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Chapter 2 · Polynomials

Parabola किस तरफ़ खुलता है, और उस axis से मिलने के उसके तीन तरीक़े

Zeroes as crossings15 मिनट

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हर quadratic बहुपद का graph एक ही तरह का curve होता है: बीच में एक मोड़, और दोनों तरफ़ एक ही दिशा में जाती बाँहें। x के वर्ग के साथ लगी संख्या का चिह्न बता देता है कि बाँहें ऊपर जाएँगी या नीचे।

मुख्य idea

Parabola horizontal axis के साथ जो कुछ कर सकता है, वह सब दो बातें तय करती हैं: वह किस तरफ़ खुलता है, जो square से गुणा होने वाली संख्या के sign से तय होता है, और curve का मोड़ उस axis के मुक़ाबले कहाँ बैठा है। मान लीजिए कि curve सिर्फ़ एक बार मुड़ता है और उस मोड़ के दोनों ओर संतुलित है — ये दोनों बातें हर parabola के बारे में सच हैं, पर किताब में नहीं हैं: इस chapter में इनमें से कोई भी कहीं कही नहीं गई, और chapter न symmetry के लिए कोई शब्द छापता है, न मोड़ के लिए। इन्हें मान लें, तो curve axis से दो बार मिल सकता है, एक बार मिल सकता है, या उससे बिल्कुल चूक सकता है — तीन नतीजे और कोई चौथा नहीं, curve चाहे जिस तरफ़ खुले। तो "इस quadratic का कोई zero नहीं" कोई नाकाम हिसाब नहीं है। वह तीसरा case है, chapter में उसकी drawing है, और यही वजह है कि chapter "दो" नहीं, "ज़्यादा से ज़्यादा दो" कहता है।

आपको क्या आना चाहिए

  • सबसे आगे वाली संख्या के sign से पहले ही बताना कि quadratic का curve ऊपर खुलता है या नीचे, और वजह देना
  • ऐसे curve और horizontal axis के बीच के तीनों संभव रिश्तों के नाम बताना, और हर एक को दोनों तरह के खुलने के लिए sketch करना
  • तीनों cases में से हर एक में, दिए हुए quadratic curve पर से zeroes की संख्या पढ़ना
  • समझाना कि जो curve axis को पार किए बिना छूता है उसे दो बराबर zeroes क्यों गिना जाता है, यह मानते हुए कि chapter ख़ुद उस case को एक zero भी कहता है — और बताना कि दोनों वर्णन क्यों टिकते हैं
  • दलील देना कि कोई चौथा case क्यों संभव नहीं
  • बताना कि यह दलील degree-2 polynomial के लिए कौन-सी ऊपरी सीमा तय करती है, और वह सीमा क्यों है, गिनती नहीं
  • पहचानना कि बिना crossing वाला quadratic सही coefficients वाला एक सही polynomial है, कोई ग़लती नहीं

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक पंक्ति में अर्थहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ
paraboladegree-2 polynomial से बनने वाला curveपरवलय§2.2, p. 13
distinctउन दो zeroes के बारे में कहा गया जो अलग-अलग numbers हैंभिन्न§2.2, pp. 14–15
coincidentCase (i) के उन दो points के बारे में कहा गया जब वे आपस में मिल गए होंसंपाती§2.2, p. 14
x-axisवह horizontal reference line जिससे curve की तुलना की जा रही हैx-अक्ष§2.2, p. 12
zero of a polynomialवह input जिस पर polynomial 0 लौटाता हैबहुपद का शून्यक§2.1, p. 11
real numberयहाँ काम में आने वाली अकेली तरह की संख्या, और "कोई zero नहीं" इसी के हिसाब से हैवास्तविक संख्या§2.1, p. 10
opens upward / opens downwardवे दो दिशाएँ जिनमें quadratic का curve खुल सकता हैऊपर की ओर / नीचे की ओर खुलनाइस पाठ का वाक्यांश; chapter दोनों आकार बनाता है और उनका वर्णन चलते गद्य में करता है, किसी तय जोड़े हुए शब्द के बिना
turning pointवह अकेली जगह जहाँ curve गिरना बंद करके चढ़ना शुरू करता है, या उलटाउच्चिष्ठ/निम्निष्ठ बिंदुइस पाठ का शब्द; यह chapter इसे कभी नहीं छापता, और Chapter 2 में कुछ भी इसे ढूँढ़ने पर नहीं टिका
touchaxis को पार किए बिना उससे मिलने के लिए इस पाठ का छोटा शब्दस्पर्शइस पाठ का छोटा शब्द, इस chapter में छपा नहीं; chapter उसी हालत को ऐसे दो points की तरह बताता है जो आपस में आ मिले हैं

