
rationalऐसी संख्या जो इस तरह लिखी जा सकती हैपरिमेय संख्या§1.3, p. 6 में छपा
integersपूर्ण संख्याएँ, धनात्मक, ऋणात्मक और शून्यपूर्णांक§1.3, p. 6 में छपा, परिभाषा में
coprimeदो integers जो 1 के अलावा कोई factor साझा नहीं करतेसहअभाज्य§1.3, p. 7 में छपा, छोटा करने वाले क़दम पर
common factorऐसी संख्या जो दो दिए गए integers दोनों को भाग देउभयनिष्ठ गुणनखंड§1.3, p. 7 में छपा
proof by contradictionजो चाहिए उसका उलटा मान लेना, और दिखाना कि वह मान्यता ख़ुद को नष्ट कर देती हैविरोधाभास द्वारा उपपत्ति§1.3, p. 6 में नाम दिया गया
contradictionनिकाली गई किसी बात और पहले से तय किसी बात की टक्करविरोधाभास§1.3, p. 7 में छपा
Theorem 1.3chapter का नंबर वाला परिणाम कि 2 का वर्गमूल irrational हैप्रमेय 1.3§1.3, p. 6 में छपा
squaring both sidesकिसी equation के हर पक्ष को उसी से गुणा करना ताकि root हट जाएदोनों पक्षों का वर्ग करनाchapter p. 7 पर वर्ग करता है; इसे नाम वाली चाल के रूप में कहना इस पाठ का अपना वाक्यांश है
lowest termsसारे साझा factors काट दिए जाने के बाद fraction का रूपनिम्नतम पदइस पाठ की शब्दावली; chapter p. 7 पर छोटा करने का वर्णन करता है, यह label लगाए बिना

हिंदी column में standard हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। इस पाठ्यपुस्तक का हिंदी संस्करण नहीं देखा गया, इसलिए इस column को standard चलन मानें, हिंदी संस्करण के ठीक-ठीक शब्द नहीं।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "decimal हमेशा चलता रहता है, इसलिए यह irrational है।" एक-तिहाई भी हमेशा चलता रहता है और दो integers का अनुपात है। मायने यह रखता है कि अंक आख़िरकार दोहराते हैं या नहीं।
  • "जिसे ग़लत साबित करना है उसी को मान लेना बेईमानी है।" यही तकनीक है। आप मान्यता का दावा नहीं कर रहे; आप उसे टूटने तक परख रहे हैं, और chapter इस विधि का नाम लेता है और बताता है कि इस पर ज़्यादा विस्तार से चर्चा कहाँ है।
  • "coprime वाला क़दम बस सफ़ाई है।" यही बोझ उठाने वाला क़दम है। इसके बिना यह निकालना कि दोनों हिस्से सम हैं, कोई विरोधाभास ही नहीं — बहुत-से fractions के दोनों हिस्से सम होते हैं। यह क़दम हटाइए और प्रमाण को पिचकता हुआ दिखाइए।
  • "2, numerator के वर्ग को भाग देता है, तो ज़ाहिर है 2, numerator को भाग देता है।" यही वह इकलौती पंक्ति है जिसे theorem की ज़रूरत है, और composite भाजकों के लिए यह ग़लत है। अगर किसी student को यह ज़ाहिर लगे, तो A prime dividing a square must divide the number itself वाला counterexample — 4, 36 को भाग देता है पर 6 को नहीं — इसे सुधारता है।
  • "प्रमाण दिखाता है कि algebra कहीं ग़लत था।" मान्यता के बाद की हर पंक्ति सही है। यही दोष को वापस मान्यता पर डालने के लिए मजबूर करता है, और लिखित उत्तर में students इसी हिस्से को सबसे ज़्यादा गड़बड़ाते हैं।
  • "यह साबित करता है कि वर्गमूल irrational होते हैं।" यह साबित करता है कि एक वर्गमूल irrational है, और 4 पर चलाना दिखाता है कि इस तर्क को सब पर क्यों नहीं लहराया जा सकता।

