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Chapter 6 · Number Play

Virahāṅka–Fibonacci संख्याएँ, और कविता की गिनती वाला सवाल जिससे वे निकलीं

Sequences and hidden digits13 मिनट

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8 ताल की कविता की पंक्ति कितनी तरह से बन सकती है? हर लय लिखे बिना जवाब: 34, और यही 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 का क्रम है।

मुख्य idea

"पिछली दो को जोड़ो" कोई ऐसा pattern नहीं जिसे किसी ने numbers की list में देख लिया हो। यह एक case split से मजबूरन निकलता है, जिसे कोई बच्चा भी जाँच सकता है: n मात्राओं की कोई भी लय या तो लघु (short) syllable से शुरू होती है या गुरु (long) से, ये दोनों मामले न एक-दूसरे पर चढ़ सकते हैं और न दोनों छूट सकते हैं, और शुरुआत के बाद जो कुछ आता है वह ख़ुद एक लय है — पहले मामले में n − 1 मात्राओं की और दूसरे में n − 2 की। sequence नतीजा है, खोज नहीं। इसीलिए यही संख्याएँ छंदों के साथ-साथ सीढ़ियाँ भी गिनती हैं, और इसीलिए जिस व्यक्ति ने यह rule पहली बार लिखा, वह लगभग 700 CE में छंद गिनने वाला एक Prakrit छंदशास्त्री था — उस नाम से लगभग पाँच सदी पहले, जो पश्चिम ने इन संख्याओं को दिया।

आपको क्या आना चाहिए

  • लघु और गुरु syllable की मात्राएँ बताना, और किसी लय को ones और twos के जोड़ की तरह पढ़ना
  • किसी छोटी संख्या को ones और twos के क्रम वाले जोड़ के रूप में लिखने के सारे तरीक़े list करना, और उन्हें गिनना
  • शुरुआती syllable वाले split से समझाना कि n मात्राओं की गिनती, n − 1 की गिनती में n − 2 की गिनती जोड़ने पर क्यों मिलती है
  • बताना कि वह split कुछ नहीं छोड़ता और कुछ भी दो बार नहीं गिनता
  • sequence 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 को आगे बढ़ाना और कुछ जगह आगे का कोई पद बताना
  • जोड़ने के बजाय घटाकर sequence के पिछले पद निकालना
  • sequence की parity का दोहराता pattern बताना, और उससे किसी दूर के पद की parity बिना हिसाब लगाए बताना
  • Piṅgala, Virahāṅka, Gopala, Hemachandra और Fibonacci को अंदाज़न तारीख़ों के साथ क्रम में रखना

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक पंक्ति में परिभाषाहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ
Virahāṅka numberssequence 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 और आगेविरहाङ्क संख्याएँ§6.4, p.141 पर मोटे अक्षरों में छपा
Virahāṅka sequenceवही संख्याएँ क्रम में, उस विद्वान के नाम पर जिसने rule दियाविरहाङ्क अनुक्रम§6.4, p.141 पर मोटे अक्षरों में छपा
Fibonacci numbersपश्चिम में इन संख्याओं का नाम, 1202 CE के एक लेखक के नाम परफिबोनाच्चि संख्याएँ§6.4, p.141 पर मोटे अक्षरों में छपा
Virahāṅka–Fibonacci numberschapter का पसंदीदा दोहरा नाम, ताकि दोनों परंपराओं का नाम आएविरहाङ्क–फिबोनाच्चि संख्याएँ§6.4, p.139 पर मोटे अक्षरों में छपा
short syllableएक मात्रा तक खींचा जाने वाला syllableलघु§6.4, p.139 पर मोटे अक्षरों में छपा
long syllableदो मात्राओं तक खींचा जाने वाला syllable, लघु का दोगुनागुरु§6.4, p.139 पर मोटे अक्षरों में छपा
beatसमय की वह इकाई जिसमें लय नापी जाती हैमात्रापूरे §6.4 में छपा, pp.139–141
rhythmलघु और गुरु syllables का कोई एक ख़ास क्रम वाला ढाँचालय / छंदपूरे §6.4 में छपा, pp.139–141
paritysequence का कोई पद सम है या विषमसम-विषमता§6.4, p.142 पर छपा, §6.2 से आगे लाया गया
recurrenceऐसे rule के लिए व्याख्या का शब्द जो हर पद को पिछले पदों से बनाता हैपुनरावृत्ति नियमव्याख्या का शब्द; इस chapter में नहीं छपा

