PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 9 Mathematics · Chapter 6, Measuring Space: Perimeter and AreaPrepShorts

Chapter 6 · Measuring Space: Perimeter and Area

Heron's formula: सिर्फ़ तीनों भुजाओं से क्षेत्रफल

Area of straight-sided figures17 मिनट

यह video load नहीं हो सकी. फिर से कोशिश करने के लिए page reload करें.

Sign in with Google

17 min.

यह lesson English में भी है.Englishहिन्दी

कक्षा 9 की सभी Hindi videos · सभी Hindi videos

3 भुजाओं की लम्बाई तय कर दीजिए और त्रिभुज के पास हिलने की कोई जगह नहीं बचती — इसलिए उसका area पहले ही तय हो चुका होता है, और कोई न कोई सूत्र होना ही चाहिए। 4 भुजाओं के साथ ऐसा नहीं है: 5, 5, 5 और 5 वाली आकृति सीधी खड़ी हो तो area 25, झुके तो 20, और ज़्यादा झुके तो 15 — भुजा 1 भी नहीं बदली।

मुख्य idea

किसी त्रिभुज के क्षेत्रफल का, उसकी तीनों भुजाओं में लिखा हुआ कोई formula मिलने से पहले ही मौजूद होना ज़रूरी था, और वजह है दृढ़ता: तीन भुजाओं की लंबाइयाँ त्रिभुज को पूरी तरह कील ठोक देती हैं, उसे मुड़ने-हिलने की कोई छूट ही नहीं बचती। यानी क्षेत्रफल पहले से ही a, b और c का एक function है — सवाल सिर्फ़ इतना था कि वह function दिखता कैसा है। Heron's formula यही जवाब है, और chapter के तीन test cases ही वह तरीक़ा हैं जिनसे वह आपका भरोसा कमाता है। formula को ध्यान से पढ़िए तो उसे triangle inequality भी याद है: कोष्ठक वाले तीनों factors ठीक तभी धनात्मक होते हैं जब तीनों लंबाइयाँ किसी त्रिभुज की शक्ल में बंद हो सकें।

आपको क्या आना चाहिए

  • समझाइए कि सिर्फ़ भुजाओं से क्षेत्रफल का formula मौजूद क्यों होना ही था — त्रिभुज की दृढ़ता से
  • इसकी तुलना parallelogram से कीजिए, जिसकी भुजाएँ उसका क्षेत्रफल तय नहीं करतीं
  • किसी त्रिभुज की तीनों भुजाओं से उसका semi-perimeter निकालिए
  • Heron's formula बताइए और दी हुई भुजाओं पर उसका मान निकालिए
  • दिखाइए कि कोष्ठक वाला हर factor ठीक तभी धनात्मक होता है जब triangle inequality मानी जाए, और बताइए कि जो लंबाइयाँ बंद नहीं हो सकतीं उनके लिए formula क्या लौटाता है
  • Heron's formula को समबाहु मामले पर जाँचिए और समबाहु त्रिभुज का मानक क्षेत्रफल वापस पाइए
  • उसे एक नामित आधार वाले समद्विबाहु त्रिभुज पर, और 3–4–5 त्रिभुज पर जाँचिए, और हर बार आधा आधार गुणा ऊँचाई से मिलान कीजिए
  • समझाइए कि तीन कामयाब जाँचें क्या स्थापित करती हैं और क्या नहीं
  • circle से आने वाले दोनों क्षेत्रफल formula बताइए और पहचानिए कि हर एक को क्या चाहिए
  • किसी दी हुई समस्या के लिए तय कीजिए कि Heron's formula छोटा रास्ता है या आधा आधार गुणा ऊँचाई

