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Chapter 1 · Real Numbers

वही विरोधाभास दूसरे prime वर्गमूलों पर फिर से चलाना

Proving a number irrational14 मिनट

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14 min.

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3 का वर्गमूल अपरिमेय है, 5 का भी, और ये दो नए proof नहीं हैं। 2 वाले proof में संख्या 2 बस कुछ lines में बैठी थी और prime थी; उसे मिटाकर खाली खाना छोड़ दीजिए, तो वही proof किसी भी prime पर चलता है।

मुख्य idea

3 और 5 के वर्गमूलों के प्रमाण नए प्रमाण नहीं हैं। वे एक ही प्रमाण हैं जिसमें prime की जगह ख़ाली छोड़ी गई है, और तर्क उस prime के जिस इकलौते गुण को कभी छूता है वह primality है — इसीलिए chapter का आम दावा primes पर चलता है और वहीं रुक जाता है। section का दूसरा आधा एक अलग चाल है जिसने वही कपड़े पहने हैं: 5 घटा एक root, या 3 गुना एक root, के irrational होने जैसे परिणाम कभी किसी नए विरोधाभास तक पहुँचते ही नहीं। फिर से व्यवस्थित करने की एक पंक्ति root को अकेला कर देती है, और क्योंकि integers और उनके अनुपात घटाने और भाग देने के बाद भी बचे रहते हैं, अकेला किया गया root rational होना पड़ता — जिससे पूरा सवाल वापस एक पहले से तय मामले पर आ जाता है।

आपको क्या आना चाहिए

  • square-root-of-2 वाले प्रमाण से ढाँचा (template) निकालना: हर उस जगह का नाम लेना जहाँ संख्या 2 आई, और उसे एक ख़ाली जगह (slot) से बदलना
  • ढाँचे को 3 पर और 5 पर लगाना, और जाँचना कि Theorem 1.2 के दोनों उपयोग अब भी जायज़ हैं
  • primes के वर्गमूलों के बारे में chapter का आम दावा बताना, और ठीक-ठीक कहना कि ढाँचे का कौन-सा क़दम इसे primes तक सीमित करता है
  • दिखाना कि ढाँचा 4 पर अटक जाता है, और इस झूठे सामान्यीकरण से बचना कि इसलिए composites के roots rational हैं
  • "एक rational घटा एक irrational root" वाले रूप का परिणाम root को अकेला करके सिद्ध करना, और इस्तेमाल हुए closure गुण का नाम लेना
  • "एक rational गुणा एक irrational root" वाले रूप का परिणाम उसी तरह सिद्ध करना, घटाने की जगह भाग का इस्तेमाल करके
  • पहचानना कि irrationality वाले दो दिए गए सवालों में से किसे पूरे विरोधाभास वाले औज़ार चाहिए और किसे सिर्फ़ एक बार फिर से व्यवस्थित करना

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक पंक्ति में अर्थहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ
irrationalऐसी संख्या जिसे एक integer बटा दूसरे integer के रूप में, शून्य से अलग नीचे वाले हिस्से के साथ, व्यक्त नहीं किया जा सकताअपरिमेय संख्या§1.3, p. 6 में छपा
rationalऐसी संख्या जो इस तरह व्यक्त की जा सकती हैपरिमेय संख्या§1.3, p. 6 में छपा
coprime1 के अलावा कोई factor साझा न करनासहअभाज्य§1.3, p. 7 में छपा
primechapter के आम दावे में root के नीचे वाली संख्या पर शर्तअभाज्य§1.3, p. 6 में छपा
real numbersrationals और irrationals एक साथ, chapter का विषयवास्तविक संख्याएँchapter के शीर्षक के रूप में और §1.3, p. 6 में छपा
sum or differenceकक्षा IX से chapter जो दो मेल वाले तथ्य याद करता है, उनमें पहलायोग या अंतर§1.3, p. 8 में छपा
quotientदूसरे मेल वाले तथ्य का भाग वाला रूपभागफल§1.3, p. 8 में छपा
non-zero rationalवह गुणक या भाजक जिसे मेल वाले तथ्यों के सच होने के लिए 0 नहीं होना चाहिएशून्येतर परिमेय संख्या§1.3, p. 8 में छपा
template proofएक तर्क जिसमें prime की जगह भरने के लिए ख़ाली छोड़ी गई हैसांचा उपपत्तिइस पाठ का शब्द; chapter तर्क को फिर चलाता है पर यह नाम नहीं देता कि वह क्या कर रहा है
reduction to a settled caseकिसी बात को पहले से स्थापित परिणाम पर निर्भर बनाकर सिद्ध करनाज्ञात स्थिति में परिवर्तनइस पाठ का वाक्यांश; इस chapter में नहीं छपा
closureयह तथ्य कि संख्याओं का कोई समुच्चय किसी संक्रिया के बाद अपने ही अंदर रहता हैसंवृतताइस पाठ की शब्दावली; chapter इस गुण का इस्तेमाल करता है पर उसे नाम नहीं देता

