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Chapter 7 · A Tale of Three Intersecting Lines

triangle को छाँटने के दो स्वतंत्र तरीक़े: sides से और angles से

Altitudes and classification11 मिनट

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हर त्रिभुज से 2 सवाल पूछो: भुजाओं के बारे में, और angles के बारे में। हर सवाल का जवाब एक नाम है, तो हर त्रिभुज को 2 नाम मिलते हैं।

मुख्य idea

ये एक ही सूची के दो आधे हिस्से नहीं हैं। sides से छाँटना और angles से छाँटना, एक ही triangle से पूछे गए दो अलग सवाल हैं, और हर triangle दोनों का जवाब देता है — उसे हर एक से एक label मिलता है। chapter इन्हें अलग रखने में जान-बूझकर सावधान है: वह दोनों sets के नाम देता है, सीधे पूछता है कि क्या दोनों आपस में मेल खाते हैं, और फिर किसी बाद के chapter तक जवाब देने से मना कर देता है। और वह परिभाषा के एक जाल पर रुकता है, जो दिखाता है कि दूसरी छँटाई लापरवाही से क्यों नहीं की जा सकती। "Acute-angled" का मतलब "जिसमें एक acute angle हो" नहीं हो सकता, क्योंकि angle sum पक्का करता है कि हर triangle में कम से कम दो होते हैं।

आपको क्या आना चाहिए

  • sides पर आधारित तीनों वर्गों के नाम बताना और हर एक की शर्त कहना
  • figure से बराबर sides वाले tick marks पढ़ना और वर्ग तय करना
  • angles पर आधारित तीनों वर्गों के नाम बताना और हर एक की शर्त कहना
  • समझाना कि "acute-angled" की परिभाषा तीनों angles से ही क्यों देनी पड़ती है
  • angle sum से दिखाना कि किसी triangle में 90° या उससे ज़्यादा के दो angles नहीं हो सकते
  • दिए गए triangle को side वाला label और angle वाला label, दोनों देना
  • बताना कि दोनों वर्गीकरणों के बीच का संबंध किसी बाद के chapter पर छोड़ा गया है, और उसे मान लेने से बचना
  • construction से टटोलना कि side-और-angle के कौन-से मेल एक साथ हो सकते हैं

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक पंक्ति में अर्थहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ
equilateral triangleऐसा triangle जिसकी तीनों sides बराबर लंबाई की होंसमबाहु त्रिभुज§7.1 के heading के रूप में छपा, p.146; §7.5, p.170 में फिर कहा गया
isosceles triangleऐसा triangle जिसकी दो sides बराबर लंबाई की होंसमद्विबाहु त्रिभुज§7.2, p.150 में bold में छपा; §7.5, p.170 में फिर कहा गया
scalene triangleऐसा triangle जिसकी तीनों sides अलग-अलग लंबाई की होंविषमबाहु त्रिभुज§7.5, p.170 में छपा
right-angled triangleright angle वाला triangle; chapter इसे छोटा करके right triangle भी कहता हैसमकोण त्रिभुज§7.4, p.169 में bold में छपा; §7.5, p.170 में फिर कहा गया
obtuse-angled triangleऐसा triangle जिसमें एक obtuse angle होअधिककोण त्रिभुज§7.5, p.170 में छपा
acute-angled triangleऐसा triangle जिसके तीनों angles acute होंन्यूनकोण त्रिभुज§7.5, p.170 में bold में छपा
acute angleright angle से छोटा angleन्यून कोणp.162 पर छपा और फिर p.170 पर
obtuse angleऐसा angle जो right angle से बड़ा और straight angle से छोटा होअधिक कोणp.170 पर छपा
right angle90° का angleसमकोणp.162 पर और p.169 पर छपा
classificationकिसी बताए गए test से चीज़ों को नाम वाली क़िस्मों में छाँटनावर्गीकरणp.170 पर छपा
angle sum propertyयह तथ्य कि किसी भी triangle के तीनों angles का जोड़ 180° होता हैकोण योग गुणधर्म§7.3, p.166 में bold में छपा; यहाँ इस्तेमाल हुआ, हालाँकि §7.5 इसका हवाला नहीं देता
equiangularजिसके तीनों angles बराबर होंसमकोणिकयहाँ जोड़ा गया शब्द; यह इस chapter में नहीं छपा, जो इस शर्त को बताता तो है पर इसे कोई नाम नहीं देता

Hindi column में standard NCERT हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash Part I का हिंदी संस्करण यहाँ इस्तेमाल किए गए corpus में नहीं है, इसलिए ये शब्द हिंदी छपाई से नहीं लिए गए — Notes देखें।