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक पंक्ति में अर्थहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ
semi-perimeterperimeter का आधा, जिसे s लिखा जाता हैअर्धपरिमाप§6.8.1 (p. 134) पर, italic में, अपने चिह्न के साथ छपा है
Heron's formulaक्षेत्रफल, यानी s और तीनों राशियों s − a, s − b, s − c के गुणनफल का वर्गमूलहीरोन का सूत्र§6.8.1 (p. 134) पर नामित formula की तरह छपा है
Baudhāyana–Pythagoras theoremसमकोण त्रिभुज में दोनों भुजाओं पर बने वर्गों का जोड़ कर्ण पर बने वर्ग के बराबर होता हैबौधायन–पाइथागोरस प्रमेयExamples 3, 4 और 5 (pp. 135–136) में छपा है
circumcircleवह अद्वितीय circle जो त्रिभुज के तीनों शीर्षों से होकर जाता हैपरिवृत्तजहाँ इसकी परिभाषा दी गई है वहाँ bold में छपा है (p. 136)
incircleवह अद्वितीय circle जो त्रिभुज के अंदर तीनों भुजाओं को छूता हैअंतःवृत्तजहाँ इसकी परिभाषा दी गई है वहाँ bold में छपा है (p. 136)
isosceles triangleऐसा त्रिभुज जिसकी दो भुजाएँ बराबर लंबाई की होंसमद्विबाहु त्रिभुजExample 4 (p. 135) में और chapter के आख़िरी Q2 तथा Q3 (p. 149) में छपा है
difference-of-two-squaresवह सर्वसमिका जो Heron's formula के एक ज्ञात प्रमाण में इस्तेमाल होती हैदो वर्गों का अंतरजहाँ chapter एक टाले हुए प्रमाण की सामग्री गिनाता है वहाँ छपा है (p. 136)
therefore∴ चिह्न, जिसे बताने के लिए chapter रुकता हैअतःचिह्न और उसका पढ़ा जाना §6.8.1 (p. 135) के एक Note में छपे हैं
rigidityयह कि तीन भुजाओं की लंबाइयाँ त्रिभुज की शक्ल पूरी तरह तय कर देती हैं, मुड़ने को कुछ नहीं बचतादृढ़तायहाँ जोड़ा गया शब्द; chapter इस तथ्य पर टिका है और इसे कोई नाम नहीं देता
triangle inequalityयह कि हर भुजा बाक़ी दोनों के जोड़ से छोटी होनी चाहिएत्रिभुज असमिकायहाँ जोड़ा गया शब्द; इस chapter में इसका नाम नहीं है, हालाँकि section 5 में formula का पढ़ा जाना इसी पर टिका है

हिंदी column में standard हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Manjari का हिंदी संस्करण मैंने नहीं देखा।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "Heron's formula एक जादू का खेल है।" यह उस सवाल का जवाब है जिसका जवाब होना ही था। तीन भुजाएँ त्रिभुज को तय कर देती हैं; इसलिए उसका क्षेत्रफल भी तय कर देती हैं; इसलिए a, b, c में लिखी कोई न कोई expression उसे देती ही होगी। यह नज़र एक वाक्य में मिल जाती है और formula का एहसास बदल देती है।
  • "कोई भी तीन संख्याएँ Heron's formula में डाली जा सकती हैं।" नहीं डाली जा सकतीं। 2, 3 और 9 आज़माइए और root के नीचे का गुणनफल ऋणात्मक हो जाता है। formula आपसे कह रहा है कि उन लंबाइयों से त्रिभुज बनता ही नहीं, और उसे इस तरह पढ़ना रटी हुई triangle inequality से ज़्यादा काम का है।
  • **"s ही perimeter है।"** वह perimeter का आधा है। Heron's formula पर सबसे आम अंकगणितीय चूक यही है, और यह साफ़ दिखने वाला ग़लत जवाब नहीं देती, बल्कि भरोसेमंद लगने वाला ग़लत जवाब देती है।
  • "Heron's formula हमेशा सही औज़ार है।" जब आधार और उसकी ऊँचाई पहले से मालूम हों, तब आधा आधार गुणा ऊँचाई एक ही गुणा है। Chapter के आख़िरी set के Q3 और Q4 Heron के बिना तेज़ी से निकलते हैं। यहाँ दक्षता का मतलब चुनना है।
  • "तीन जाँचें प्रमाण के बराबर हैं।" नहीं हैं, और chapter इस बारे में ईमानदार है: वह प्रमाण की सामग्री गिना देता है और उसे Class 10 पर टाल देता है (p. 136)। जाँचें लापरवाही को ख़ारिज करती हैं; वे कोई सामान्य सच्चाई स्थापित नहीं करतीं।
  • "अगर त्रिभुजों के लिए भुजाओं से क्षेत्रफल का formula है, तो चतुर्भुजों के लिए भी कोई न कोई होना ही चाहिए।" नहीं है, और chapter के ठीक अगले pages दिखाते हैं कि क्यों (Fig. 6.27, p. 137)। इसे यहीं खड़ा कीजिए; यही पूरा Brahmagupta's formula, and Heron's as the case where a side vanishes है।
  • **"abc/4R और rs, Heron के विकल्प हैं।"** उन्हें एक त्रिज्या चाहिए, जो अतिरिक्त जानकारी है; Heron को सिर्फ़ वही चाहिए जो आपके पास पहले से है। तीनों एक ही क्षेत्रफल हैं, अलग-अलग data से निकाले हुए।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Exercise Set 6.2 Q3, Exercise Set 6.2 Q4, End-of-Chapter Exercises Q2, End-of-Chapter Exercises Q3, End-of-Chapter Exercises Q4, End-of-Chapter Exercises Q5, End-of-Chapter Exercises Q6