इस पाठ्यपुस्तक का हिंदी संस्करण नहीं देखा गया, इसलिए हिंदी column को उस संस्करण के ठीक-ठीक शब्द नहीं, standard गणितीय शब्दावली मानें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "हर quadratic के दो zeroes होते हैं।" chapter दो पूरी figures, Fig. 2.4 और Fig. 2.5, बनाता है जिनका पूरा मक़सद इसे ग़लत साबित करना है। दो अधिकतम है, नतीजा नहीं।
  • "कोई zero नहीं, मतलब मुझसे arithmetic में ग़लती हुई।" इसका मतलब है कि curve axis से चूक गया। Case (iii) एक बिल्कुल आम quadratic की तस्वीर है — हर coefficient real, a ≠ 0 — जिसका बस कोई real input 0 नहीं लौटाता।
  • "जो curve axis को सिर्फ़ छूता है उसका कोई zero नहीं, क्योंकि वह पार ही नहीं करता।" chapter उसे गिनता है: छूने वाले point का x-coordinate उस case में "अकेला zero" है, वह जगह जहाँ पार करने वाले दो points आपस में आ मिले हैं, और इसीलिए किताब उसे "दो बराबर zeroes (यानी एक zero)" भी कहती है। दोनों नाम किताब के अपने हैं, और दोनों एक ही value बताते हैं।
  • "a > 0 का मतलब है curve axis के ऊपर है।" वह खुलने की दिशा तय करता है, और कुछ नहीं। Fig. 2.3 panel (ii) और Fig. 2.5 panel (i) दोनों ऊपर खुलते हैं और axis के मुक़ाबले अलग-अलग बैठे हैं।
  • "zeroes हैं या नहीं, यह इस पर निर्भर है कि drawing कितनी दूर तक बढ़ाई जाए।" ऊपर खुलने वाले curve की दोनों भुजाएँ हमेशा चढ़ती रहती हैं, इसलिए तस्वीर बढ़ाने से वे वापस axis तक नहीं आ सकतीं। यह एक बार कह दीजिए; यही तीनों cases को अस्थायी नहीं, पूरा बनाता है।
  • "एक चौथा case होना चाहिए जिसमें curve axis के साथ-साथ चले।" उसके लिए हर input को 0 लौटाना होगा, जो a ≠ 0 वाला कोई quadratic नहीं करता।
  • "Case (iii) का मतलब है polynomial के ऐसे zeroes हैं जिनकी हमें बात करने की इजाज़त नहीं।" यह chapter पूरे समय real numbers के साथ काम करता है, और उसका दावा यह है कि कोई real input 0 नहीं लौटाता। बात यहीं छोड़िए — इससे आगे की कोई भी बात किताब से बाहर है।

Worked answers: Exercise 2.1 · Exercise 2.2

पूरा transcript2,349 शब्द

हर quadratic बहुपद का graph एक ही तरह का curve होता है। हर बार curve अलग होता है, पर उसकी बनावट वही रहती है: बीच में एक मोड़, और उसके दोनों तरफ़ एक ही दिशा में जाती बाँहें। और इन बाँहों की दिशा के बस 2 ही विकल्प हैं। या तो दोनों बाँहें ऊपर जाती हैं, और मोड़ सबसे नीचे होता है। या फिर दोनों बाँहें नीचे जाती हैं, और मोड़ सबसे ऊपर होता है।

इनके अलावा कोई तीसरा आकार नहीं, और इन दोनों के बीच का भी कोई आकार नहीं। तो किसी quadratic के बारे में कुछ और जानने से पहले ही ये जाना जा सकता है कि उसका curve इन दोनों में से कौन सा है। और ये बात बस एक संख्या से पता चल जाती है। उसके बाद देखेंगे कि ऐसा curve x axis से कितनी तरह से मिल सकता है। लीजिए a x का वर्ग, जोड़ b x, जोड़ c, जहाँ a शून्य नहीं है।