समझाते समय एक सावधानी। chapter isosceles की शर्त दो बराबर sides के रूप में कहता है और कभी "ठीक-ठीक दो" नहीं कहता, इसलिए यह तय नहीं करता कि equilateral triangle को isosceles गिना जाए या नहीं। किताब की तरफ़ से यह फ़ैसला मत करना; कहो कि अलग-अलग किताबें यह रेखा अलग-अलग जगह खींचती हैं, और यह किताब इसे खींचती ही नहीं।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "triangle या तो isosceles होता है या right-angled।" दोनों सूचियाँ स्वतंत्र हैं; triangle को हर एक से एक label मिलता है। 45°-45°-90° triangle दोनों है, और इसमें कुछ भी अजीब नहीं।
  • "Acute-angled का मतलब है कि उसमें एक acute angle है।" हर triangle में होता है, हमेशा कम से कम दो। chapter p.170 पर इसे Math Talk के रूप में ठीक इसीलिए उठाता है कि student चलने वाली परिभाषा से पहले नाकाम परिभाषा से मिले।
  • "काफ़ी चौड़ा हो तो triangle में दो obtuse angles हो सकते हैं।" दो obtuse angles का जोड़ पहले ही 180° से ज़्यादा हो जाता है। यह वही तर्क है जिसने पिछले topic का construction वाला सवाल ख़त्म किया था, और इसे वही तर्क कहकर पहचानना फ़ायदेमंद है।
  • "Scalene का मतलब बेढंगा या ख़राब बना हुआ है।" यह एक सटीक शर्त है: तीन अलग-अलग sidelengths. हाथ से बने ज़्यादातर triangles scalene होते हैं।
  • "equilateral triangles में 60° के angles दिखते हैं, तो यह तय हो गया।" यहाँ यह तय नहीं हुआ। chapter p.170 पर साफ़ कहता है कि side वाले वर्गों और angle वाले वर्गों का संबंध किसी बाद के chapter तक इंतज़ार करता है, और ठीक इसी वजह से वह equilateral वाले मेलों को construction के काम के रूप में देता है।
  • "tick marks सजावट हैं।" वे वह notation हैं जो बताता है कि कौन-सी sides बराबर हैं। तीनों छपे हुए figures में equilateral और isosceles वाली तस्वीर के बीच पूरा फ़र्क़ वही हैं।
  • "right-angled triangles इसी section में पहली बार आए।" उनका नाम §7.4 में p.169 पर, altitudes बनाते समय, रखा गया था; §7.5 उन्हें इकट्ठा कर रहा है, पहली बार ला नहीं रहा।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 7.5 Q3, Figure it Out · 7.5 Q4

पूरा transcript1,410 शब्द

त्रिभुज कई तरह के होते हैं, कुछ की तीनों भुजाएँ बराबर, कुछ की 2, कुछ की कोई नहीं। और कुछ त्रिभुजों में एक angle ठीक right angle होता है। जैसे 3, 4, 5 भुजाओं वाले त्रिभुज में एक right angle छिपा है। इन्हें छाँटना है, पर एक नहीं, 2 अलग सवालों से। पहला सवाल, भुजाओं के बारे में, तीनों भुजाएँ बराबर हों, तो equilateral। ठीक 2 बराबर हों, तो isosceles।

और कोई भी 2 बराबर न हों, तो scalene। चित्रों में बराबर भुजाओं पर एक छोटा सा निशान लगाते हैं, एक tick। पहले चित्र में हर भुजा पर tick, दूसरे में बस 2 भुजाओं पर, तीसरे में किसी पर नहीं। ये ticks सजावट नहीं, पहले और दूसरे चित्र में फ़र्क बस इन्हीं से दिखता है। isosceles वाले चित्र में जिस भुजा पर tick नहीं, वही अलग लंबाई वाली है, आम तौर पर उसे आधार कहते हैं।

भुजाओं से छाँटना हो, तो ruler उठाओ, तीनों लंबाइयाँ नापो, और देखो कितनी बराबर। angles से छाँटना हो, तो protractor उठाओ, तीनों angles नापो। यहाँ 2 अलग औज़ार, 2 अलग सवाल, और एक का जवाब दूसरे से अपने आप नहीं निकलता। और लगभग बराबर का मतलब बराबर नहीं, बराबर भुजा वाला नाम तभी, जब नाप सच में एक हो। equilateral compass से बनता है, 2 बराबर arcs, हर भुजा बराबर।

isosceles भी compass से, 2 बराबर arcs, और एक अलग आधार। पूरे degree वाले angles के सभी 2700 त्रिभुज बनाकर भुजाएँ नापी गईं, 1 equilateral, 88 isosceles, और 2611 scalene। scalene का मतलब गंदा बना हुआ त्रिभुज नहीं, एक साफ़ शर्त है, तीनों भुजाएँ अलग, और हाथ से बने ज़्यादातर त्रिभुज यही होते हैं। सवाल उठता है, क्या भुजाओं वाली छँटाई का angles से कोई रिश्ता है? यह सवाल यहाँ बस पूछकर छोड़ते हैं, और बिना साबित किए उसका जवाब चुपके से इस्तेमाल नहीं करेंगे।