पूरा transcript2,587 शब्द

किसी त्रिभुज का area निकालने का एक तरीक़ा आपके पास पहले से है — base का आधा, गुणा height। पर इसमें एक अड़चन है। height त्रिभुज के साथ आती नहीं है। वह भुजाओं में से कोई एक नहीं होती। उसे बनाना पड़ता है — ऊपर वाले कोने से base तक सीधी दूरी गिराइए, या वर्गों वाले नियम से पहले उसे निकालिए, तब जाकर गुणा शुरू होता है। तो एक जायज़ सवाल।

मान लीजिए आपके पास सिर्फ़ 3 भुजाओं की लम्बाई है — न height, न कोई नाप, न कोई तस्वीर। क्या कोई ऐसा सूत्र है जो इन 3 संख्याओं से सीधे area दे दे? इससे पहले कि हम ऐसा सूत्र ढूँढें, यह पूछना ज़्यादा उपयोगी है कि ऐसा सूत्र हो भी सकता है या नहीं। और इसका जवाब बीजगणित में नहीं है। वह इस बात में है कि एक त्रिभुज कितना हिल सकता है।

3 पट्टियाँ लीजिए, जिनकी लम्बाई तय है, और उन्हें कोनों पर कील से जोड़ दीजिए। इनसे बनने वाला त्रिभुज सिर्फ़ 1 ही है। दोबारा जोड़िए, वही शक्ल फिर बनेगी। उसे उलट ज़रूर सकते हैं, पर उलटने से न कोई लम्बाई बदलती है और न area। वजह साफ़ है — त्रिभुज में हिलने की जगह ही नहीं है। हर कोना अपनी 2 भुजाओं से बँधा हुआ है। और अगर 3 लम्बाइयाँ शक्ल तय कर देती हैं, तो वे area भी तय कर चुकी हैं।

यानी area पहले से ही a, b और c पर टिका हुआ है। बाक़ी सिर्फ़ यह पूछना बचा है कि वह टिकाव दिखता कैसा है। अब 4 पट्टियाँ लीजिए और उन्हें उसी तरह कोनों पर जोड़ दीजिए। एक कोने को दबाइए और यह झुक जाती है। और झुकती चली जाती है, एक शक्ल से दूसरी शक्ल तक। और इस पूरे खेल में किसी भी भुजा की लम्बाई नहीं बदली। चारों वैसी की वैसी हैं।

4 भुजाओं वाली आकृति में हिलने की जगह बची रहती है, जो त्रिभुज में नहीं बचती। इसलिए 4 लम्बाइयाँ 4 भुजाओं वाली आकृति को तय नहीं करतीं, और जब शक्ल ही तय नहीं, तो area भी तय नहीं। यह बात कहकर छोड़ देने लायक़ नहीं है। इसे नापा जा सकता है, और आगे नापी गई है। एक rhombus लीजिए, जिसकी चारों भुजाएँ 5 इकाई की हैं। सीधा खड़ा हो तो इसका area 25 है।

इसे थोड़ा झुकाइए — चारों भुजाएँ वही 5 की, पर area गिरकर 20 हो जाता है। और झुकाइए, तो 15 रह जाता है। वही 4 भुजाएँ, और 3 अलग-अलग area। भुजाओं को छुआ तक नहीं गया। अब यही 2 बार एक त्रिभुज के साथ कीजिए — भुजाएँ 5, 5 और 6। कहीं भी रखिए, area दोनों बार 12 ही आता है। अब एक जाली पर बनने वाली हर आकृति को उठाइए और उन्हें उनकी भुजाओं के हिसाब से ढेरियों में बाँट दीजिए।

