PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 10 Mathematics · Chapter 2, PolynomialsPrepShorts

Chapter 2 · Polynomials

Zero ठीक वह point है जहाँ curve horizontal axis से मिलता है

Zeroes as crossings14 मिनट

यह video load नहीं हो सकी. फिर से कोशिश करने के लिए page reload करें.

Sign in with Google

14 min.

यह lesson English में भी है.Englishहिन्दी

कक्षा 10 की सभी Hindi videos · सभी Hindi videos

जब हम y बराबर p ऑफ़ x लिखते हैं, तो "p, k पर शून्य लौटाता है" और "k और शून्य वाला बिंदु curve पर है" दो अलग बातें नहीं रहतीं: ये एक ही तथ्य है, बस दो लिखावटों में।

मुख्य idea

जिस पल आप y = p(x) लिखते हैं, algebra वाला वाक्य "polynomial k पर 0 लौटाता है" और ज्यामिति वाला वाक्य "वह point जिसका पहला coordinate k और दूसरा coordinate 0 है, curve पर बैठा है" दो अलग तथ्य नहीं रह जाते। वे दो notations में एक ही तथ्य हैं, क्योंकि curve के हर point का दूसरा coordinate polynomial का output ही है। इसी वजह से कोई drawing बिना कोई factorisation आज़माए तय कर सकती है कि polynomial के कितने zeroes हैं — और इसी वजह से §2.2 बना ही है, zeroes की arithmetic से definition आने के ठीक एक section बाद।

आपको क्या आना चाहिए

  • समझाना कि curve y = p(x) point-दर-point क्या दर्ज करता है
  • inputs की बताई हुई range पर किसी polynomial के outputs की table बनाना
  • बने हुए curve पर table के points पढ़ना और उस आकार का वर्णन करना
  • बने हुए curve पर horizontal axis के crossings पहचानना और उनके पहले coordinates पढ़ना
  • किसी input के zero होने और उससे जुड़े point के horizontal axis पर होने की बराबरी बताना, और curve की definition से उसकी दलील देना
  • एक हल किए हुए उदाहरण पर पक्का करना कि crossings arithmetic से मिले zeroes से मेल खाते हैं
  • किसी आम सीधी line का अकेला crossing ढूँढ़ना और उसे ax + b के zero वाले, पहले से तय formula से जोड़ना
  • बताना कि section का छपा हुआ footnote plotting के बारे में क्या रोकता है, और क्या छोड़ देता है

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक पंक्ति में अर्थहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ
graphpoints का वह समुच्चय जिनका दूसरा coordinate, पहले coordinate पर polynomial का output हैआलेख§2.2, p. 12
x-axishorizontal reference line, जिस पर हर point का दूसरा coordinate 0 हैx-अक्ष§2.2, p. 12
x-coordinateकिसी point की जगह बताने वाले दो numbers में से पहलाx-निर्देशांक§2.2, p. 12
intersectsमिलता है, curve और axis के बारे में कहा गयाप्रतिच्छेद करता है§2.2, p. 12
zero of a polynomialवह input जिस पर polynomial 0 लौटाता हैबहुपद का शून्यक§2.1, p. 11; §2.2, p. 12 से ज्यामितीय रूप में इस्तेमाल
straight linedegree-1 polynomial का graph जो आकार लेता हैसरल रेखा§2.2, p. 12, कक्षा IX से याद किया हुआ
graph paperवह lines वाली sheet जो section plotting के लिए मान लेता हैग्राफ़ पेपर§2.2, pp. 13 और 15
crossingउस point के लिए इस पाठ का छोटा शब्द जहाँ curve horizontal axis से मिलता हैप्रतिच्छेद बिंदुइस पाठ का शब्द; किताब हर बार intersection पूरा लिखती है

