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Chapter 2 · Polynomials

Degree: वह पहचान जो linear, quadratic और cubic को अलग करती है

Degree, value and zero14 मिनट

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किसी polynomial की घात, यानी degree, कोई लेबल नहीं जो छाँटने के लिए चिपका दिया गया हो। वो एक भविष्यवाणी है: कुछ भी हल करने से पहले ही बता देती है कि curve, axis से ज़्यादा से ज़्यादा कितनी बार मिल सकता है।

मुख्य idea

Degree कोई ऐसा label नहीं जो बाद में चिपका दिया गया हो। यह वह अकेला number है जो तय करता है कि कोई polynomial क्या-क्या कर सकता है — उसका curve horizontal axis से कितनी बार मिल सकता है, और इसलिए उसके ज़्यादा से ज़्यादा कितने zeroes हो सकते हैं — तो किसी चीज़ को linear, quadratic या cubic कहना पहले से ही उसके बर्ताव के बारे में एक भविष्यवाणी है। इसी वजह से वे expressions शुरू में ही बाहर कर दिए जाते हैं जिनमें variable किसी division line के नीचे या square root के अंदर बैठा हो: उनकी degree के रूप में कोई पूर्ण संख्या बताई ही नहीं जा सकती, तो भविष्यवाणी के पास टिकने को कुछ नहीं बचता।

आपको क्या आना चाहिए

  • one variable वाले polynomial की degree पहचानना, उस variable की सबसे बड़ी power ढूँढ़कर जो सचमुच expression में मौजूद है
  • तय करना कि दिया गया expression polynomial कहलाने लायक़ है भी या नहीं, और इसकी वजह उसमें आई powers के हिसाब से बताना
  • polynomials को degree के हिसाब से linear, quadratic और cubic परिवारों में छाँटना
  • quadratic और cubic का general form लिखना, और उसके हर letter का नाम बताना
  • समझाना कि हर general form में सबसे आगे वाला letter non-zero क्यों होना चाहिए — यह बताकर कि वरना degree का क्या होता
  • पहचानना कि terms किस क्रम में लिखे गए हैं, इससे degree पर कोई असर नहीं पड़ता
  • बताना कि degree zeroes की संख्या के बारे में क्या भविष्यवाणी करती है, उस दलील से पहले जो chapter में आगे इसे साबित करती है

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक पंक्ति में अर्थहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ
polynomialvariable से सिर्फ़ पूर्ण-संख्या वाली powers लेकर बना expression, हर power किसी real number से गुणा होकर और सब आपस में जुड़करबहुपदकक्षा IX से मान लिया गया; §2.1, p. 10 की पहली line से इस्तेमाल में
degreeexpression में सचमुच मौजूद variable की सबसे बड़ी powerघात§2.1, p. 10
linear polynomialवह polynomial जिसकी degree 1 हैरैखिक बहुपद§2.1, p. 10
quadratic polynomialवह polynomial जिसकी degree 2 हैद्विघात बहुपद§2.1, p. 10
cubic polynomialवह polynomial जिसकी degree 3 हैत्रिघात बहुपद§2.1, pp. 10–11
coefficientvariable की किसी दी हुई power से गुणा होने वाली real numberगुणांक§2.1, p. 10, और पूरे §2.3 में इस्तेमाल
constant termवह हिस्सा जिसमें कोई variable है ही नहींअचर पद§2.1, p. 11
variableवह letter जिसमें polynomial लिखा गया है — यह chapter x, y, u, v, z, s और t इस्तेमाल करता हैचर§2.1, p. 10
real numberवह तरह की संख्या जो यहाँ coefficients हो सकती हैवास्तविक संख्या§2.1, p. 10
leading coefficientसबसे ऊँची power से गुणा होने वाली संख्या — ax² + bx + c का aअग्र गुणांकइस पाठ का शब्द; किताब इसकी जगह पूरा "Coefficient of x²" लिखती है और यह जोड़ा हुआ शब्द कभी इस्तेमाल नहीं करती
degree familylinear / quadratic / cubic वाले समूह के लिए इस पाठ का छोटा नामघात-कुलइस पाठ का शब्द; किताब तीनों परिवारों के नाम तो लेती है, पर उनके लिए कोई सामूहिक संज्ञा नहीं देती