4 भुजाओं वाली 16786 आकृतियाँ मिलती हैं, और वे भुजाओं के 419 अलग-अलग समूहों में बँटती हैं। इनमें से 216 समूह ऐसे हैं जिनके अन्दर 1 से ज़्यादा area मिलते हैं। सबसे बुरे समूह में तो 4 अलग area हैं। यही काम त्रिभुजों पर कीजिए — 6768 त्रिभुज मिलते हैं, और भुजाओं के 172 समूह। 1 से ज़्यादा area वाले समूह कितने? एक भी नहीं — 0 समूह। और ये समूह ख़ाली नहीं हैं — सबसे भरे हुए समूह में 160 त्रिभुज हैं, और सब एक ही area पर हैं।

तो अब सवाल यह नहीं रहा कि ऐसा सूत्र है या नहीं। सवाल सिर्फ़ यह है कि वह सूत्र दिखता कैसा है। सूत्र को एक छोटे हिसाब की ज़रूरत है। 3 भुजाएँ जोड़िए, और फिर उस जोड़ को आधा कर दीजिए। यह आधा जोड़ ही s है, जिसे अर्धपरिमाप कहते हैं। नाम में ही आधा लिखा है। पूरा परिमाप नहीं, उसका आधा हिस्सा। यह अंतर पूरे सूत्र में सबसे ज़्यादा भारी पड़ता है।

और यही ग़लती सबसे ख़तरनाक है, क्योंकि पूरा परिमाप डालने पर भी कोई न कोई संख्या निकल ही आती है, जो देखने में जवाब जैसी लगती है। 1 से 15 तक की लम्बाइयों के 680 समूह आज़माए गए। इनमें से कितनों पर पूरा परिमाप डालकर सही जवाब आया? एक पर भी नहीं — 0 पर। s हाथ में आ गया। अब सूत्र लिखा जा सकता है। area बराबर है — s, गुणा s में से a, गुणा s में से b, गुणा s में से c — इस पूरे गुणनफल का वर्गमूल।

यह सूत्र देखने में अजीब लगता है, और यह कह देना ज़्यादा ईमानदार है कि हाँ, लगता है। इसकी बनावट सीधी है — 4 चीज़ें आपस में गुणा, और फिर पूरे पर 1 वर्गमूल। तीनों भुजाएँ इसमें बिल्कुल एक ही तरह से आती हैं। कोई भुजा ख़ास नहीं है, इसलिए उन्हें किसी ख़ास क्रम में रखने की ज़रूरत नहीं। इसे इस्तेमाल करने से पहले पढ़िए। यह सूत्र उतना ही नहीं कहता जितना इससे पूछा जाता है।

ख़ास तौर पर वे 3 कोष्ठक, जिनमें घटाना होता है। s में से a को खोलकर लिखिए। s आधा जोड़ है, तो s में से a बनता है — b और c का जोड़, उसमें से a, और फिर आधा। यानी यह कोष्ठक तभी धनात्मक है जब b और c मिलकर a से बड़े हों। और यह वही शर्त है जो हर त्रिभुज पर लगती है — कोई भी 2 भुजाएँ मिलकर तीसरी से लम्बी होनी चाहिए।

तीनों कोष्ठक तभी धनात्मक होते हैं जब तीनों शर्तें पूरी हों। सूत्र उस शर्त को अपने अन्दर याद रखे हुए है। यह खोलकर लिखना 1728 समूहों पर जाँचा गया, और 0 बार चूका। तो अब इसमें ऐसी लम्बाइयाँ डालिए जो त्रिभुज बना ही नहीं सकतीं, और देखिए यह क्या करता है। 2, 3 और 9 लीजिए। 2 और 3 को मिलाकर भी 9 तक पहुँचा नहीं जा सकता। इनका जोड़ 14 है, तो s हुआ 7।