हिंदी column में standard हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। इस पाठ्यपुस्तक का हिंदी संस्करण नहीं देखा गया, इसलिए इस column को standard चलन मानें, हिंदी संस्करण के ठीक-ठीक शब्द नहीं।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "इनमें से हर एक अलग प्रमाण है जिसे रटना है।" एक ही प्रमाण है, अलग-अलग primes पर चलाया गया, और फिर एक ही बार फिर से व्यवस्थित करना, अलग-अलग expressions पर चलाया गया। किसी सवाल को इन दोनों में से कौन-सा चाहिए, यह पहचानना ही ज़्यादातर काम है।
  • "तर्क दिखाता है कि कोई भी वर्गमूल irrational है।" यह 4 पर एक दिखती हुई जगह पर अटकता है, और 4 कोई अनोखा अपवाद नहीं — हर पूर्ण वर्ग ऐसा ही करता है। chapter का आम दावा ठीक इसी वजह से primes पर कहा गया है।
  • "तो किसी composite number का वर्गमूल rational है।" यह भी नहीं निकलता, और दोनों में यह ज़्यादा नुक़सान वाली ग़लती है। 4 पर अटकना दिखाता है कि ढाँचा composite वाले मामले का फ़ैसला नहीं करता, यह नहीं कि वह मामला उलटा निकलता है। यह सीधे कहिए, और composite वाले मामले को खुला छोड़िए।
  • "Example 6 को फिर से पूरा विरोधाभास वाला औज़ार चाहिए।" उसे फिर से व्यवस्थित करने की एक पंक्ति चाहिए, और एक परिणाम जो उसी पन्ने पर कुछ पंक्ति ऊपर पूरा हुआ। जो students coprime integers से फिर शुरू करते हैं, उन्होंने नहीं देखा कि example किस लिए है।
  • "एक rational जमा एक irrational rational हो सकता है।" अगर होता, तो rational को वापस घटाने पर rational बचता, और irrational rational हो जाता। कक्षा IX वाले पहले तथ्य की पूरी सामग्री यही एक वाक्य है, और तथ्य को बस दोहराने के बजाय इसे कहना बेहतर है।
  • "3 गुना एक root irrational है क्योंकि 3 कोई root नहीं है।" असली वजह यह है कि किसी rational को किसी शून्येतर rational से भाग देने पर नतीजा rational ही रहता है।

Worked answers: Exercise 1.1 · Exercise 1.2 · this video explains Exercise 1.2 Q1, Exercise 1.2 Q2, Exercise 1.2 Q3

पूरा transcript2,165 शब्द

आपने देखा कि 2 का वर्गमूल किसी भिन्न के बराबर नहीं हो सकता। अब सामने हैं 3 का वर्गमूल, और फिर 5 का वर्गमूल। ऐसा लगता है कि अब रटने के लिए कई proof हैं, सभी संख्याओं का अलग अलग। ऐसा नहीं है; ये असल में एक ही proof है। उस तर्क में संख्या 2 ने कुछ नहीं किया, बस कुछ lines में बैठी रही, और prime रही। उसे निकाल दीजिए, उसकी जगह खाली छोड़ दीजिए, और आपके हाथ में एक मशीन है जिसमें कुछ भी डाला जा सकता है।