इस पाठ्यपुस्तक का हिंदी संस्करण नहीं देखा गया, इसलिए हिंदी column को उस संस्करण के ठीक-ठीक शब्द नहीं, standard गणितीय शब्दावली मानें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "graph polynomial की एक अंदाज़न तस्वीर है।" उस पर हर point बनावट से ही exact है: उसका दूसरा coordinate polynomial का output है। plotted points के बीच हाथ से खींचा curve ही अकेला अंदाज़न हिस्सा है।
  • "zeroes ढूँढ़ने के लिए graph चाहिए।" x² − 3x − 4 के zeroes p. 11 पर बिना किसी drawing के मिल गए थे। graph यह समझाता है कि ज्यामिति में zero क्या है; वह तरीक़ा नहीं है।
  • "curve जहाँ vertical axis से मिलता है, वह भी zero है।" point (0, −4), Fig. 2.2 में, input 0 पर value है, zero नहीं। सिर्फ़ horizontal axis पर दूसरा coordinate 0 होता है।
  • "दो plotted points के बीच curve कुछ भी कर सकता है।" इन polynomials के लिए नहीं करता, और table के जोड़ीदार outputs नियमितता का दिखता सबूत हैं। फिर भी इसे section का साबित किया हुआ theorem नहीं, उसकी मान ली गई बात कहना ठीक है।
  • "हर curve horizontal axis को काटता है।" अब तक कुछ भी ऐसे curve को नहीं रोकता जो एक ही तरफ़ रहे। यह संभावना यहाँ खुली छोड़िए — यह अगले topic का Case (iii) है।
  • "ज़्यादा ढलान वाली line के ज़्यादा crossings होते हैं।" ढलान a है; सीधी line के crossings की गिनती एक ही रहती है, a कोई भी non-zero value ले।

Worked answers: Exercise 2.1 · Exercise 2.2

पूरा transcript2,146 शब्द

किसी बहुपद का शून्यक वो input है, जिस पर बहुपद शून्य लौटाता है। और किसी संख्या को जाँचना हो, तो उसे डालकर जवाब देख लेते हैं। इसमें कहीं भी किसी तस्वीर की ज़रूरत नहीं पड़ी। तो फिर अब graph क्यों बनाएँ? इसलिए नहीं कि हिसाब कहीं फ़ेल हो गया। बल्कि इसलिए कि यही बात कहने का एक दूसरा तरीक़ा है, और वो तरीक़ा कुछ ऐसा दिखा देता है जो पहला छिपा लेता है।

वो बता देता है कि शून्यक कितने हैं और लगभग कहाँ हैं, किसी एक को भी ढूँढने से पहले। और ये काम वो संख्याओं के सवाल को एक आकार के सवाल में बदलकर करता है। ये सब एक ही चाल पर टिका है: y बराबर p ऑफ़ x लिखना। इसलिए पहले ये ठीक से समझ लेते हैं कि इस लिखावट का मतलब क्या है। कोई भी बहुपद लीजिए, और कोई भी input।

उसमें input डालिए, तो एक output निकलता है। अब इन दोनों संख्याओं की एक जोड़ी बनाइए: पहले input, फिर output। यही जोड़ी, graph पर एक बिंदु है। दूसरा input लीजिए, तो दूसरा बिंदु मिलता है। और हर मुमकिन input के लिए ऐसा कीजिए, तो जितने बिंदु मिलते हैं, वही मिलकर curve हैं। यानी curve किसी का बनाया हुआ अंदाज़न चित्र नहीं है। वो इस बात का रिकॉर्ड है कि बहुपद क्या करता है, हर input के लिए एक entry।

और याद रखने वाली चीज़ है दूसरा coordinate। इस curve के हर बिंदु का दूसरा coordinate, पहले coordinate पर बहुपद का output है। ये curve की कोई ख़ूबी नहीं है। यही curve की परिभाषा है, और इस वीडियो की हर बात इसी से निकलती है। शुरुआत उस बहुपद से करते हैं, जिसका शून्यक आसानी से निकलता है। लीजिए 2 गुणा x जोड़ 3 वाला बहुपद। माइनस 2 डालने पर 2 गुणा माइनस 2, यानी माइनस 4, जोड़ 3, और output माइनस 1 आता है।

तो माइनस 2 और माइनस 1 वाला बिंदु इस curve पर है। अब 2 डालिए: 2 गुणा 2 यानी 4, जोड़ 3, और output 7 आता है। तो 2 और 7 वाला बिंदु भी इस पर है। और शून्य डालने पर 3 आता है, यानी constant पद, तो शून्य और 3 वाला बिंदु भी इसी पर है। अब इन बिंदुओं को graph पर रखते हैं। और यहाँ एक बात हम साबित नहीं करेंगे, बस मानकर चलेंगे।