अब कोष्ठक निकालिए — 5, 4, और -2। तीसरा ऋणात्मक है। इसलिए पूरा गुणनफल शून्य से नीचे चला जाता है, और उसका वर्गमूल होता ही नहीं। सूत्र area देने से इनकार कर देता है। अब 2, 3 और 5 लीजिए। 2 और 3 मिलकर ठीक 5 तक पहुँचते हैं — बस, इससे आगे नहीं। कोष्ठक बनते हैं 3, 2 और 0। गुणनफल 0, और area भी 0। और यही सही जवाब है — त्रिभुज चपटा होकर एक सीध पर बैठ गया है।

यहाँ एक जायज़ शक उठता है। 2 ऋणात्मक संख्याएँ गुणा होकर धनात्मक हो जाती हैं। तो अगर 2 कोष्ठक एक साथ ऋणात्मक हो जाएँ, तो गुणनफल धनात्मक निकलेगा और सूत्र पूरे आत्मविश्वास से एक झूठा area थमा देगा। इसे गिनकर तय कीजिए। 1 से 15 तक की लम्बाइयों के हर समूह पर देखिए कि एक साथ कितने कोष्ठक ऋणात्मक होते हैं। जवाब है — ज़्यादा से ज़्यादा 1। 2 या 3 कोष्ठक एक साथ ऋणात्मक होने वाले समूह कितने मिले?

एक भी नहीं — 0 समूह। और यह संयोग नहीं है। 2 कोष्ठक ऋणात्मक होने के लिए 2 अलग भुजाओं को बाक़ी 2 से बड़ा होना पड़ेगा, और सबसे लम्बी भुजा 2 नहीं हो सकतीं। पूरा बँटवारा यह है — 680 समूहों में से 372 त्रिभुज बनाते हैं, 56 ठीक चपटे बैठते हैं, और 252 बन ही नहीं सकते। ये 3 मिलकर पूरे 680 हो जाते हैं। यानी सूत्र ठीक उन्हीं लम्बाइयों को मना करता है जिन्हें मना करना चाहिए।

पर इससे यह सिद्ध नहीं हुआ कि जो area यह देता है, वह सही है। तो इसे वहाँ जाँचिए जहाँ जवाब पहले से किसी और रास्ते से मालूम है। 2 कॉलम बनाइए — बाएँ सूत्र, दाएँ base गुणा height का आधा। पहली जाँच — वह त्रिभुज जिसकी तीनों भुजाएँ बराबर हैं, हर एक a लम्बी। s निकलता है 3a का आधा। और तीनों कोष्ठक एक जैसे बनते हैं — हर एक a का आधा।

इन चारों को गुणा करके वर्गमूल लीजिए, और वही जाना-पहचाना जवाब निकल आता है। दाएँ कॉलम में base को आधा कीजिए, ऊपर तक सीधी दूरी गिराइए, और वर्गों वाले नियम से height निकालिए। दोनों कॉलम एक ही जवाब पर मिलते हैं। यह जाँच 1 नाप पर नहीं, 20 अलग-अलग नापों पर चलाई गई। असहमति कितनी बार? एक बार भी नहीं — 0 बार। दूसरी जाँच — वह त्रिभुज जिसकी 2 भुजाएँ बराबर हैं, दोनों a लम्बी, और base 2b लम्बा।

जोड़ है 2a और 2b, तो s निकलता है सीधा a और b का जोड़। यह असामान्य रूप से साफ़ है। चारों गुणक बनते हैं — a और b का जोड़, फिर b, फिर b, और आख़िर में a में से b। इन्हें गुणा कीजिए और वर्गमूल लीजिए — area बनता है b गुणा, a के वर्ग में से b के वर्ग का वर्गमूल। दाएँ कॉलम में base को बीच से आधा कीजिए — हर आधा b का।

वर्गों वाले नियम से height निकलती है, a के वर्ग में से b के वर्ग का वर्गमूल। वही चीज़ फिर सामने आ गई। यह जाँच 105 अलग-अलग शक्लों पर चलाई गई, और असहमति 0 बार मिली। तीसरी जाँच — भुजाएँ 3, 4 और 5। इस बार कोई 2 भुजाएँ बराबर नहीं हैं। जोड़ है 12, तो s हुआ 6। चारों गुणक निकलते हैं 6, 3, 2 और 1। इनका गुणनफल 36 है, और 36 का वर्गमूल 6।