Worked answers: Exercise 1.1 · Exercise 1.2

पूरा transcript2,213 शब्द

किसी संख्या को अपरिमेय कहना, सुनने में जितना लगता है, उससे कहीं बड़ा दावा है। इसका मतलब ये नहीं कि वो संख्या अजीब है, या उसे लिखना मुश्किल है। इसका मतलब है कि कोई भी भिन्न उसके बराबर नहीं है। ये नहीं कि अब तक किसी को मिला नहीं, बल्कि ये कि ऐसा भिन्न है ही नहीं। भिन्न यानी एक पूर्ण संख्या बटा दूसरी पूर्ण संख्या, जहाँ नीचे वाली संख्या शून्य न हो।

और भिन्न अनगिनत हैं, तो उन्हें एक एक करके जाँचना मुमकिन ही नहीं। आप लाखों भिन्न जाँच लें, फिर भी कुछ तय नहीं होता, क्योंकि अगला भिन्न अभी बाक़ी है। इसलिए ये दावा किसी बिल्कुल अलग रास्ते से साबित करना पड़ेगा, और यही इस proof को देखने लायक बनाता है। आज की संख्या है 2 का वर्गमूल, और इस पूरे video में हम एक भी अंक नहीं गिनेंगे। पहले सबसे सीधा तरीका आज़माते हैं, और उसे नाकाम होते देखते हैं।

मान लीजिए आप calculator से 2 का वर्गमूल निकालते हैं, और उसके दशमलव में कोई pattern ढूँढते हैं। सबसे पहले एक मोटा अंदाज़ा लीजिए, 7 बटा 5, जो 1 दशमलव 4 के बराबर है। इसका वर्ग जाँचिए: 7 का वर्ग 49 है, और 5 के वर्ग का दुगुना 50 है। यानी ऊपर वाला वर्ग, जितना चाहिए था, उससे 1 कम पड़ गया। अब बेहतर अंदाज़ा, 99 बटा 70, जो 1 दशमलव 4 1 4 से शुरू होता है।

इसमें 99 का वर्ग 9801 है, और 70 का वर्ग 4900 है। और 4900 का दुगुना 9800 होता है; ऊपर का वर्ग 9800 होना चाहिए था, पर वो 9801 निकला। यानी फ़र्क़ बहुत छोटा है, 9800 में से बस 1 का। और कोशिश कीजिए, 577 बटा 408 लीजिए, जो 2 के वर्गमूल के और भी पास है। यहाँ भी 577 का वर्ग, और 408 के वर्ग का दुगुना, फिर से बस 1 के फ़र्क़ से अलग निकलते हैं।

ऐसे आप चलते जाइए, फ़र्क़ घटता जाएगा, पर कभी शून्य नहीं होगा। ऐसे 28 अंदाज़े जाँचे गए, और सभी में ऊपर वाला वर्ग ठीक 1 से चूक गया। पर ध्यान दीजिए, इससे असल में कुछ भी पता नहीं चलता। पास पहुँचना और पहुँच जाना एक बात नहीं, और कितना भी पास होना सबूत नहीं है। इसी ग़लती का एक दूसरा रूप भी है, और उसे अभी ख़त्म कर देना अच्छा है।

लोग कहते हैं, दशमलव कभी ख़त्म नहीं होता, तो संख्या अपरिमेय ही होगी। नहीं, 1 बटा 3 का दशमलव भी कभी ख़त्म नहीं होता। उसमें 3 के बाद 3 आता रहता है, बिना रुके, फिर भी 1 बटा 3 एक सीधा सादा भिन्न है। और 1 बटा 7 का दशमलव भी चलता रहता है, पर उसमें 6 अंकों का एक टुकड़ा बार बार दोहराता है। तो कभी ख़त्म न होना कसौटी नहीं है; कसौटी है दोहराना।

किसी भी भिन्न का दशमलव या तो रुक जाता है, या किसी दोहराते टुकड़े में बँध जाता है। ऊपर 1 और नीचे 2 से 400 तक की संख्या रखकर, ऐसे सारे 399 भिन्न जाँचे गए। इनमें 22 रुक जाते हैं, और बाक़ी 377 एक दोहराते टुकड़े में बँध जाते हैं। एक भी भिन्न बिना pattern के भटकता नहीं रहता। तो 2 के वर्गमूल पर ये कसौटी लगाने के लिए साबित करना होगा कि उसके अंक कभी नहीं दोहराते।