इस पाठ्यपुस्तक का हिंदी संस्करण नहीं देखा गया, इसलिए हिंदी column को उस संस्करण के ठीक-ठीक शब्द नहीं, standard गणितीय शब्दावली मानें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "Degree terms गिनती है।" 3x³ − 2x² + x − 1 में चार terms हैं और degree 3; √2x³ में एक term है और degree फिर भी 3। powers गिनिए, terms नहीं।
  • "पहला term degree बता देता है।" 2x + 5 − x² chapter में ठीक इसीलिए छपा है कि वह non-linear expression है। तय करने से पहले पूरा expression देखिए।
  • "1/(x − 1) की degree −1 है, तो वह negative degree वाला polynomial है।" यह polynomial है ही नहीं, इसलिए इसकी कोई degree नहीं। definition सिर्फ़ ऐसे terms मानती है जिनमें कोई संख्या variable की किसी पूर्ण-संख्या power से गुणा हो, और 1/(x − 1) variable को division line के नीचे रखता है, जिसे इस तरह नहीं लिखा जा सकता — इसीलिए section उसे उन चीज़ों में गिनाता है जो polynomial नहीं हैं।
  • "√x + 2 ठीक है क्योंकि उसमें कोई fraction नहीं है।" square root आधी power है, जिसे definition भी नहीं मानती। fraction वाली ही जाँच में यह भी फ़ेल होता है, बस अलग वजह से।
  • "a ≠ 0 एक बारीकी है जिसे कोई नहीं जाँचता।" शब्द 'quadratic' का पूरा मतलब यही है। इसके बिना ax² + bx + c ऐसी चीज़ का नाम हो सकता था जो सीधी line निकले।
  • "सिर्फ़ x ही variable हो सकता है।" अकेले §2.1 में chapter यही बातें x, y, u, v और z में चलाता है, और Exercise 2.2 इनमें s और t जोड़ देती है। letter का अपना कोई मतलब नहीं होता।
  • "coefficients पूर्ण संख्याएँ ही होने चाहिए।" √3, √5, −2/5, 1/7 और 2/3, सब coefficients के रूप में आते हैं, p. 10 पर।

Worked answers: Exercise 2.1 · Exercise 2.2

पूरा transcript2,171 शब्द

किसी भी polynomial के साथ एक संख्या चलती है, जो तय करती है कि वो क्या कर सकता है। उस संख्या का नाम है degree, यानी घात। सुनने में ये बस एक लेबल लगता है: linear, quadratic, cubic, कुछ डिब्बे जिनमें चीज़ें छाँटनी हैं। पर ये लेबल नहीं है; ये एक भविष्यवाणी है। कुछ भी हल करने से पहले ही ये बता देती है कि curve, axis को ज़्यादा से ज़्यादा कितनी बार काट सकता है।

और इस बात को पक्का करने वाला दावा ये है। किसी polynomial की घात, उस polynomial को देखे बिना भी निकाली जा सकती है। पहले नियम, जो बहुत छोटा सा है। घात वो सबसे बड़ा घातांक है, जो variable पर सच में दिखाई देता है। जैसे 4 गुणा x जोड़ 2 में, x का सबसे बड़ा घातांक 1 है, तो घात भी 1 है। और 2 गुणा y का वर्ग, घटा 3 गुणा y, जोड़ 4 की घात 2 है।

और 5 गुणा x का घन, घटा 4 गुणा x का वर्ग, जोड़ x, घटा 2 का वर्गमूल की घात 3 है। ध्यान दीजिए, variable का letter बदला, और कुछ भी नहीं बदला। इस letter का अपना कोई मतलब नहीं; वो बस संख्या रखने की एक जगह है। अब एक मुश्किल वाला, जिसकी शुरुआत u की छठी घात से होती है। इसमें घातांक हैं शून्य, फिर 1, फिर 2, फिर 4 और 6; सबसे बड़ा 6 है, तो इसकी घात भी 6 है।

और देखिए क्या ग़ायब है: न घन है, न पाँचवीं घात। नियम सबसे बड़े मौजूद घातांक की बात करता है, और ग़ायब घातांकों के बारे में कुछ नहीं कहता। अब शुरुआत वाला वादा: घात, बिना देखे। ये रहा एक polynomial, पर मैं उसे आपको दिखाऊँगा नहीं। आपको बस ये मिलेगा कि वो क्या करता है: x को शून्य रखने पर उसका मान, फिर 1 रखने पर, फिर 2 रखने पर, और ऐसे ही आगे।