तो area निकला 6। अब दाएँ कॉलम के लिए height चाहिए। 2 छोटी भुजाओं के वर्ग जोड़िए — 9 और 16, कुल 25। और 25 सबसे लम्बी भुजा का वर्ग है। वर्गों वाला नियम उलटी तरफ़ से भी चलता है। इसलिए 3 और 4 के बीच वाला कोना ठीक सीधा है। यह हमें दिया नहीं गया था, हमने निकाला। तो base 3, height 4, और आधा गुणा — जवाब फिर 6।

यही बात 7, 24 और 25 वाले त्रिभुज पर भी चलती है, जहाँ दोनों रास्ते 84 पर पहुँचते हैं। 3 जाँचें सही निकलीं। तो क्या सूत्र सिद्ध हो गया? इसका जवाब बहस से नहीं, बनाकर मिलता है। एक दूसरा सूत्र बनाइए जो इन तीनों जाँचों में भी पास हो जाए। इस जाँच में 372 असली त्रिभुज हैं। इनमें 15 बराबर भुजाओं वाले हैं, 169 में 2 भुजाएँ बराबर हैं, और 4 में एक कोना ठीक सीधा है।

इन तीनों परिवारों पर नक़ली सूत्र और असली सूत्र का जवाब एक ही आता है। असहमति 0 बार। अब ऐसा त्रिभुज लीजिए जो इन तीनों में से किसी परिवार में नहीं है — भुजाएँ 4, 5 और 6। असली area है 9.922, और नक़ली सूत्र कहता है 11.079। पूरी जाँच में यह नक़ली सूत्र 199 त्रिभुजों पर ग़लत है — और फिर भी तीनों जाँचों में पास हो गया था।

जाँचें लापरवाही पकड़ती हैं, सच्चाई साबित नहीं करतीं। तो इस video में सूत्र सिद्ध नहीं हुआ है। यह कह देना ज़रूरी है। सिद्ध करने के कई तरीक़े मालूम हैं। एक रास्ता वर्गों वाले नियम से चलता है, और साथ में 2 वर्गों के अंतर को बार-बार तोड़ते हुए आगे बढ़ता है। वह पूरी दलील आगे के लिए छोड़ी गई है। और यह बात छिपाई नहीं गई, लिखकर दर्ज की गई है।

जिस सूत्र के साथ यह नहीं बताया जाता कि उसका प्रमाण कहाँ है, वह ऊपर से थोपे गए नियम जैसा लगने लगता है। और यह सूत्र ऊपर से थोपा गया नहीं है। जो अभी दिखाया जा सकता है वह यह है कि इसी area के और भी रूप हैं। किसी भी त्रिभुज के साथ 2 घेरे आते हैं। एक circumcircle, जो तीनों कोनों से होकर गुज़रता है। और एक incircle, जो अन्दर बैठकर तीनों भुजाओं को छूता है।

छूने का मतलब है — हर भुजा से ठीक 1 जगह मिलना, और वहाँ सीधा खड़ा होना। यहाँ तीनों जगह वह छूना सचमुच बनाया गया है, क्योंकि r नापता ही वही दूरी है। यह 17 ऐसे त्रिभुजों पर जाँचा गया जिनकी तीनों भुजाएँ पूरे अंक की हैं। तीनों जगह मिलाकर 51 छूने के बिंदु बनते हैं, और 51 के 51 अपनी भुजा के अन्दर गिरते हैं। अब 2 और सूत्र।

area बराबर है a, b, c का गुणनफल, बटा 4R। और area बराबर है r गुणा s। दूसरा सूत्र आमतौर पर r गुणा परिमाप का आधा लिखा जाता है, और परिमाप का आधा तो s ही है। इसलिए इस board के 3 सूत्रों में से 2 में s बैठा हुआ है। यहाँ बनाए गए त्रिभुज की भुजाएँ 15, 13 और 14 हैं। s निकलता है 21, और area 84। अन्दर वाले घेरे की दूरी r निकलती है 4, और दोनों सूत्र 84 पर ही पहुँचते हैं।