इस video में हम वो मशीन बनाएँगे, उसमें संख्याएँ डालेंगे, और फिर ऐसी संख्या डालेंगे जिससे वो अटक जाए। तो पुराने तर्क में वापस चलिए, और सभी जगहों पर निशान लगाइए जहाँ वो संख्या आती है। मान लीजिए वर्गमूल किसी अंश बटा हर के बराबर है, और अंश और हर में कुछ साझा नहीं। हर से गुणा करके वर्ग कीजिए, तो मिलता है: वो संख्या गुणा हर का वर्ग, बराबर अंश का वर्ग।

ये पहली जगह है जहाँ वो संख्या आती है। बाईं तरफ़ वो संख्या गुणा एक पूर्ण संख्या है, तो वो संख्या अंश के वर्ग को काटती है। फिर वो क़दम जिसे theorem चाहिए: तो वो अंश को भी काटती है। अंश को उस संख्या गुणा एक नई संख्या लिखिए, equation में रखिए, और काटिए। आप पहुँचते हैं: हर का वर्ग, बराबर कुछ गुणा नई संख्या का वर्ग। फिर वही theorem, और हर के बारे में वही नतीजा।

इनमें से सभी lines में वो संख्या है, और बाक़ी किसी में नहीं। तो उसे सभी जगहों से मिटा दीजिए, और एक खाली खाना छोड़ दीजिए। अब जो बचा, वो संख्या 2 का proof नहीं है; ये उस खाने में डाली गई किसी भी संख्या का proof है। अब इस खाने में संख्या 3 डालिए। मान लीजिए 3 का वर्गमूल अंश बटा हर है, और दोनों में कुछ साझा नहीं।

गुणा करके वर्ग कीजिए: 3 गुणा हर का वर्ग, बराबर अंश का वर्ग। बाईं तरफ़ 3 गुणा पूर्ण संख्या है, तो अंश के वर्ग को 3 काटता है। संख्या 3 एक prime है, तो अंश को भी 3 काटता है; वही theorem, बस दूसरा prime। अंश को 3 गुणा नई संख्या लिखिए; तो 3 गुणा हर का वर्ग, बराबर 9 गुणा नई संख्या का वर्ग। दोनों तरफ़ 3 से भाग दीजिए, तो हर का वर्ग बराबर 3 गुणा नई संख्या का वर्ग।

ये line वही equation है जिससे हम चले थे, बस अंश की जगह हर है। तो हर के वर्ग को 3 काटता है, और 3 prime है, इसलिए हर को भी 3 काटता है। अंश और हर दोनों में 3 है, जबकि उनमें कुछ भी साझा नहीं होना था। यही विरोधाभास है, और इसकी एक भी line ख़ास संख्या 3 के लिए नहीं गढ़ी गई। अब इसमें संख्या 5 डालिए, और इस बार ख़ुद देखिए कि वो कहाँ कहाँ जाती है।

वर्ग करने के बाद मिलता है: 5 गुणा हर का वर्ग, बराबर अंश का वर्ग। अब theorem को संख्या 5 के साथ लगाइए, तो अंश को 5 काटता है। अंश को 5 गुणा नई संख्या लिखकर काटिए, तो हर का वर्ग बराबर 5 गुणा नई संख्या का वर्ग। फिर वही theorem संख्या 5 के साथ, और हर को भी 5 काटता है। दोनों जगह prime वही एक, और टक्कर भी वही।

और ध्यान दीजिए, किसी ने पूछा तक नहीं कि 5 का वर्गमूल कितना है। कोई दशमलव नहीं निकाला गया; तर्क को उसकी परवाह ही नहीं। तो याद रखने वाली बात किसी एक संख्या के बारे में नहीं है। बात ये है: कोई भी prime संख्या हो, उसका वर्गमूल अपरिमेय है। एक ही कथन, और सभी ख़ास मामले बस उसी कथन में खाना भरकर बनते हैं। संख्या 200 तक 46 संख्याएँ prime हैं, यानी एक ही तर्क से 46 नतीजे।

पर कथन prime की बात करता है, और सावधान आदमी पूछेगा कि क्यों। आख़िर कौन सा क़दम prime माँगता है? आम जवाब है वो theorem वाला क़दम, कि संख्या अंश के वर्ग को काटे तो अंश को भी काटे। ये जवाब ग़लत है, और आगे के कुछ मिनट इस video का सबसे काम का हिस्सा हैं। उस क़दम को संख्या 6 पर परखिए, जो prime नहीं है। क्या अंश के वर्ग को 6 काटे, तो अंश को भी 6 काटना ही पड़ेगा?