Hindi column में standard NCERT Hindi गणितीय शब्दावली दी गई है; लघु और गुरु छोटे और लंबे syllable के लिए छंदशास्त्र के पारंपरिक शब्द हैं। Ganita Prakash Part I का Hindi संस्करण इस brief के लिए इस्तेमाल हुए corpus में नहीं है, इसलिए इन्हें Hindi छपाई से मिलाया नहीं गया — Notes देखें।

व्याख्या के लिए दो सावधानियाँ। पहली, chapter जुड़ा हुआ नाम इस्तेमाल करता है ताकि कोई भी परंपरा छूट न जाए; पहली बार यही नाम लीजिए और फिर छोटा Virahāṅka numbers आने दीजिए। दूसरी, chapter जैसा यह sequence छापता है, वह 1, 2, 3 से शुरू होता है — आगे कोई दोहराया हुआ 1 नहीं है — इसलिए यहाँ "आठवाँ पद" का मतलब 34 है। जो कोई ज़्यादा आम गिनती-क्रम लेकर चलेगा, वह एक जगह पीछे-आगे होगा। Notes देखें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "rule संख्याओं को देखकर पकड़ा गया था।" वह गिनती वाले सवाल से निकाला गया था। rule पकड़ा देना और फिर list पर उसकी जाँच करना वह सबक़ सिखाता है जो p.141 वाले सबक़ का उल्टा है।
  • "एक जैसे syllables वाली लयें एक ही लय हैं।" क्रम मायने रखता है: 1 + 2 और 2 + 1 तीन मात्राओं की दो अलग लयें हैं और p.140 की table उन्हें अलग गिनती है। जो student उन्हें एक मानता है, उसे sequence की जगह 2, 3, 4, 5 मिलता है।
  • "Fibonacci ने ये संख्याएँ खोजीं।" उन्होंने इनके बारे में 1202 CE में लिखा, Virahāṅka के लगभग पाँच सौ साल बाद और Piṅgala के उससे भी कहीं ज़्यादा बाद। chapter साफ़ कहता है कि उनसे पहले कई भारतीय विद्वान इनके बारे में लिख चुके थे, और जुड़ा हुआ नाम इसीलिए है कि यह बात चुपचाप भुला न दी जाए।
  • "sequence 1, 1, 2, 3, 5 से शुरू होता है।" यह chapter जैसा छापता है, उसमें यह 1, 2, 3, 5 से शुरू होता है — क्योंकि एक मात्रा वाली लयों की गिनती 1 है और दो मात्राओं वाली लयों की गिनती 2। दोनों तरीक़े चलन में हैं; chapter का तरीक़ा इससे तय होता है कि क्या गिना जा रहा है, और दोनों को मिलाने से हर position एक से खिसक जाती है।
  • "हर फूल की पंखुड़ियाँ Virahāṅka संख्या जितनी होती हैं।" chapter कहता है कि पंखुड़ियों की गिनती आम तौर पर ऐसी होती है, और तीन daisies दिखाता है। यह कुछ प्रजातियों का झुकाव है, प्रकृति का कोई नियम नहीं, और इसे बढ़ा-चढ़ाकर कहना internet पर इस विषय के ग़लत होने का सबसे आम तरीक़ा है।
  • "sequence में पीछे की ओर जाने के लिए नया rule चाहिए।" नहीं चाहिए — वही संबंध उल्टी तरफ़ से पढ़ने पर घटाना बन जाता है, और question 7, p.144 पर ठीक यही माँगता है।
  • "कविता तो गणित के सवाल पर बस सजावटी लिफ़ाफ़ा है।" chapter की पूरी बात इसका उल्टा है: गणित एक असली सवाल से निकला जिसका जवाब छंदशास्त्रियों को चाहिए था, और जवाब एक Prakrit छंद के रूप में आया।

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पूरा transcript1,766 शब्द

एक संख्या क्रम जो हर जगह मिलता है, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, और आगे भी। यह किसी गिनती की पहेली से नहीं, कविता से शुरू हुआ, छंदों की लय गिनने से। आज देखेंगे कि पिछले 2 को जोड़ो वाला नियम किसी ने सूची देखकर नहीं पकड़ा, वह एक सवाल से मजबूरन निकलता है। कई भाषाओं की कविता में हर syllable या तो छोटा होता है या लंबा।