घात 1 वाले बहुपद के सारे बिंदु एक सीधी line पर पड़ते हैं। इसकी एक झलक ये है: input को 1 बढ़ाने पर output हर बार ठीक 2 बढ़ता है। माइनस 6 से 6 तक के coefficients वाले 156 बहुपदों में से हर एक में, output हर क़दम पर अपने x वाले coefficient जितना ही बढ़ता है। बराबर क़दम, और हर क़दम पर बराबर चढ़ाई: यही सीधी line है। अब देखिए ये line x axis से कहाँ मिलती है।

बस एक जगह, और वो जगह माइनस 2 और माइनस 1 के निशानों के बीच है। हिसाब से देखें तो 2 गुणा k जोड़ 3 बराबर शून्य, यानी k बराबर माइनस 3 बटा 2 आता है। और line ठीक माइनस 3 बटा 2 पर ही axis को काटती है। ये कोई संयोग नहीं है, और इसकी वजह धीरे से समझनी चाहिए। कोई बिंदु x axis पर तभी होता है, जब उसका दूसरा coordinate शून्य हो।

इस curve पर किसी बिंदु का दूसरा coordinate, उस जगह बहुपद का output है। तो बिंदु axis पर ठीक तब है, जब output शून्य है। और output शून्य ठीक तब है, जब input बहुपद का शून्यक है। लिखने के तरीक़े अलग, बात एक ही। और शून्य और 3 वाला बिंदु line पर तो है, पर axis पर नहीं, क्योंकि उसका दूसरा coordinate 3 है। अब संख्याएँ चुने बिना देखते हैं।

लीजिए a गुणा x जोड़ b, जहाँ a शून्य नहीं है। ये line axis को वहाँ काटती है जहाँ output शून्य हो, और a गुणा k जोड़ b बराबर शून्य का हल बस एक है: माइनस b बटा a। एक input, इसलिए axis से मिलने की जगह भी एक ही। न कभी ज़्यादा बार, और न कभी एक बार भी नहीं। और देखिए, ये किस चीज़ पर निर्भर नहीं करता।

ये इस पर निर्भर नहीं कि line कितनी खड़ी है। माइनस 6 से 6 तक की 12 अलग ढलानें आज़माई गईं, और हर बार axis से मिलने की जगह एक ही रही। ढलान बदलने से मिलने की जगह बदलती है, गिनती नहीं। ऐसे सभी 156 बहुपदों पर, graph पर चलकर गिनी गई जगहें और formula से निकली गिनती, दोनों एक जैसी निकलीं। उन 156 में से हर एक, axis से ठीक एक बार मिला।

अब ऐसा कुछ, जो सीधी line नहीं है। लीजिए x का वर्ग, घटा 3 गुणा x, घटा 4 वाला बहुपद। माइनस 2 से 5 तक, कुल 8 संख्याएँ डालकर हर एक का output निकालते हैं। माइनस 2 पर 4 जोड़ 6 घटा 4, यानी 6 आता है। माइनस 1 पर 1 जोड़ 3 घटा 4, यानी शून्य। शून्य पर बस constant पद, यानी माइनस 4 आता है। फिर 1 पर, 1 घटा 3 घटा 4, यानी माइनस 6 आता है।

और 2 पर, 4 घटा 6 घटा 4, फिर से माइनस 6 आता है। अब 3 पर, 9 घटा 9 घटा 4, यानी माइनस 4 आता है। फिर 4 पर, 16 घटा 12 घटा 4, यानी शून्य। और आख़िर में 5 पर, 25 घटा 15 घटा 4, यानी 6 आता है। हर input के साथ उसका output, और ऐसी हर जोड़ी एक बिंदु है। बिंदु रखने से पहले, outputs की पंक्ति एक बार फिर देखिए।

पंक्ति है 6, फिर शून्य, फिर माइनस 4, फिर माइनस 6, फिर माइनस 6, फिर माइनस 4, फिर शून्य, और फिर 6 आता है। ये पहले नीचे जाती है, और फिर वापस ऊपर आती है। और हर मान पंक्ति में ठीक दोबारा आता है। दोनों सिरों पर 6, उनके पास शून्य, फिर माइनस 4, और बीच में माइनस 6 की जोड़ी। पंक्ति उलटी पढ़ें, तो भी वैसी ही रहती है।