संख्या 1 से 600 तक, सभी पर जाँचकर देखते हैं। ये बात पूरी 600 संख्याओं पर सच निकलती है, एक भी अपवाद नहीं। संख्या 6 prime नहीं है, फिर भी उस मशहूर क़दम को कोई फ़र्क़ नहीं पड़ता। वजह ये है कि 6 squarefree है, यानी 1 से बड़ा कोई वर्ग उसे नहीं काटता। संख्या 2 से 200 तक, squarefree संख्याएँ 121 हैं, जबकि prime सिर्फ़ 46 हैं। तो नतीजे को prime तक सीमित करने वाला क़दम वो theorem नहीं है; कुछ और है।

पूरा तर्क 6 पर चलाइए: 6 गुणा हर का वर्ग, बराबर अंश का वर्ग। अंश को 2 काटता है, तो अंश बराबर 2 गुणा नई संख्या। रखने पर 6 गुणा हर का वर्ग, बराबर 4 गुणा नई संख्या का वर्ग; अब 2 से भाग दीजिए। मिलता है, 3 गुणा हर का वर्ग, बराबर 2 गुणा नई संख्या का वर्ग। ये वो equation नहीं है जिससे हम चले थे; शक्ल ही बदल गई।

संख्या 6 टूटकर एक तरफ़ 3 और दूसरी तरफ़ 2 बन गई, और दोहराने को कुछ नहीं बचा। तो prime की ज़रूरत यहीं है: theorem वाले क़दम पर नहीं, दोहराव पर। अब वो मामला पूरा देखते हैं जो बिल्कुल अलग तरह से अटकता है। अब खाने में संख्या 4 डालिए। मिलता है 4 गुणा हर का वर्ग, बराबर अंश का वर्ग; बायाँ हिस्सा सम है, तो अंश को 2 काटता है।

ये क़दम ठीक है; अंश बराबर 2 गुणा नई संख्या। अब 4 गुणा हर का वर्ग, बराबर 4 गुणा नई संख्या का वर्ग; दोनों तरफ़ 4 से भाग दीजिए। बचता क्या है? हर का वर्ग, बराबर नई संख्या का वर्ग। इसके साथ संख्या 3 वाला नतीजा देखिए, कि हर का वर्ग बराबर 3 गुणा नई संख्या का वर्ग। बस एक line का फ़र्क़, और सारा दारोमदार उसी पर। संख्या 3 वाली line का कोई पूर्ण हल नहीं; 40000 जोड़ियाँ जाँचीं, एक भी नहीं।

और 4 वाली line का सभी हरों के लिए हल है; नई संख्या को हर के बराबर ले लीजिए, बस। हर को 200 तक लें, तो ऐसे 200 हल मिलते हैं। यहाँ कोई विरोधाभास नहीं, क्योंकि टकराने को कुछ है ही नहीं। और ये बिल्कुल सही है, क्योंकि 4 का वर्गमूल 2 है, यानी 2 बटा 1 वाला भिन्न। अब बहुत सावधान रहिए, क्योंकि यहीं एक ग़लत सबक़ छिपा बैठा है।

तर्क 4 पर अटका, पर इससे ये नहीं निकलता कि भाज्य संख्याओं के वर्गमूल भिन्न होते हैं। इससे बस इतना निकलता है कि ये तर्क उस सवाल को तय नहीं करता। ये बिल्कुल अलग अलग बातें हैं, और इन्हें मिला देना ही नुक़सान करता है। संख्या 2 से 200 तक 153 भाज्य संख्याएँ हैं, और उनमें से 140 के वर्गमूल अपरिमेय हैं। सिर्फ़ 13 अपरिमेय नहीं हैं, और वो ठीक पूर्ण वर्ग वाली संख्याएँ हैं।