दावा ये है कि सिर्फ़ a का चिह्न तय करता है कि curve किधर खुलेगा। अगर a धन है तो curve ऊपर की ओर खुलता है, और अगर a ऋण है तो नीचे की ओर; b और c से इसमें कोई फ़र्क़ नहीं पड़ता। पर ऐसा होता क्यों है? मिसाल के लिए लीजिए x का वर्ग, घटा 3 गुणा x, घटा 4 वाला बहुपद। इसमें 10 डालिए: 100, घटा 30, घटा 4, यानी 66 आता है।

और माइनस 10 डालने पर 100, जोड़ 30, घटा 4, यानी 126 आता है। दोनों बार सबसे बड़ा हिस्सा 100 है, जो वर्ग से आया, और वो धन ही रहता है, चाहे input धन हो या ऋण। दूर जाने पर वर्ग वाला पद बाक़ी दोनों से बहुत आगे निकल जाता है, क्योंकि b x बस बराबर रफ़्तार से बढ़ता है, और c तो बढ़ता ही नहीं। अब इसका उलटा लीजिए: माइनस x का वर्ग, जोड़ 3 गुणा x, जोड़ 4 वाला बहुपद।

वहाँ 10 पर माइनस 66, और माइनस 10 पर माइनस 126 आता है, यानी दोनों तरफ़ ऋण। पास में कुछ भी हो सकता है: पहला बहुपद 1 पर माइनस 6 देता है, जबकि उसका a धन है। माइनस 4 से 4 तक के coefficients वाले सभी 648 बहुपदों को origin से बाहर की ओर तब तक धकेला गया, जब तक उनका चिह्न स्थिर न हो जाए। उन 648 में से हर एक का चिह्न वही निकला जो उसका a बताता है, और किसी को भी 5 से आगे नहीं धकेलना पड़ा।

स्थितियों पर आने से पहले एक और बात, और यही बात स्थितियों को ठीक 3 पर रोकती है। ये curve बस एक बार मुड़ता है, दोबारा नहीं। वो आता है, मुड़ता है, और उसके बाद हमेशा एक ही दिशा में चलता है। ये भी जाँचा गया: सभी 648 बहुपद ठीक एक बार मुड़ते हैं। और ये पक्का करने के लिए कि जाँच दूसरा मोड़ देख सकती है, cubic वाले 500 बहुपद उसी तुलना से गुज़ारे गए।

उन 500 में से 300 बहुपद 2 बार मुड़े। तो एक मोड़ quadratic की असली ख़ूबी है, जाँच की कोई कमी नहीं। ऊपर खुलने वाले curve के लिए इसका मतलब है कि मोड़ के बाद बाँहें बस चढ़ती ही जाती हैं। ऊपर खुलने वाले 324 बहुपदों को उनके मोड़ से बाहर की ओर चलाकर देखा गया, और हर एक बस चढ़ता ही गया। ये बात याद रखिए, क्योंकि इसी से जवाब इस पर निर्भर नहीं करता कि तस्वीर कितनी दूर तक बनाई गई।

अब ऐसे curve को x axis के पास रखिए, और देखिए कि वो कहाँ मिलते हैं। अब पहली स्थिति देखिए, जिसमें मोड़ axis के नीचे है, और बाँहें ऊपर जाती हैं। बाईं तरफ़ से नीचे आते हुए curve को axis पार करना ही पड़ता है। और दाईं तरफ़ ऊपर लौटते हुए उसे फिर से पार करना पड़ता है। यानी 2 अलग अलग जगहों पर axis से मुलाक़ात। पहला बहुपद ठीक यही करता है: वो माइनस 1 पर और 4 पर axis को काटता है।

अब पूरी तस्वीर उलट दीजिए: मोड़ axis के ऊपर, और बाँहें नीचे। माइनस x का वर्ग, जोड़ 3 गुणा x, जोड़ 4 वाला बहुपद भी माइनस 1 पर और 4 पर ही axis को काटता है। तो ये स्थिति दोनों तरह के curve में होती है, और दोनों में एक जैसी दिखती है। और हम जानते हैं कि ये जगहें क्या हैं। कोई बिंदु x axis पर ठीक तब होता है, जब वहाँ बहुपद शून्य लौटाता है।