यानी एक मोड़ है, और ये मोड़ 3 बटा 2 पर है, बीच वाले 1 और 2 के ठीक बीच में। ये इस एक बहुपद की ख़ासियत नहीं है। हर quadratic बहुपद माइनस b बटा 2 गुणा a पर मुड़ता है। माइनस 4 से 4 तक के coefficients वाले 648 बहुपदों को 5 जगह मोड़कर देखा गया, यानी कुल 3240 मोड़। उन 3240 में से हर मोड़ सही बैठा। और ये पक्का करने के लिए कि ये हर चीज़ पर सच नहीं हो जाता, वही मोड़ 500 बार cubic बहुपदों पर आज़माया गया।

उन 500 कोशिशों में से 496 बार वो ग़लत निकला। तो ये मोड़ quadratic की अपनी पहचान है, और ये graph बनाने से पहले ही संख्याओं में दिख जाता है। अब इन 8 बिंदुओं को graph पर रखते हैं। बाईं तरफ़ ऊपर, माइनस 2 और 6 वाला बिंदु। माइनस 1 पर और 4 पर, बिंदु ठीक axis पर बैठते हैं। बीच के बिंदु axis के नीचे हैं, और सबसे नीचे 1 और 2 वाले, माइनस 6 पर।

और दाईं तरफ़ ऊपर, 5 और 6 वाला बिंदु। आकार वही है जिसका वादा जोड़ियों ने किया था: नीचे, फिर तले पर, और फिर ऊपर, बीच के दोनों तरफ़ एक जैसा। अब इन्हें एक चिकने curve से जोड़ते हैं। और ये जोड़ना ही पूरी तस्वीर का अकेला हिस्सा है जो पक्का नहीं है, और इस पर थोड़ी देर में बात करेंगे। अब देखिए ये curve x axis से कहाँ मिलता है।

एक बार माइनस 1 पर, और फिर 4 पर। और यही वो संख्याएँ हैं जिन पर table में output शून्य आया था, बिना किसी तस्वीर के। ये मेल ही इस पूरी बात का केंद्र है, इसलिए इसे जल्दी में मत छोड़िए। हिसाब वाले रास्ते ने माइनस 1 डाला, और शून्य पाया। तस्वीर वाले रास्ते ने बस देखा कि curve axis को कहाँ छूता है। इन दोनों रास्तों में कुछ भी साझा नहीं।

पर दोनों एक ही संख्याओं पर पहुँचते हैं, क्योंकि सवाल कभी अलग थे ही नहीं। माइनस 12 से 12 तक, कुल 289 जगह इस curve का मान देखा गया। उनमें से ठीक 2 जगह मान शून्य था, यानी माइनस 1 पर और 4 पर। दोनों के बीच की सभी 59 जगह curve axis के नीचे था, और बाहर की सभी 228 जगह ऊपर। अब इसे एक बार आम रूप में कहते हैं, और ऐलान से नहीं, तर्क से।

कोई भी बहुपद p लीजिए, और कोई भी संख्या k। दावा: k, p का शून्यक ठीक तब है, जब k और शून्य वाला बिंदु curve पर हो। इसका तर्क छोटा सा है। पहले coordinate k वाला curve का बिंदु है: k और p ऑफ़ k। उस बिंदु का दूसरा coordinate शून्य तभी है, जब p ऑफ़ k शून्य हो। और p ऑफ़ k का शून्य होना ही k के शून्यक होने का मतलब है।

तो ये अलग अलग बातें नहीं हैं। यहाँ कोई प्रमेय साबित नहीं हो रहा, और चौंकने की कोई बात नहीं। ये एक ही तथ्य है, एक बार हिसाब में लिखा, एक बार ज्यामिति में, और नया इसलिए लगता है क्योंकि दोनों लिखावटें काग़ज़ पर बहुत अलग दिखती हैं। अब एक जाल, जिसमें लोग बार बार फँसते हैं। देखिए curve खड़े axis, यानी y axis से कहाँ मिलता है। उस बिंदु पर पहला coordinate शून्य है, और दूसरा माइनस 4 है।

क्या माइनस 4 शून्यक है? नहीं; माइनस 4 डालने पर output 24 आता है, शून्य नहीं। और शून्य भी शून्यक नहीं, क्योंकि शून्य पर output माइनस 4 है। वो बिंदु बस शून्य पर बहुपद का मान दिखाता है, यानी constant पद। दूसरा coordinate शून्य सिर्फ़ x axis पर होता है, इसलिए शून्यक भी सिर्फ़ x axis पर मिलते हैं। असल उलझन ये है कि कौन सा coordinate पढ़ा जा रहा है।