और ये अनगिनत अंकों के बारे में दावा है, यानी हम वहीं लौट आए जहाँ से चले थे। अब जो proof हम करेंगे, वो एक भी अंक की तरफ़ देखता तक नहीं। तो अब एक बिल्कुल अलग तरह का हमला करते हैं। भिन्न ढूँढने की जगह, मान लीजिए कि ऐसा भिन्न मौजूद है। इसलिए नहीं कि हमें इस पर यक़ीन है, बल्कि इसे परखकर तोड़ने के लिए। भिन्न की ऊपर वाली संख्या को अंश कहेंगे, और नीचे वाली को हर।

मान लीजिए 2 का वर्गमूल किसी अंश बटा हर के बराबर है, जहाँ दोनों पूर्ण संख्याएँ हैं और हर शून्य नहीं है। अब इस मान्यता के नतीजे ईमानदारी से, एक एक क़दम, आगे बढ़ाते हैं। अगर वो किसी नामुमकिन जगह पहुँचें, तो ग़लत सिर्फ़ एक ही चीज़ हो सकती है, हमारा मान लेना। यही पूरा तरीक़ा है, और इसका एक नाम भी है, जो हम आख़िर में देखेंगे। हिसाब छूने से पहले एक चाल चलनी है, और वो बिल्कुल मुफ़्त है।

कोई भी भिन्न छोटा किया जा सकता है। मसलन 12 बटा 18 लीजिए; अंश और हर दोनों में 2 साझा है, तो उसे काटकर 6 बटा 9 मिलता है। अब भी 3 साझा है, तो उसे काटकर 2 बटा 3 मिलता है, और अब कुछ साझा नहीं। ये सिलसिला रुकता ज़रूर है, क्योंकि संख्याएँ छोटी ही होती जाती हैं। और इसमें कुछ खोता भी नहीं, क्योंकि भिन्न का मान कभी नहीं बदलता।

तो शुरू से ही मान लेते हैं कि अंश और हर में 1 के सिवा कुछ साझा नहीं है। ऐसी जोड़ी को coprime कहते हैं, यानी सहअभाज्य। इस शर्त को board पर टाँगकर छोड़ देते हैं, क्योंकि हम इस पर लौटेंगे, और ये बहुत मायने रखेगी। ये साफ़ सफ़ाई जैसा दिखता है, पर ये साफ़ सफ़ाई नहीं है। यही वो जाल है, जिसमें आगे चलकर पूरा proof जाकर फँसता है।

अब हिसाब, और वो बहुत थोड़ा सा है। शुरुआत यहाँ से, 2 का वर्गमूल बराबर अंश बटा हर। दोनों तरफ़ हर से गुणा कीजिए, तो हर गुणा 2 का वर्गमूल, बराबर अंश। अब दोनों तरफ़ का वर्ग कीजिए; वर्गमूल हट जाता है, और वर्ग करने की वजह यही है। बाईं तरफ़ बनता है 2 गुणा हर का वर्ग, और दाईं तरफ़ अंश का वर्ग। यानी 2 गुणा हर का वर्ग, बराबर अंश का वर्ग।

यही वो equation है जिस पर पूरा proof चलता है, आगे का सारा काम बस इसे ध्यान से पढ़ना है। अब देखिए ये equation असल में क्या कह रहा है। बाईं तरफ़ 2 गुणा एक पूर्ण संख्या है, तो बाईं तरफ़ सम है। तो अंश का वर्ग भी सम है, यानी अंश के वर्ग को 2 पूरा पूरा काटता है। इस equation की अजीबियत महसूस करने का एक और तरीक़ा है।

पहली पट्टी पर वर्ग हैं, 1 से शुरू होकर 100 तक। दूसरी पट्टी पर उन्हीं के दुगुने हैं, 2 से शुरू होकर 200 तक। ये equation माँग रहा है कि कोई संख्या दोनों पट्टियों पर एक साथ हो। पट्टियों को एक दूसरे के आगे पीछे कितना भी खिसकाइए, कुछ नहीं मिलता। अंश और हर, दोनों को 700 तक लेकर सारी 490000 जोड़ियाँ जाँची गईं, और एक भी जोड़ी बराबर नहीं निकली।