संख्या 6, फिर 8, फिर 10, और फिर 12, सभी भाज्य हैं और सभी के वर्गमूल अपरिमेय। संख्या 6 पर तो रखने के बाद 2 बटा 3 मिलता है, जो पूर्ण संख्या भी नहीं। औज़ार का चुप हो जाना, औज़ार का ना कहना नहीं है। वो बस इतना कह रहा है: मुझसे कुछ और पूछिए। अब दूसरा हिस्सा, और एक सवाल जो मुश्किल दिखता है पर आसान है। दिखाइए कि 5 घटा 3 का वर्गमूल अपरिमेय है।

पहला ख़याल यही आता है कि फिर से शुरू करें, और मान लें कि ये अंश बटा हर है, जिनमें कुछ साझा नहीं। ऐसा कीजिए, तो पूरा पन्ना घिसकर भी कहीं नहीं पहुँचेंगे। क्योंकि यहाँ नए विरोधाभास की ज़रूरत नहीं; बस एक line की उलट पलट चाहिए। मान लीजिए 5 घटा वर्गमूल, अंश बटा हर के बराबर है। अब वर्गमूल को अकेले एक तरफ़ ले आइए। तो 3 का वर्गमूल, बराबर 5 घटा अंश बटा हर।

एक ही हर पर लाने से ऊपर 5 गुणा हर, घटा अंश, आता है, और नीचे हर आता है। ऊपर वाला हिस्सा पूर्ण संख्या है, क्योंकि उसमें सब कुछ पूर्ण संख्याएँ हैं। और नीचे हर है, जो पूर्ण संख्या है और शून्य नहीं। यानी 3 का वर्गमूल किसी भिन्न के बराबर निकलता। और ये तो हम पहले ही तय कर चुके हैं कि ऐसा नहीं हो सकता। तो मान्यता गिर जाती है, और कोई दूसरा तर्क चलाना ही नहीं पड़ा।

देखिए वहाँ असल काम किस गुण ने किया, क्योंकि वो आसानी से छूट जाता है। वो वर्गमूलों के बारे में कोई बात नहीं थी। बात ये थी कि पूर्ण संख्याओं को घटाओ, तो पूर्ण संख्या ही बचती है। और पूर्ण संख्या बटा शून्य से अलग पूर्ण संख्या, परिभाषा से ही भिन्न है। इसे अलग से कहें तो: भिन्न में से भिन्न घटाओ, तो भिन्न ही मिलता है। ऐसी 9020 जोड़ियाँ जाँची गईं, और सभी में अंतर भिन्न ही रहा।

तो अगर कोई भिन्न और कोई अपरिमेय संख्या मिलकर भिन्न बनें, तो वो भिन्न वापस घटा दीजिए। तब वो अपरिमेय संख्या भिन्न निकलती, जो वो है नहीं। यही एक वाक्य उस पूरे नियम का सार है, और नियम से ज़्यादा काम का है। यही चाल गुणक के साथ भी चलती है, बस घटाने की जगह भाग। दिखाइए कि 3 गुणा 2 का वर्गमूल अपरिमेय है। अगर ये अंश बटा हर हो, तो 2 का वर्गमूल बराबर अंश बटा, 3 गुणा हर।

पूर्ण बटा पूर्ण, और नीचे शून्य नहीं, क्योंकि हर शून्य नहीं है। यानी वर्गमूल भिन्न होता, जो वो नहीं है; बात ख़त्म। पर यहाँ एक ऐसी शर्त है जो घटाने वाले मामले में नहीं थी। गुणक शून्य नहीं होना चाहिए। शून्य गुणा 2 का वर्गमूल, शून्य ही है, और शून्य तो बढ़िया सा भिन्न है। तो नियम ये है: अपरिमेय संख्या को शून्य से अलग किसी भिन्न से गुणा करें, तो वो अपरिमेय ही रहती है।