पहला सवाल है कि k और शून्य वाला बिंदु curve पर है या नहीं, और दूसरा कि शून्य और k वाला बिंदु curve पर है या नहीं; ये अलग सवाल हैं। ऐसे 1715 मामलों में, दोनों सवालों के जवाब 252 बार अलग निकले। यानी लगभग हर 7 में से 1 बार, और ये कोई कभी कभार की टक्कर नहीं। अब तस्वीर के उस अकेले कच्चे हिस्से पर लौटते हैं। हमारे पास 8 बिंदु थे, और हमने उन्हें चिकने curve से जोड़ा।

वो 8 बिंदु एकदम सटीक हैं। पर उन्हें जोड़ना एक अंदाज़ा है। अब तक कुछ भी ये नहीं कहता कि पास पास के बिंदुओं के बीच curve कहीं भागकर वापस नहीं आता। तो ये अंदाज़ा कितना बुरा है? इसे बाक़ायदा नापकर देखा गया। पहले वो 384 बहुपद लिए गए, जिनके coefficients माइनस 4 से 4 तक हैं और जो axis को एक से ज़्यादा बार काटते हैं। उन 384 में से एक भी ऐसा नहीं, जिसके मिलने की जगह पूर्ण संख्याओं वाली table से छिप जाए।

फिर coefficients को 8 तक बढ़ाया गया, और ऐसे 2832 बहुपद मिले जो axis को एक से ज़्यादा बार काटते हैं। उनमें से 2792 बहुपद अपने मिलने की जगहें पूर्ण संख्याओं पर दिखा देते हैं, और 40 बहुपद दोनों जगहें लगातार पूर्ण संख्याओं के बीच छिपा लेते हैं। तो ऐसा होता है, पर कम होता है, और छोटे बहुपदों में बिल्कुल नहीं; इसीलिए यहाँ बिंदुओं को जोड़ना ठीक है, हर जगह नहीं।

तस्वीर एक और चीज़ बताती है, जो हिसाब छिपा लेता है। सीधी line axis से हमेशा एक बार मिलती है। पर घात 2 वाले curve का axis से मिलना ज़रूरी ही नहीं। माइनस 4 से 4 तक के coefficients वाले सभी 648 बहुपदों को अलग अलग तरीक़ों से जाँचा गया। एक बार curve पर चलकर देखा गया कि वो axis के किस तरफ़ है, और एक बार ऐसे algebraic test से जो कोई संख्या डालता ही नहीं।

उन 648 में से हर एक पर, दोनों तरीक़ों का जवाब एक ही निकला। उनमें से 384 बहुपद axis को अलग अलग जगह काटते हैं। कुल 24 बहुपद axis को बस एक जगह छूकर लौट जाते हैं। और 240 बहुपद axis तक कभी पहुँचते ही नहीं। ये आख़िरी समूह ही दिलचस्प है, और अब तक की किसी बात ने इसे रोका नहीं है। किसी बहुपद का कोई शून्यक न हो, ये पूरी तरह मुमकिन है, और उसका curve ऐसा दिखता है: पूरा का पूरा axis की एक ही तरफ़।

तो इस तस्वीर से असल में मिला क्या? शून्यक ढूँढने का कोई तरीक़ा नहीं। इस बहुपद के शून्यक table के हिसाब से पहले ही मिल गए थे, और तस्वीर ने उसमें कोई मदद नहीं की। उसने एक अलग सवाल का जवाब दिया: शून्यक हैं कितने। किसी curve को देखकर, कुछ भी हल किए बिना, axis से मिलने की जगहें गिनी जा सकती हैं। और यही हुनर अभ्यास के लायक़ है: कोई graph दिया हो, तो बताना कि शून्यक कितने हैं और लगभग कहाँ।

बिंदु रख रखकर graph बनाना धीमा काम है, और असली काम वो नहीं। असली काम है graph को पढ़ना। और पढ़ना इसलिए काम करता है, क्योंकि कोई बिंदु x axis पर ठीक तब है जब उसका दूसरा coordinate शून्य हो, और वो दूसरा coordinate वही है जो बहुपद ने लौटाया। जहाँ output शून्य, वहीं curve axis को छूता है: एक ही तथ्य, बस लिखावट अलग।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

The book

Open in a new tab