ये भी proof नहीं है, पर इससे पता चलता है कि माँगा क्या जा रहा है। अब आता है इस पूरे तर्क का अकेला दिलचस्प क़दम। अंश के वर्ग को 2 काटता है, इसलिए अंश को 2 काटता है। ये ऐसा लगता है जैसे इसे किसी वजह की ज़रूरत ही नहीं, और असल में यही वो line है जिसे वजह चाहिए। क्योंकि इसका आम रूप ग़लत है। देखिए, 36 को 4 पूरा पूरा काटता है, क्योंकि 36 बराबर 4 गुणा 9 है।

पर 4 से 6 नहीं कटता, जबकि 36 बराबर 6 गुणा 6 है। तो किसी वर्ग का भाजक, अपने आप उस संख्या का भाजक नहीं बन जाता। यहाँ ये चलता है सिर्फ़ एक वजह से, कि 2 एक prime संख्या है। कोई भी prime वर्ग की दोनों प्रतियों से टुकड़े जोड़कर नहीं बन सकता, क्योंकि उसके टुकड़े होते ही नहीं। संख्या 1 से 2000 तक सब जाँची गईं; जब भी 2 वर्ग को काटता है, वो संख्या को भी काटता है, और अपवाद शून्य हैं।

और 2 की जगह 4 रखें, तो इन्हीं 2000 में से 500 बार ये बात टूट जाती है। तो इसे ठीक से रखते हैं: अंश के वर्ग को 2 काटता है, 2 एक prime है, इसलिए अंश को 2 काटता है। याद रखिए ये कहाँ इस्तेमाल हुआ, क्योंकि ये दोबारा होने वाला है। अंश को 2 काटता है, तो अंश किसी पूर्ण संख्या का दुगुना है। उस संख्या को अंश का आधा कहेंगे, यानी अंश बराबर 2 गुणा उसका आधा।

अब इसे equation में वापस रखते हैं। अंश का वर्ग बनता है 4 गुणा आधे का वर्ग, क्योंकि 2 का वर्ग 4 होता है। तो 2 गुणा हर का वर्ग, बराबर 4 गुणा आधे का वर्ग। अब दोनों तरफ़ 2 से भाग दीजिए। अब मिलता है, हर का वर्ग बराबर 2 गुणा आधे का वर्ग। इसकी शक्ल देखिए: ये वही equation है जिससे हम चले थे, बस अंश की जगह अब हर है।

यानी जो गुणक पहले हर के साथ था, वो अब हटकर दूसरी तरफ़ चला गया। इसलिए वही तर्क, शब्दशः, फिर से लगता है। दाईं तरफ़ 2 गुणा पूर्ण संख्या है, तो हर का वर्ग सम है, यानी हर के वर्ग को 2 काटता है। और 2 एक prime है, इसलिए हर को भी 2 काटता है। ये उसी theorem का दूसरा इस्तेमाल है, और इसी वजह से proof को नए idea की नहीं, बस दोहराव की ज़रूरत पड़ी।

अब दोनों नतीजे साथ साथ रखते हैं। अंश को 2 काटता है, और हर को 2 काटता है। दोनों सम हैं, यानी दोनों में 2 साझा है। अब board पर टँगी वो शुरुआती शर्त देखिए। अंश और हर में 1 के सिवा कुछ साझा नहीं। ये दोनों बातें एक साथ सच नहीं हो सकतीं। ये अजीब नहीं, चौंकाने वाला भी नहीं, सीधा नामुमकिन है। यही टक्कर है, और यहीं proof पूरा होता है।

अब ध्यान से देखिए कि असल में साबित क्या हुआ, क्योंकि यहीं सबसे ज़्यादा गड़बड़ होती है। मान लेने के बाद की सभी lines सही हैं। भिन्न को छोटा करना जायज़ था, और दोनों तरफ़ का वर्ग करना भी जायज़ था। अंश का वर्ग सम है, ये पढ़ना भी जायज़ था। उस theorem के दोनों इस्तेमाल जायज़ थे, क्योंकि 2 एक prime है। किसी एक भी क़दम पर कोई शक नहीं।

तो आख़िर का नामुमकिन नतीजा इनमें से किसी पर नहीं डाला जा सकता। दोष देने के लिए बस शुरुआत का मान लेना ही रह जाता है। कोई भिन्न 2 के वर्गमूल के बराबर नहीं है, यानी 2 का वर्गमूल अपरिमेय है। पर अब एक सवाल, जो आपको खटकना चाहिए। इस तर्क में संख्या 2 का ज़िक्र मुश्किल से आया; तो क्या ये सभी वर्गमूलों को अपरिमेय नहीं बना देगा? नहीं बनाएगा, और इसे देखने के लिए यही पूरा तर्क अब 4 पर चलाते हैं।