मान आते हैं माइनस 2, फिर माइनस 1, फिर 6, फिर 25, फिर 62, और आख़िर में 123 आता है। अब सभी संख्याओं को उनके अगले वाले में से घटाइए। मिलती है 1, फिर 7, फिर 19, फिर 37, और फिर 61 वाली पंक्ति। अभी कोई pattern नहीं दिखता; फिर से घटाइए। अब 6, फिर 12, फिर 18, फिर 24 आते हैं, जो बराबर क़दमों से बढ़ रहे हैं; एक बार और घटाइए।

अब 6, फिर 6, फिर 6 मिलता है, यानी सब बराबर। एक बार और घटाएँ, तो बस शून्य और शून्य बचते हैं। पूरे 3 बार घटाने पर ही पंक्ति बराबर हुई। घटाने के 3 दौर, यानी घात 3 है। और ये सभी polynomials के साथ होता है, बिना किसी अपवाद के। वो polynomial था x का घन घटा 2, और इस table ने घातांकों के बारे में कुछ जाने बिना 3 ढूँढ़ लिया।

घात कोई ऐसी चीज़ नहीं जो polynomial पर लिखी हो; ये वो है जो polynomial करता है। तो घात निकालने के बिल्कुल अलग अलग तरीक़े हैं। पहला तरीक़ा है सबसे बड़ा घातांक देखना; दूसरा है मानों को तब तक घटाते जाना, जब तक वो मिट न जाएँ। एक तीसरा तरीक़ा भी है: बिंदुओं से होकर curve बिठाना, और देखना कि कितना मुड़ा हुआ curve चाहिए। चौथी घात तक के सभी बहुपद, जिनके coefficients माइनस 2 से लेकर 2 तक हैं, तीनों तरीक़ों से परखे गए।

ऐसे कुल 3124 बहुपद बनते हैं। पढ़ने वाला और घटाने वाला तरीक़ा, सभी 3124 बहुपदों पर एक ही जवाब देते हैं, और curve वाला भी। इन तीनों में से बस पहला तरीक़ा polynomial को देखता है; बाक़ी उसे कभी देखते ही नहीं। अब ग़लती करने के कुछ रास्ते, जो नियम से भी ज़्यादा काम के हैं। पहली ग़लती ये मानना है कि घात, पदों की गिनती है। जैसे 3 गुणा x का घन, घटा 2 गुणा x का वर्ग, जोड़ x, घटा 1 में 4 पद हैं, और घात 3 है।

और 2 का वर्गमूल गुणा x का घन में बस एक पद है, फिर भी घात 3 है। एक पद हो या 4 पद, घात वही रहती है। पूरी जाँच में घात 3 वाले बहुपद 1 पद से लेकर 4 पदों तक मिले, और घात 4 वाले 1 से लेकर 5 पदों तक। तो घातांक देखिए; पदों को कभी मत गिनिए। दूसरी ग़लती है पहला पद देखकर घात बता देना।

अब 2 गुणा x, जोड़ 5, घटा x का वर्ग वाले बहुपद को देखिए। ये बिल्कुल linear की तरह शुरू होता है, 2 गुणा x से, जैसे 2 गुणा x घटा 3 वाला बहुपद। पर ये linear नहीं है, क्योंकि वर्ग सबसे आख़िर में बैठा है। इसलिए घात बताने से पहले पूरा बहुपद देखिए। क्योंकि पदों को किसी और क्रम में लिखने से बहुपद नहीं बदलता। इस video के सभी नमूनों को उनके पदों के सभी क्रमों में लिखा गया, कुल 230 तरह से।

और सभी 230 क्रमों में घात वही निकली। इसी बात का और मज़बूत रूप भी है: आगे कुछ ऐसे पद जोड़ना, जिनका coefficient शून्य हो। ऐसे 372 बहुपद, आगे शून्य वाले पद जोड़कर दोबारा लिखे गए। एक की भी घात नहीं हिली, क्योंकि जिस घातांक के आगे शून्य लिखा हो, वो असल में मौजूद ही नहीं। तीसरी ग़लती सबसे बड़ी है, और वो उन expressions के बारे में है जिन्हें बाहर कर दिया जाता है।

पहला है 1 बटा, x घटा 1; दूसरा है x का वर्गमूल जोड़ 2; और तीसरा है 1 बटा, x का वर्ग जोड़ 2 गुणा x जोड़ 3 वाला expression। इनमें से कोई polynomial नहीं है, और आम तौर पर वजह ये बताई जाती है कि घातांक पूर्ण संख्या नहीं। ये वजह इनमें से बस एक पर सही बैठती है, क्योंकि x का वर्गमूल असल में x की आधी घात है।