तो axis से मिलने की हर जगह एक शून्यक है, और 2 जगहें यानी 2 शून्यक। पहले बहुपद में x के वर्ग के साथ 1 लगा है, जो धन है, इसलिए वो ऊपर की ओर खुलता है। और डालकर देखें, तो माइनस 1 पर 1 जोड़ 3 घटा 4 यानी शून्य, और 4 पर 16 घटा 12 घटा 4 यानी शून्य आता है। तो 2 जगहें, 2 शून्यक, और इन्हें जोड़ने के लिए कोई नई बात नहीं चाहिए।

यही पहली स्थिति है, और लोग आम तौर पर यही उम्मीद करते हैं। आगे की पूरी बात यही है कि ये अकेली स्थिति नहीं है। दूसरी स्थिति देखने का तरीक़ा है, पहली को खिसकाना। लीजिए x का वर्ग, घटा 2 गुणा x, घटा 3 वाला बहुपद, जो माइनस 1 पर और 3 पर axis को काटता है। अब पूरे curve को धीरे धीरे ऊपर उठाइए, हर बार constant में 1 जोड़कर।

जब constant शून्य हो जाता है, तब curve शून्य पर और 2 पर axis को काटता है। अब axis के नीचे वाला हिस्सा उथला होता जाता है, और काटने की दोनों जगहें एक दूसरे की तरफ़ खिसकती हैं। और constant के 1 होते ही दोनों जगहें 1 पर आकर मिल जाती हैं। अब curve axis को काटकर नीचे नहीं जाता, बल्कि उस पर टिक जाता है। मुलाक़ात की जगह अब बस एक है।

थोड़ा और उठाइए, तो constant के 2 होते ही संपर्क टूट जाता है; पर ठीक 1 पर रुकें, तो यही दूसरी स्थिति है। नीचे खुलने वाले curve के साथ भी यही होता है: वो अपने सबसे ऊँचे बिंदु से axis पर टिका रहता है। दोनों तरह के curve में मुलाक़ात की जगह बस एक ही रहती है। अब इस curve के कितने शून्यक हैं? बिंदु axis पर एक ही है, तो जवाब एक कहने का मन होता है।

और अलग अलग संख्याओं की गिनती के हिसाब से एक सही भी है। पर देखिए कि खिसकाने से क्या हुआ। काटने की दोनों जगहें, यानी दोनों शून्यक, एक दूसरे की तरफ़ चलकर एक साथ पहुँचे। उनमें से कोई गया नहीं; दोनों अब भी वहीं हैं, बस अब वो एक ही संख्या बन गए हैं। ये बात तस्वीर के बिना, बहुपद में ही दिखती है। अगर x घटा 1 को उसी से गुणा करें, तो x का वर्ग, घटा x, घटा x, जोड़ 1 मिलता है, यानी ठीक यही बहुपद।

यानी इसमें x घटा 1 वाला गुणनखंड 2 बार है, और दोनों बार शून्यक 1 ही देता है। जाँच में axis को छूने वाले सभी 24 बहुपद मिले, और हर एक a गुणा किसी bracket का वर्ग निकला। कुछ मिलता जुलता नहीं, बल्कि ठीक वही, सभी 24 बहुपदों में। तो दोहराया गया गुणनखंड बहुपद में लिखा हुआ है, और इसे 2 बराबर शून्यक कहना बस वही समझना है जो वहाँ मौजूद है।

इसे एक अलग मान गिनना ठीक है। पर इसे इस बात का सबूत मानना ग़लत है कि quadratic के शून्यक विषम संख्या में हो सकते हैं। तीसरी स्थिति: curve को और ऊपर उठाते जाइए। जब constant बढ़कर 2 हो जाता है, तो curve सबसे नीचे 1 वाली जगह पर पहुँचता है, और वहाँ उसका मान भी 1 ही है, यानी axis के ऊपर। मोड़ अब axis के ऊपर है, बाँहें वहाँ से ऊपर जाती हैं, और curve फिर कभी नीचे नहीं आता।