ऐसे 9020 मेल जाँचे गए; गुणक शून्य न हो तो ये चाल सभी बार चली, और जिन 220 में गुणक शून्य था, वही नियम से बाहर हैं। ये नुक्ताचीनी नहीं; यही अकेली जगह है जहाँ वो कथन ग़लत हो जाता। अब कुछ आम नियम सामने हैं, और ईमानदारी से देखना चाहिए कि उनमें से कितना साबित हुआ। पहला नियम: किसी भिन्न को किसी अपरिमेय संख्या से जोड़ें या घटाएँ, तो अपरिमेय ही मिलता है।

दूसरा नियम: अपरिमेय संख्या को शून्य से अलग भिन्न से गुणा या भाग करें, तो अपरिमेय ही मिलता है। दोनों सच हैं, पर यहाँ दोनों में से कोई भी पूरी आम शक्ल में साबित नहीं हुआ। जो हुआ, वो बस ख़ास मामले हैं, घटाने वाला और गुणा वाला, जिनमें वर्गमूल पहले से अपरिमेय पता था। ये कोई कमी नहीं; यही वजह है कि ये उदाहरण करने लायक हैं। अगर आम नियम पहले से हाथ में होते, तो दोनों बस एक line में उद्धरण बनकर रह जाते।

उन्हें हाथ से करने पर ही दिखता है कि असल में किस गुण पर टिके हैं। अब छाँटने के लिए 4 सवाल हैं, और छाँटना ही असली हुनर है। पहला सवाल: 3 जोड़ 2 गुणा 5 का वर्गमूल। दूसरा सवाल: 1 को 2 के वर्गमूल से भाग देने पर जो मिलता है। तीसरा सवाल: 7 गुणा 5 का वर्गमूल। चौथा सवाल: 6 जोड़ 2 का वर्गमूल। इनमें से किसी को भी पूरी मशीन नहीं चाहिए; सभी बस उलट पलट हैं।

पहले में 3 घटाइए, फिर 2 से भाग दीजिए, और 5 का वर्गमूल अकेला भिन्न बनकर रह जाता है। तीसरे में बस 7 से भाग दीजिए। चौथे में बस 6 घटाइए। दूसरा सवाल दिलचस्प है, और अकेला वही है जिसमें थोड़ी सावधानी चाहिए। अगर ये संख्या अंश बटा हर हो, तो वर्गमूल बराबर हर बटा अंश। उलटने के लिए अंश शून्य नहीं होना चाहिए; तो क्या अंश शून्य हो सकता है?

नहीं, क्योंकि 1 को 2 के वर्गमूल से भाग दें तो शून्य नहीं मिलता, तो अंश भी शून्य नहीं हो सकता। जाँची गई 1830 जोड़ियों में से, 30 का अंश शून्य है, और बाक़ी सारी 1800 जोड़ियाँ ठीक उलटती हैं। बस यही एक अतिरिक्त क़दम है, और इसी के लिए वो सवाल रखा गया है। अब पीछे हटकर देखिए, पूरी तस्वीर सीधी है। सबसे नीचे एक ही तर्क है, कि किसी prime का वर्गमूल भिन्न नहीं होता।

उसके ऊपर अलग अलग prime हैं, जो उसी तर्क में खाना भरकर बनते हैं। और उनके ऊपर ऐसे नतीजे, जैसे 5 घटा वर्गमूल या 3 गुणा वर्गमूल, जो असल में तर्क हैं ही नहीं। सभी में बस एक उलट पलट, जो किसी पहले से तय मामले पर जाकर टिकती है। तो ऐसा कोई सवाल मिले, तो पहले तय कीजिए कि वो किस मंज़िल पर रहता है। उसे पूरी मशीन चाहिए, या बस एक line?

लगभग हमेशा एक line काफ़ी है, और वो line वर्गमूल को अकेला कर देती है। चाहें तो पहले अंकों से जाँच लीजिए, पर जानिए कि उससे मिलता क्या है। हर को 2000 तक रखें, तो 2 के वर्गमूल का सबसे क़रीबी भिन्न 1393 बटा 985 है। ये बहुत पास है, पर वर्गमूल नहीं है, और कोई भी भिन्न नहीं है। और proof इस पर नहीं टिका है, और कभी टिका भी नहीं था।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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