लंबा syllable ठीक दुगुना खिंचता है, गाओ तो छोटा 1 ताल, और लंबा 2 ताल। छोटे और लंबे syllables की एक कतार, एक लय, और उसकी ताल गिनो तो उसकी लंबाई मिलती है। छोटा फिर लंबा, और लंबा फिर छोटा, दोनों 3 ताल, पर सुनने में अलग, तो ये 2 अलग लय हैं। पुराने कवियों का सवाल था, 8 ताल भरने वाली कितनी अलग लय बन सकती हैं? कुछ उदाहरण, लंबा, लंबा, लंबा, लंबा।

या सारे छोटे, पूरे 8 बार। या छोटा, लंबा, लंबा, छोटा, लंबा, और लंबा, लंबा, छोटा, छोटा, लंबा। ये 4 तो मिल गईं, पर कुल कितनी हैं, और सब कैसे पक्का करें कि कोई छूटी नहीं? छोटे को 1 लिखो, लंबे को 2, तो हर लय 1 और 2 का एक जोड़ बन जाती है, जिसका कुल 8। जैसे 2 धन 2 धन 2 धन 2, या 8 बार 1, या 1 धन 2 धन 2 धन 1 धन 2, या 2 धन 2 धन 1 धन 1 धन 2।

हर एक का जोड़ 8, और चारों अलग। तो सवाल बना, 8 को 1 और 2 के क्रम वाले जोड़ों में कितने तरह से लिखा जा सकता है? एक आम गलती, जिन लयों में वही syllable हों, वे एक ही लय हैं। नहीं, 1 धन 2 और 2 धन 1 सुनने में अलग हैं, इसलिए दोनों गिनी जाती हैं। क्रम भूलकर गिनो, तो 1 से 8 ताल तक गिनती बनती है 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5।

यानी 8 ताल की बस 5 लय, जबकि असल में 34 हैं। बड़े सवाल से पहले छोटे मामले गिनो, और एक तालिका बनाओ। यहाँ 1 ताल, बस एक लय, एक छोटा syllable। और 2 ताल, 1 धन 1, या बस 2, यानी 2 तरीके। अब 3 ताल, 1 धन 1 धन 1, 1 धन 2, और 2 धन 1, यानी 3। देखो, 4 ताल, सारे 1, फिर 2 को 3 जगहों पर रखकर 3 और, और 2 धन 2, कुल 5।

अब 5 ताल, क्या फिर से सब लिखना पड़ेगा? यहाँ 4 ताल की लय एक एक करके लिखो, पहली, सारे छोटे, 1 धन 1 धन 1 धन 1। फिर एक लंबा और 2 छोटे, लंबा आगे, बीच में, या आखिर में, यानी 2 धन 1 धन 1, 1 धन 2 धन 1, और 1 धन 1 धन 2। और 2 लंबे, 2 धन 2, बस। कुल 5, और इस तरह लंबे syllables की गिनती से सूची बनाओ, तो कोई लय नहीं छूटती।

और 3 ताल पर भी यही तरकीब, 2 ताल वाली हर लय के आगे छोटा लगाओ, 1 धन 1 धन 1, और 1 धन 2। और 1 ताल वाली लय के आगे लंबा, 2 धन 1। अब 2 और 1, कुल 3, वही जो हाथ से गिना था। हर 4 ताल वाली लय के आगे एक 1 लगाओ, तो 5 ताल की 5 लय मिलती हैं। और हर 3 ताल वाली लय के आगे एक 2 लगाओ, तो 5 ताल की 3 और।

कुल 8, और सच में सारी 5 ताल वाली लय लिखो, तो ठीक 8 ही निकलती हैं। इन 2 खंडों को एक सूची में मत मिलाओ, यही बँटवारा पूरा तर्क है, 5 और 3 का जोड़। ध्यान रहे, हमने कोई नई लय खोजी नहीं, बस पुरानी सूचियों के आगे एक syllable जोड़ा। हर लय किसी syllable से शुरू होती है, और वह या तो छोटा है या लंबा, तीसरा कोई विकल्प नहीं।