वो axis को पूरी तरह चूक जाता है: न काटना, न छूना, कुछ नहीं। उलटी तरफ़ भी यही: माइनस x का वर्ग, जोड़ 2 गुणा x, घटा 2 वाले बहुपद का सबसे ऊँचा मान माइनस 1 है, जो axis के नीचे है। पूरा curve axis की एक ही तरफ़, और हमेशा वहीं। यही स्थिति लोगों को बेचैन करती है, तो साफ़ कर लेते हैं कि ये असल में क्या है।

जिस quadratic का curve axis से कभी मिलता ही नहीं, वो कोई ग़लती नहीं है। न ये हिसाब की भूल है, न कोई टूटा हुआ बहुपद। उसके coefficients आम संख्याएँ हैं, उसका a शून्य नहीं है, और वो हर तरह से पूरा quadratic है। बस उसका कोई input ऐसा नहीं, जिस पर वो शून्य लौटाए। ये सवाल का जवाब है, जवाब न दे पाना नहीं। और ये कोई दुर्लभ बात भी नहीं।

उन 648 बहुपदों में से 240 बहुपद axis तक कभी पहुँचते ही नहीं। इनका एक तिहाई 216 होता, और 240 उससे ज़्यादा है, यानी हर 3 में से 1 से ज़्यादा। तो शून्यक न होना कोई किनारे का मामला नहीं, जिससे बचकर निकल जाएँ। ये रहा ऐसा बहुपद, जिसे हाथ से जाँचा जा सकता है। लीजिए x का वर्ग, घटा x, जोड़ 1 वाला बहुपद। इसे x घटा 1 बटा 2 के वर्ग में 3 बटा 4 जोड़कर भी लिखा जा सकता है।

उसे खोलकर गुणा करें, तो ठीक वही बहुपद वापस मिलता है। अब पहला हिस्सा किसी चीज़ का वर्ग है, इसलिए वो कभी ऋण नहीं होता। वो सबसे छोटा शून्य हो सकता है, और ऐसा x बराबर 1 बटा 2 पर होता है। इसलिए पूरा बहुपद कभी 3 बटा 4 से कम नहीं होता। और 3 बटा 4 शून्य से ऊपर है, तो curve axis तक कभी नहीं पहुँचता। न कोई वर्गमूल, न कोई formula, और कुछ भी बिना जाँचे नहीं माना गया।

दूसरा बहुपद लीजिए, x का वर्ग जोड़ 5 का वर्गमूल वाला। चूँकि 5 की संख्या 4 से बड़ी और 9 से छोटी है, इसलिए 5 का वर्गमूल 2 और 3 के बीच की कोई धन संख्या है। और x का वर्ग कभी ऋण नहीं होता, तो कुल जोड़ कभी 5 के वर्गमूल से कम नहीं, यानी हर जगह axis से काफ़ी ऊपर। ये दोनों तीसरी स्थिति वाले curve हैं, और दोनों का बहुपद हमारे सामने है।

तो स्थितियाँ 3 हैं, और हर एक दोनों तरह के खुलने में होती है। यानी कुल 6 तस्वीरें, जिन्हें grid की तरह सजाकर देखना अच्छा है। आड़े में 3 स्थितियाँ, और खड़े में खुलने की दोनों दिशाएँ। उन 648 बहुपदों पर ये grid बराबर बँटता है। ऊपर खुलने वाले 120 बहुपद axis से कभी नहीं मिलते, और नीचे खुलने वाले भी 120 बहुपद। ऊपर खुलने वाले 12 बहुपद axis को छूते हैं, और नीचे खुलने वाले 12 बहुपद भी।

और हर दिशा में 192 बहुपद axis को 2 जगह काटते हैं। खुलने की दिशा और स्थिति एक दूसरे से आज़ाद हैं, और सभी 6 तस्वीरें बनाने का मक़सद यही है। इससे एक लुभावनी ग़लतफ़हमी टूटती है। धन a का मतलब ये नहीं कि curve axis के ऊपर बैठा है। वो बस ये तय करता है कि बाँहें किधर जाती हैं, और कुछ नहीं। ऊपर खुलने वाले 324 बहुपदों में से 204 बहुपद axis को छूते या काटते हैं।