मान लीजिए 4 का वर्गमूल अंश बटा हर है, और दोनों में कुछ साझा नहीं। गुणा करके वर्ग कीजिए, तो 4 गुणा हर का वर्ग, बराबर अंश का वर्ग। बाईं तरफ़ सम है, तो अंश का वर्ग सम, तो अंश को 2 काटता है; वही line, वही theorem। तो अंश बराबर 2 गुणा उसका आधा, और अंश का वर्ग बराबर 4 गुणा आधे का वर्ग। रखने पर मिलता है, 4 गुणा हर का वर्ग, बराबर 4 गुणा आधे का वर्ग।

अब दोनों तरफ़ 4 से भाग दीजिए। और यहीं आकर दोनों रास्ते अलग हो जाते हैं। जब 2 का वर्गमूल लिया था, तब यही line थी, हर का वर्ग बराबर 2 गुणा आधे का वर्ग, और उसी 2 ने तर्क को दोहराने दिया। और 4 के वर्गमूल के लिए यही line है, हर का वर्ग बराबर आधे का वर्ग। कोई 2 नहीं बचा, आगे सौंपने को कुछ नहीं, और तर्क बस रुक जाता है।

और इसे रुकना ही था, क्योंकि 4 का वर्गमूल 2 है, यानी 2 बटा 1, और इनमें कुछ साझा नहीं। संख्या 2 से 20 तक सब पर यही line चलाई गई; सिर्फ़ 2 के साथ आगे सौंपने को एक 2 मिलता है, और 4 के साथ सब कट जाता है। ये proof वर्गमूलों के बेढंगेपन के बारे में कभी था ही नहीं; ये आगे खड़े 2 के prime होने के बारे में था।

एक चीज़ और हटाकर देखते हैं कि क्या टूटता है। पीछे जाकर वो क़दम मिटा दीजिए, जहाँ भिन्न को छोटा किया था। बाक़ी सब अब भी चलता है, और आप फिर भी यहीं पहुँचते हैं कि अंश और हर दोनों को 2 काटता है। अब पूछिए, इसमें ग़लत क्या है? इसमें ज़रा भी कुछ ग़लत नहीं है। अंश और हर दोनों को 200 तक लेकर, सारे 40000 भिन्न देखे गए।

इनमें 10000 भिन्नों के अंश और हर दोनों सम हैं, जैसे 4 बटा 6, और फिर 10 बटा 12 जैसे भिन्न। दोनों हिस्सों का सम होना कोई विरोधाभास नहीं, बिल्कुल आम बात है। ये विरोधाभास सिर्फ़ इसलिए बना, क्योंकि उल्टी बात हमने पहले से पक्की कर रखी थी। और सबसे तीखी जाँच ये है, कि उन 10000 भिन्नों में से, जिनमें कुछ साझा न हो, ऐसे भिन्न शून्य हैं। इसीलिए शुरुआत की मुफ़्त चाल असल में मुफ़्त नहीं थी; पूरा जाल वही थी।

अब थोड़ा पीछे हटकर देखिए कि इस तर्क ने असल में किया क्या। इसने कुछ ढूँढा नहीं, कोई दशमलव नहीं निकाला, और एक भी अंक नहीं देखा। जिस बात को ग़लत साबित करना था, उसे मान लिया, और तब तक पीछा किया जब तक वो ख़ुद से टकरा न गई। इस तरीक़े को proof by contradiction कहते हैं, यानी विरोधाभास से साबित करना। ये नाम याद रखने लायक है, क्योंकि ये तरीक़ा बार बार सामने आएगा।

पहली बार देखने पर ये धोखा लगता है, पर ये धोखा है नहीं। आप उस मान्यता का दावा नहीं कर रहे; आप उसे परखकर तोड़ रहे हैं, और वो टूट गई। और देखिए इससे मिला क्या: किसी एक भिन्न के बारे में नहीं, लाखों के बारे में भी नहीं। सभी भिन्नों के बारे में, जो कभी भी होंगे, एक ही बार में, हमेशा के लिए तय बात। इस तरह का तर्क ठीक इसी काम के लिए होता है।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

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