इंतज़ार इसलिए, कि उस रिश्ते के लिए एक सबूत चाहिए जो अभी हमारे पास नहीं, और बिना सबूत की बात पर इमारत नहीं बनाते। अब दूसरा सवाल, angles के बारे में, बिल्कुल अलग। जिस त्रिभुज में एक angle ठीक 90 हो, वह right-angled। यहाँ right angle बनाने वाली 2 भुजाएँ एक दूसरे पर बिल्कुल सीधी खड़ी हैं। चित्र में right angle को एक छोटे चौकोर निशान से दिखाते हैं, उसे भी tick की तरह पढ़ना है।

और 3, 4, 5 वाला त्रिभुज जाली पर रखो, ruler से भुजाएँ 3, 4, 5, तीनों अलग, तो scalene। protractor से 3 और 4 के बीच का angle, ठीक 90, तो right-angled भी। एक ही त्रिभुज, दोनों सवालों के जवाब, scalene और right-angled। जिसमें एक angle 90 से बड़ा हो, वह obtuse-angled। कोई कहे, बहुत चौड़ा त्रिभुज हो तो 2 obtuse angles भी हो सकते हैं। नहीं, 2 obtuse angles ही मिलकर 180 से ज़्यादा, तीसरे के लिए जगह ही नहीं।

सभी 2700 त्रिभुजों में, 90 या उससे बड़े 2 angles वाले त्रिभुज, 0। तीसरा नाम acute-angled, तो क्या उसका मतलब, जिसमें एक acute angle हो? सोचो, अगर 2 angles 90 या उससे बड़े हों, तो वे पूरा 180 खा जाते, तो हर त्रिभुज में कम से कम 2 acute angles। गिनती भी यही कहती है, 2700 में से कम से कम 2 acute angles से कम वाले त्रिभुज, 0। तो एक acute angle वाली शर्त सभी 2700 त्रिभुजों पर सच, वह किसी को अलग नहीं करती, छँटाई के काम की नहीं।

अब 30, 30, 120 में भी 2 acute angles हैं, और 60, 60, 60 में तीनों, पर कोई भी त्रिभुज एक acute angle से कम वाला नहीं। इसलिए acute-angled का सही मतलब, तीनों angles acute। अब तीनों नाम साफ़, एक right angle, एक obtuse angle, या तीनों acute, और हर त्रिभुज इनमें से ठीक एक में। उन 2700 में, 675 acute-angled, 45 right-angled, 1980 obtuse-angled। देखो, 45, 45, 90 के 90 को 1 degree बढ़ाओ, 45, 44, 91, अब वह obtuse।

और 1 degree घटाओ, 45, 46, 89, अब acute। तो right angle वाला त्रिभुज acute और obtuse के बीच की सीमा पर बैठा है, ज़रा सा हिलाओ, दूसरी तरफ़। इसीलिए 2700 त्रिभुजों में right-angled बस 45, सबसे बड़े angle को ठीक 90 होना पड़ता है। यहाँ 3 त्रिभुज अगल बगल, एक में चौड़ा angle, एक में right angle, एक में तीनों नुकीले। पहचानने के लिए बस सबसे बड़ा angle देखो, बाकी 2 तो हमेशा acute होते हैं।

सबसे बड़ा 90 से कम, तो acute-angled, ठीक 90, तो right-angled, और ज़्यादा, तो obtuse। कई बच्चे सोचते हैं, त्रिभुज या तो isosceles होता है, या right-angled। पर ये एक सूची के 2 हिस्से नहीं, 2 अलग सवाल हैं, भुजाओं के बारे में, और angles के बारे में। हर त्रिभुज दोनों सवालों का जवाब देता है, तो उसे हर सूची से एक नाम मिलता है। जैसे फलों को रंग से भी छाँट सकते हो, और आकार से भी, एक लाल सेब छोटा भी हो सकता है, बड़ा भी।