पर आख़िरी वाले में, x के सभी घातांक पूर्ण संख्याएँ हैं। और वो सभी वास्तविक संख्याओं पर परिभाषित है, क्योंकि उसका नीचे वाला हिस्सा कहीं भी शून्य नहीं होता। तो वो टूटे घातांक की वजह से बाहर नहीं, और कहीं अनंत हो जाने की वजह से भी नहीं। जो वजह तीनों को एक साथ पकड़ती है, वो घात के बारे में है। किन्हीं polynomials का आपस में गुणा करें, तो उनकी घातें जुड़ जाती हैं; ये 624 गुणनफलों पर जाँचा गया, और सभी पर सही निकला।

तो मान लीजिए 1 बटा, x घटा 1 कोई polynomial p होता; तब p गुणा, x घटा 1, बराबर 1 होता। बाईं तरफ़ की घात कम से कम 1 है, और दाईं तरफ़ की घात शून्य है। ऐसे 624 उम्मीदवारों का गुणा करके देखा गया, और एक से भी 1 नहीं मिला। अब x का वर्गमूल जोड़ 2 वाला expression भी इसी तरह गिरता है: अगर ये polynomial होता, तो इसमें से 2 हटाकर वर्ग करने पर x मिलता।

पर वर्ग करने से घात दुगुनी हो जाती है, और किसी पूर्ण संख्या को दुगुना करने से 1 कभी नहीं मिलता। ऐसे 624 उम्मीदवारों का वर्ग किया गया, और एक का भी वर्ग x नहीं निकला। इन expressions को एक घात चाहिए, और कोई पूर्ण संख्या उस जगह बैठ ही नहीं सकती। तो घात 1 का मतलब, linear परिवार। ये रहे इसके 6 सदस्य, और देखने की बात ये है कि वो आपस में कितने कम मिलते हैं।

पहले हैं 2 गुणा x घटा 3, फिर 3 का वर्गमूल गुणा x जोड़ 5, और y जोड़ 2 का वर्गमूल। फिर x घटा 2 बटा 11, फिर 3 गुणा z जोड़ 4, और 2 बटा 3 गुणा u जोड़ 1 वाला सदस्य। इनमें 4 अलग अलग letters हैं, और 6 में से 4 के coefficient पूर्ण संख्या नहीं। यहाँ coefficient कोई भी वास्तविक संख्या हो सकता है; ये कोई छूट नहीं, परिभाषा ही यही है।

इन सभी में बस एक बात साझा है, जो अकेली मायने रखती है: सबसे बड़ा घातांक 1 है। घात 2 का मतलब, quadratic परिवार। ये नाम एक पल रुकने लायक है: ये वर्ग के लिए एक शब्द से आया है, किसी गिनती वाले शब्द से नहीं। यानी परिवार का नाम दूसरी घात की ज्यामिति पर पड़ा, वर्ग वाले आकार पर, न कि संख्या 2 पर। ये रहे 6 quadratic बहुपद।

इनमें एक है y का वर्ग घटा 2 वाला बहुपद, और एक है 2 घटा x का वर्ग, जोड़ 3 का वर्गमूल गुणा x। इन 6 में से बस एक ही सलीक़े से लिखा है, सबसे बड़ी घात पहले और तीनों घातें मौजूद। इनमें से 2 वर्ग से शुरू ही नहीं होते, और 2 में x की पहली घात वाला पद है ही नहीं। फिर भी सभी quadratic हैं; पन्ने पर दिखने वाली शक्ल, गणित नहीं है।

तो आम quadratic रूप किस काम का है? उसे लिखते हैं a x का वर्ग, जोड़ b x, जोड़ c। यहाँ a, b और c वास्तविक संख्याएँ हैं, और a शून्य नहीं है। यहाँ a वर्ग को गुणा करता है, b अकेले x को, और c constant पद है। और c को बिना देखे constant पहचानने का तरीक़ा भी है: x की जगह शून्य रख दीजिए। तब x वाले सभी पद ग़ायब हो जाते हैं, और बचता है बस c; ये पूरी जाँच के सभी 3125 बहुपदों पर परखा गया।

फिर a शून्य न हो, ऐसे सभी 100 चुनाव आज़माए गए, और सभी quadratic निकले। तो आम रूप कोई साँचा नहीं जिसमें लिखना ज़रूरी हो; ये दावा है कि सभी quadratic इस तरह लिखे जा सकते हैं। घात 3 का मतलब cubic परिवार, और इसका आम रूप भी उसी pattern पर चलता है। इसका रूप है a x का घन, जोड़ b x का वर्ग, जोड़ c x, जोड़ d; letters बढ़ गए, और a अब भी शून्य नहीं।