और कोई लय दोनों से शुरू नहीं हो सकती, तो 2 खंड कभी एक दूसरे पर नहीं चढ़ते। छोटे से शुरू हुई, तो बाकी बची एक लय, जो 1 ताल कम है। लंबे से शुरू हुई, तो बाकी बची एक लय, जो 2 ताल कम है। इसलिए किसी भी लंबाई की लय की गिनती, बराबर 1 ताल कम वाली गिनती, धन 2 ताल कम वाली गिनती। यह बँटवारा 3 से 20 ताल तक हर लंबाई पर जाँचा गया, सभी 18 मामलों में दोनों खंड ठीक पिछली सूचियाँ निकले।

अब 6 ताल की कितनी लय, बिना लिखे बताओ? देखो, 5 ताल वाली 8, और 4 ताल वाली 5, जोड़ 13। और सारी 6 ताल वाली लय लिखकर गिनो, तो ठीक 13। और लिखी हुई सूची को छोटे से शुरू होने वालों और लंबे से शुरू होने वालों में बाँटो, तो 8 और 5, ठीक 5 ताल और 4 ताल की गिनती। यानी नियम सिर्फ़ गिनती में नहीं, सूची के बँटवारे में भी दिखता है।

यह तर्क किसी खास लंबाई पर टिका नहीं, इसलिए नियम हर लंबाई पर चलता है, हमेशा। तो गिनतियाँ बनती हैं 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89। यह नियम संख्याएँ देखकर नहीं पकड़ा गया, पहले गिनती का सवाल आया, फिर तर्क, और तर्क से नियम। यानी क्रम खोज नहीं, नतीजा है, और इसी क्रम में समझाना चाहिए। बहुत पहले, कविता के छंद गिनने वाले विद्वानों ने यही सवाल पूछा, और यही नियम लिखा।

और दिलचस्प बात, उन्होंने गिनती का यह तरीका खुद एक कविता के रूप में लिखा। दुनिया के दूसरे हिस्सों में यह क्रम सदियों बाद पढ़ा गया, और इसलिए इसे किसी एक खोजकर्ता के नाम से जोड़ना सही नहीं। यहाँ 34 को एक और तरीके से जाँचो, 8 ताल की लय को इस हिसाब से बाँटो कि उनमें कितने लंबे syllables हैं। एक भी लंबा नहीं, तो सारे छोटे, बस 1 लय।

एक लंबा और 6 छोटे, लंबा 7 जगहों में से कहीं भी, तो 7 लय। और 2 लंबे और 4 छोटे हों, तो 15 लय, और 3 लंबे और 2 छोटे हों, तो 10। और 4 लंबे, तो बस 1। सब जोड़ो, 1, 7, 15, 10, 1, कुल 34, ठीक वही जो क्रम ने बताया। बँटवारा आखिरी syllable से भी हो सकता है, हर लय या तो छोटे पर खत्म होती है या लंबे पर।

छोटे पर खत्म हुई, तो उससे पहले 1 ताल कम की लय, और लंबे पर, तो 2 ताल कम की। यह भी 3 से 20 ताल तक सभी 18 मामलों में जाँचा गया, हर बार ठीक बैठा। यानी पहला syllable कोई जादू नहीं, बस एक ऐसा बँटवारा चाहिए जिसमें कुछ न छूटे और कुछ दोबारा न गिना जाए। अब पुराने सवाल पर लौटो, 8 ताल की कितनी लय, तो क्रम में आठवीं जगह पढ़ो।

जवाब 34, और सारी लय सच में बनाकर गिनने पर भी ठीक 34। यानी जो 4 उदाहरण देखे थे, वे 34 में से बस 4 थे। कई जगह यह क्रम 1, 1, 2, 3 से लिखा जाता है। पर यहाँ गिनती तय करती है, 1 ताल की 1 लय, 2 ताल की 2, तो क्रम 1, 2, 3 से शुरू होता है। दोनों तरीके चलते हैं, पर मिलाओगे तो हर संख्या एक जगह खिसक जाएगी, और 8 ताल का जवाब गलत पढ़ोगे।

क्रम आगे बढ़ाओ, 34 के बाद 55, फिर 89। और उसके बाद 144, 233, 377। यानी 13 ताल की लय 377 तरह की। बिना जोड़े बता सकते हो, अगली संख्या सम होगी या विषम? देखो, 1 विषम, 2 सम, 3 विषम, 5 विषम, 8 सम, 13 विषम, 21 विषम, 34 सम। हर तीसरी जगह सम, बाकी विषम। विषम धन सम, विषम, सम धन विषम, विषम, और विषम धन विषम, सम, तो विषम, सम के बाद फिर विषम, विषम, सम, और यही चक्र।