एक जाली बनाओ, ऊपर से नीचे भुजाओं वाले नाम, बाएँ से दाएँ angles वाले। equilateral की पंक्ति में, acute 1, right angle वाले 0, obtuse 0। isosceles में, acute 43, right angle वाले 1, obtuse 44। और scalene में, acute 631, right angle वाले 44, obtuse 1936। हर त्रिभुज की भुजाएँ और angles अलग अलग नापे गए, किसी एक से दूसरे का अंदाज़ा नहीं लगाया। जाली में बस 2 खाने खाली, equilateral और right angle, equilateral और obtuse।

isosceles वाली पंक्ति ध्यान से पढ़ो, 43 acute, 44 obtuse, जैसे 30, 30, 120, और right angle वाला बस 1। वह अकेला है 45, 45, 90, isosceles और right-angled एक संग। पूरी जाली का सबसे बड़ा खाना, scalene और obtuse, 1936 त्रिभुज। यहाँ 45, 45, 90 वाला त्रिभुज लो, भुजाएँ नापो, 2 बराबर, तो isosceles। और angles में एक 90, तो right-angled भी, दोनों नाम एक संग। इसमें कुछ अजीब नहीं, हर त्रिभुज को 2 नाम मिलते ही हैं।

अगर हर त्रिभुज को बड़ा बना दें, तो क्या नाम बदलेंगे? सभी 2700 त्रिभुजों को 1 की जगह 7 के आधार पर बनाया गया, और सारे 2700 त्रिभुजों ने अपने दोनों नाम वैसे ही रखे। बड़ा करने से भुजाएँ एक ही गुना बढ़ती हैं, बराबर भुजाएँ बराबर ही रहती हैं, और angles तो हिलते ही नहीं। एक सवाल, B पर 90, और A C बराबर 5 आधार, ऐसे कितने त्रिभुज?

बाकी 2 angles मिलकर 90, पर बँटवारा कैसा भी हो सकता है। A पर 1 से 89 तक हर पूरा degree लो, 89 अलग त्रिभुज बनते हैं, और हर एक में B पर नापो तो 90, कुल 89। और बँटवारा degree का आधा हो, या उससे भी छोटा टुकड़ा, कुछ भी हो सकता है, तो ऐसे त्रिभुजों की गिनती कभी ख़त्म नहीं होती। इनमें से 88 scalene हैं, बस 1, जहाँ बँटवारा बराबर है, 45 और 45, वह isosceles भी।

अब 4 जोड़ियाँ, equilateral और right angle, equilateral और obtuse angle, isosceles और right angle, isosceles और obtuse angle। इनमें से पहली 2 के बारे में पहले सोचकर देखो कि बन सकती हैं या नहीं, और बाकी 2 को सीधे बनाकर देखो। क्या कोई जोड़ी बनने से इनकार करती है? जो जोड़ी बनती है, उसे बनाकर दिखाना काफ़ी है, पर जो नहीं बनती, वहाँ कुछ अटकता है, और वह अटकन ढूँढनी है।

isosceles और right angle, 5 और 5 की भुजाएँ, बीच में 90, सबसे लंबी भुजा लगभग 7 दशमलव 1। isosceles और obtuse भी बनता है, जैसे 30, 30, 120, और गिनती में ऐसे 44। गिनती में equilateral और right angle, 0, equilateral और obtuse, 0, अकेला equilateral तीनों 60 वाला। और 5 के आधार पर 5 के 2 arcs से equilateral बनाओ, और angles नापो, 60, 60, 60। एक भी angle 90 के पास नहीं, पर यह एक बनावट है, हर equilateral के लिए सबूत नहीं।

पर हर त्रिभुज के लिए यह साबित करने को एक बात चाहिए, बराबर भुजाएँ बराबर angles लाती हैं। वह बात यहाँ साबित नहीं की गई, तो यहाँ बस इतना कहना ईमानदार है, बनाकर देखो, और गिनती ने यह दिखाया। equilateral के angles 60 दिखते हैं, पर दिखना साबित होना नहीं। खुद करो, जाली के हर भरे खाने के लिए एक त्रिभुज बनाओ, और नीचे दोनों नाम लिखो। और खाली खानों के लिए कोशिश करके देखो कि क्या गड़बड़ होती है।

हर त्रिभुज के नीचे 2 नाम, पहला भुजाओं से, दूसरा angles से, और नापकर, अंदाज़े से नहीं। याद रखो, भुजाओं वाली और angles वाली छँटाई, 2 अलग सवाल। तीनों बराबर equilateral, 2 बराबर isosceles, कोई नहीं scalene। एक right angle, एक obtuse angle, या तीनों acute। हर त्रिभुज में कम से कम 2 acute angles, इसलिए acute-angled का मतलब तीनों। और हर त्रिभुज को हर सूची से ठीक एक नाम।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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