पर ये उस सूत्र के विकल्प नहीं हैं। दोनों को एक घेरे की दूरी चाहिए, जो आपको दी नहीं गई थी। 3 भुजाओं वाले सूत्र को उसके अलावा कुछ नहीं चाहिए। एक सवाल जो नया सूत्र सीखने के तुरंत बाद कोई नहीं पूछता। क्या यह सूत्र हमेशा सही औज़ार है? एक त्रिभुज है जिसकी 2 भुजाएँ बराबर हैं, base 10 है और area 60। बराबर भुजाएँ कितनी लम्बी हैं? base गुणा height का आधा 60 है, तो height सीधे 12 निकल आती है।

फिर आधा base 5 और height 12, और बराबर भुजा 13। नया सूत्र भी वही 13 देता है। पर वहाँ पहुँचने के लिए एक ऐसी बराबरी हल करनी पड़ती है, जिसमें अनजान भुजा वर्ग के अन्दर बैठी है। दूसरा सवाल — एक त्रिभुज जिसका एक कोना ठीक सीधा है, area 54 है और एक भुजा 12। परिमाप कितना है? दूसरी भुजा 9, सबसे लम्बी 15, और परिमाप 36। और यह सब उस सीधे कोने की वजह से हुआ, जो सवाल में दिया गया था।

मान लीजिए वह कोना सीधा न होता। क्या तब भी area और 1 भुजा मिलकर त्रिभुज को बाँध पाते? base को 12 पर टिका रहने दीजिए और ऊपर वाले कोने को उस सीध पर खिसकाइए जो base से 9 ऊपर है। 13 जगहें आज़माई गईं। हर जगह area वही 54 निकला, क्योंकि न base हिला और न ऊपर तक की सीधी दूरी। पर बाक़ी 2 भुजाओं की जोड़ियाँ 7 अलग-अलग निकलीं।

यानी 7 अलग त्रिभुज, और सबका area वही एक। इसलिए area और 1 लम्बाई मिलकर त्रिभुज को तय नहीं करते। पिछले सवाल में असली काम उस सीधे कोने ने किया था। उन 7 में से सिर्फ़ 1 ऐसा है जिसकी तीनों भुजाएँ पूरे अंक की हैं, और सवाल उसी को ढूँढ रहा था। एक त्रिभुज की 2 भुजाएँ 8 और 11 हैं, और परिमाप 32 है। तीसरी भुजा 32 में से 8 और 11 घटाकर 13 निकलती है।

और s परिमाप का आधा, यानी 16। चारों गुणक गुणा कीजिए — area का वर्ग 1920 आता है। और 1920 को 64 गुणा 30 लिखा जा सकता है, इसलिए जवाब ठीक-ठीक लिखा जा सकता है। दूसरा सवाल — भुजाएँ 3, 5 और 7 के अनुपात में हैं, और परिमाप 300 है। अनुपात के हिस्से जोड़िए — 3 और 5 और 7 मिलकर 15। तो परिमाप 300 को 15 हिस्सों में बाँटिए, हर हिस्सा 20 का।

भुजाएँ निकलती हैं 60, 100 और 140। s हुआ 150, और वहाँ से सूत्र सीधा चलता है। यही रास्ता 2, 3 और 4 के अनुपात और परिमाप 45 पर चलाइए — भुजाएँ 10, 15 और 20 निकलती हैं, और area 72.6। शुरुआत यह थी — 3 भुजाएँ त्रिभुज को बाँध देती हैं, और 4 भुजाएँ 4 भुजाओं वाली आकृति को नहीं बाँधतीं। इसलिए area उन्हीं 3 लम्बाइयों से पहले ही तय हो चुका था, और उनका कोई न कोई सूत्र होना ही था।

हिसाब में सिर्फ़ 1 ही नया काम है — परिमाप को आधा करना। और उसी आधे को भूल जाना सबसे आम ग़लती है। और उन 3 कोष्ठकों को पढ़िए। वे तभी धनात्मक होते हैं जब लम्बाइयाँ सचमुच जुड़ सकती हों, इसलिए सूत्र उन्हीं को मना करता है जिन्हें मना करना चाहिए। 3 जाँचों ने लापरवाही पकड़ी, पर ग़लत होने की सम्भावना नहीं मिटाई — नक़ली सूत्र ने यही दिखाया, तीनों जाँचों में पास होकर और 199 त्रिभुजों पर ग़लत रहकर।

इसलिए यह सूत्र कोई जादू नहीं है। यह उस सवाल का जवाब है जिसका जवाब होना ही था।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

The book

Open in a new tab