पहली 60 संख्याओं में सम बस 20, ठीक हर तीसरी जगह पर। यह वही parity का हिसाब है, जोड़ किए बिना जोड़ की parity। क्रम में 987 और 1597 पड़ोसी हैं। आगे की 2 संख्याएँ जोड़कर, 2584 और 4181। पीछे जाने के लिए नया नियम नहीं चाहिए, वही नियम उल्टा, जोड़ की जगह घटाना। अब 1597 में से 987 घटाओ, 610, और 987 में से 610 घटाओ, 377। पीछे चलते रहो, 610 में से 377 घटाओ, 233, और इसी तरह घटाते घटाते क्रम की शुरुआत, 2 और 1, तक पहुँच जाते हो।

अब एक सीढ़ी, 8 सीढ़ियाँ, और हर बार 1 या 2 सीढ़ी चढ़ सकते हो। ऊपर पहुँचने के कितने तरीके? पहला कदम या 1 सीढ़ी का, या 2 का, और उसके बाद बची हुई छोटी सीढ़ी, वही बँटवारा। पहला कदम 1 सीढ़ी, तो बची 7 सीढ़ियाँ, जिनके 21 तरीके, पहला कदम 2 सीढ़ी, तो बची 6, जिनके 13 तरीके, कुल 34। हर तरीका सच में चलकर गिना गया, 8 सीढ़ियों के 34 तरीके, लय जितने ही।

और 1 से 20 सीढ़ियों तक हर सीढ़ी पर चलकर गिनती, लय की गिनती से मेल खाई। लय हो या सीढ़ी, सवाल एक ही है, 1 और 2 से कोई लंबाई भरना। अब सवाल बदलो, अगर 3 ताल का भी कोई syllable हो, तो क्या होगा? तब पहला syllable 1, 2 या 3 ताल का, तो 3 खंड, और हर गिनती पिछली 3 गिनतियों का जोड़। नई गिनतियाँ बनती हैं, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81।

और 8 ताल की सारी ऐसी लय सच में बनाकर गिनीं, ठीक 81। नियम बदला, पर तर्क वही रहा, इसीलिए तर्क समझना, नियम रटने से ज़्यादा काम का है। ढोल जैसे ताल वाद्य पर भी छोटी और लंबी थाप की लय बनती है, और उनकी गिनती भी यही। कुछ फूलों की पंखुड़ियाँ अक्सर 13, 21 या 34 होती हैं, जो इसी क्रम की संख्याएँ हैं। पर यह बात कुछ फूलों में अक्सर दिखती है, यह प्रकृति का कोई नियम नहीं, हर फूल ऐसा नहीं होता।

और चित्र में बने फूल पंखुड़ियों की गिनती साबित नहीं करते, असली फूल गिनकर ही पता चलता है। इस बात को बढ़ा चढ़ाकर कहना इस विषय की सबसे आम गलती है, अक्सर कहो, हमेशा नहीं। कोई सोचे, कविता तो बस गणित की पहेली पर चढ़ा रंग है। बात उल्टी है, कवियों को सच में जानना था कि कितनी लय बनती हैं, और गणित उसी ज़रूरत से निकला। अब खुद करो, 7 ताल की कितनी लय, पहले पिछली 2 गिनतियों से बताओ।

फिर 2 खंड लिखो, 1 से शुरू होने वाली, और 2 से शुरू होने वाली, और गिनो। और 7 सीढ़ियों वाली सीढ़ी, 1 या 2 सीढ़ी एक बार में, उसके भी उतने ही तरीके होने चाहिए, चलकर देखो। दोनों जवाब 21 आने चाहिए। याद रखो, छोटा 1 ताल, लंबा 2 ताल, और क्रम मायने रखता है। हर लय या तो छोटे से शुरू होती है या लंबे से, बीच का कोई रास्ता नहीं।

इसलिए हर गिनती पिछली 2 का जोड़, यह नतीजा है, खोज नहीं। हर तीसरी संख्या सम, बाकी विषम। सीढ़ी हो, ढोल हो, या कविता, गिनती वही।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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