फिर a को शून्य से अलग रखते हुए 500 चुनाव आज़माए गए, और उनमें से सभी 500 बहुपद cubic निकले। पर देखिए कि cubic को उस रूप जैसा दिखना कितना कम ज़रूरी है। जैसे 2 घटा x का घन, फिर अकेला x का घन, और फिर 2 का वर्गमूल गुणा x का घन। एक पद वाला cubic भी बिल्कुल आम cubic है। फिर 3 घटा x का वर्ग जोड़ x का घन है: 3 पद, घन सबसे आख़िर में, और अकेला x कहीं नहीं।

उसमें एक पद ग़ायब है और बाक़ी उलटे क्रम में हैं, फिर भी वो cubic ही है। इन 5 में से बस एक पूरा लिखा गया है। अब वो शर्त जो बस एक औपचारिकता लगती है: a शून्य नहीं। ये औपचारिकता नहीं; quadratic शब्द का पूरा मतलब यही है। अब a x का वर्ग, जोड़ b x, जोड़ c में a को शून्य रखिए, और देखिए। वर्ग ग़ायब हो जाता है, और बचता है b x जोड़ c।

छोटी पूर्ण संख्याओं वाली b और c की सभी जोड़ियाँ आज़माई गईं, कुल 121 जोड़ियाँ। इनमें से 110 घात 1 पर आ गिरीं, और 10 तो सीधे घात शून्य पर, बस एक अकेला constant। और एक में, जहाँ b और c दोनों शून्य थे, कुछ भी नहीं बचा। इन 121 में से एक भी quadratic नहीं रहा। और cubic रूप में a को शून्य रखिए, तो 343 मामलों में से एक भी cubic नहीं बचता।

तो a शून्य नहीं वाली शर्त, आख़िर में जोड़ी गई औपचारिकता नहीं; ये माँग है कि वर्ग सच में मौजूद हो। तो ये सारा नाम रखना असल में किस काम का है? जवाब ये है कि घात एक छत है: curve, axis से ज़्यादा से ज़्यादा कितनी बार मिल सकता है, यानी x के कितने मानों पर बहुपद शून्य हो सकता है। घात 1 हो तो ज़्यादा से ज़्यादा 1 बार, घात 2 हो तो 2 बार, और घात 3 हो तो 3 बार।

ये बड़ा दावा है, तो इसे नापा गया: पूरी जाँच के सभी 3124 बहुपदों के असली हल, ठीक ठीक गिने गए। किसी के भी हल उसकी घात से ज़्यादा नहीं निकले; और सभी घातों पर कोई न कोई बहुपद, उस छत तक पहुँचता भी है। अब अकेले 100 quadratic बहुपदों को देखिए। इनमें से 56 बहुपद axis को 2 जगह काटते हैं, और 8 बहुपद उसे बस 1 जगह छूते हैं।

और 36 बहुपद axis से कभी मिलते ही नहीं, कहीं कोई असली हल नहीं। शून्य, 1 या 2 जगह, पर 3 जगह कभी नहीं। पर cubic अलग बर्ताव करते हैं: उन 500 बहुपदों में से सभी का कम से कम एक असली हल है। विषम घात axis से बच नहीं सकती; सम घात बच सकती है। यही इस नाम की कमाई है: कुछ हल करने या बनाने से पहले ही, घात बता देती है कि क्या मुमकिन है।

तो अब पूरी बात एक साथ। घात वो सबसे बड़ा घातांक है जो सच में मौजूद हो; न पहला पद, न पदों की गिनती, और न लिखने का क्रम। घात 1 हो तो linear, घात 2 हो तो quadratic, और घात 3 हो तो cubic; और आम रूप इन परिवारों के बारे में दावे हैं, कोई पोशाक नहीं जो पहननी ही पड़े। और जिस expression में variable भाग की लकीर के नीचे या वर्गमूल के अंदर हो, उसके पास देने को कोई घात ही नहीं।

पर याद रखने वाला वाक्य, difference table वाला है। घात कोई नाम नहीं जो किसी ने बहुपद पर लिख दिया हो। ये इस बात का तथ्य है कि बहुपद बर्ताव कैसे करता है, और इसे बाहर से नापा जा सकता है, एक भी घातांक पढ़े बिना।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

आगे फिर कहाँ आता है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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