पर स्थितियाँ ठीक 3 ही क्यों? इस पर 2 आपत्तियाँ उठती हैं, और दोनों का जवाब बनता है। पहली आपत्ति: क्या curve कुछ दूर तक axis के साथ साथ चल सकता है? इसके लिए उसे पूरे एक हिस्से में हर input पर शून्य लौटाना होगा, और a शून्य न हो तो कोई quadratic ऐसा नहीं करता। सभी 648 बहुपदों पर जाँचा गया, और उनमें से एक भी हर जगह शून्य नहीं लौटाता।

दूसरी आपत्ति तस्वीर के बारे में है, curve के बारे में नहीं। जो curve axis से दूर दिखे, क्या वो तस्वीर को और लंबा खींचने पर नीचे आकर काट सकता है? नहीं, और यहीं एक मोड़ वाली बात काम आती है। मोड़ के बाद ऊपर खुलने वाला curve बस चढ़ता है, वापस नहीं आता। तस्वीर को और लंबा खींचने पर वही बाँहें axis से और दूर जाती दिखती हैं, कोई चौथी चीज़ नहीं।

अब आता है वो नतीजा, जिसके लिए ये तीनों स्थितियाँ थीं। कोई quadratic x axis से ज़्यादा से ज़्यादा 2 बार मिलता है। ज़्यादा से ज़्यादा, ठीक 2 नहीं: पहली स्थिति 2 तक पहुँचती है, दूसरी में 2 शून्यक एक हो जाते हैं, और तीसरी में मुलाक़ात होती ही नहीं। ये बात लापरवाही से कहना आसान है, तो देखिए कि इसे असल में कैसे जाँचा गया। मुलाक़ातें 3 अलग तरीक़ों से गिनी गईं: curve पर चलकर देखना कि वो axis के किस तरफ़ है, किसी भी घात पर चलने वाला सटीक तरीक़ा, और वर्ग पूरा करके।

उन 648 बहुपदों में से हर एक पर तीनों तरीक़े एकमत रहे। पर एकमत होना असली बात नहीं है। जो गिनती शून्य, 1 या 2 के आगे जा ही न सके, वो कुछ भी डालने पर छत 2 ही दिखाएगी, और उससे कुछ साबित नहीं होता। इसलिए 2 तरीक़ों को उसी code से cubic वाले 6 बहुपद दिए गए, और दोनों ने 3 गिना। फिर घात 4 वाला बहुपद दिया गया, और दोनों ने 4 गिना।

तभी quadratic पर उनका 3 न गिनना कुछ मायने रखता है। और ऐसा कभी हुआ नहीं: पूरी जाँच में किसी भी quadratic पर 2 से बड़ी गिनती नहीं आई। तो सवाल 2 थे, और उनके जवाब हमारे पास हैं। पहला सवाल: curve किधर खुलता है? जवाब के लिए x के वर्ग के साथ लगी संख्या का चिह्न देखिए, और बात ख़त्म। दूसरा सवाल: वो axis से कितनी बार मिलता है?

जवाब है 2 बार, 1 बार, या कभी नहीं, और कोई चौथा जवाब नहीं। यही बताता है कि शून्यक कितने हैं: 2 अलग, 2 बराबर, या एक भी नहीं। अब ये भी देखिए कि क्या नहीं मिला। यहाँ कुछ भी पहले से नहीं बताता कि कोई quadratic किस स्थिति में आएगा। आगे कोई नया quadratic मिले, तो पहले a का चिह्न देखकर तय कीजिए कि वो किधर खुलेगा, फिर curve बनाकर देखिए कि वो 3 स्थितियों में से किस में है।

कभी कभी ये बात हाथ से तर्क करके भी कही जा सकती है, जैसे x का वर्ग घटा x जोड़ 1 के साथ किया। पर पहले से तय करने वाली कोई जाँच अभी हमारे पास नहीं, और ये अधूरापन नहीं, ईमानदारी है। जो है, वो एक छत है, और उसकी वजह भी। एक मोड़, उसके दोनों तरफ़ बाँहें, और एक axis: मिलने के बस 3 तरीक़े, और कोई नहीं।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

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