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Chapter 6 · Number Play

magic squares बनाना, और वे कहाँ से आए

Grids and magic squares13 मिनट

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1 से 9 को 3 गुणा 3 की जाली में भरने के 362880 तरीके हैं, और उनमें जादुई बस 8। पर जादुई वर्ग ढूँढना नहीं पड़ता: जोड़ 15, बीच में 5, कोनों पर सम संख्याएँ, सब तर्क से मजबूरन तय होता है।

मुख्य idea

magic square ऐसी चीज़ नहीं जो 3,62,880 arrangements के बीच संयोग से हाथ लग जाए — वह एक-एक निष्कर्ष करके मजबूरन बनता है, और सारे निष्कर्ष एक ही जगह से आते हैं: कुछ खाने बाक़ियों से ज़्यादा lines पर बैठते हैं। centre चार lines पर है, corner तीन पर, किनारे का खाना दो पर, इसलिए जिन संख्याओं के पास हिलने-डुलने की सबसे कम गुंजाइश है, उन्हें वहीं जाना होगा जहाँ उनसे सबसे कम माँगें की जाती हैं। इसीलिए magic sum 15 ही होना चाहिए, इसीलिए 5 को बीच में बैठना होगा, और इसीलिए सबसे छोटी और सबसे बड़ी संख्याएँ corners से बाहर धकेल दी जाती हैं। हर entry को बीच वाली संख्या से उसके फ़ासले (offset) के रूप में फिर से लिखिए, और पूरा परिवार खुल जाता है: कोई भी नौ लगातार संख्याएँ चल जाती हैं, magic sum हमेशा बीच वाली संख्या का तीन गुना होता है, और Navagraha Yantra पर रंगे नौ वर्ग — एक ग़लत छपे खाने को ठीक कर देने पर — एक ही वर्ग निकलते हैं, जो नौ बार खिसकाया गया है।

आपको क्या आना चाहिए

  • magic square की परिभाषा वाली शर्त बताना, diagonals समेत, और magic sum का नाम लेना
  • दिखाना कि 1 से 9 तक से बने magic square का magic sum 15 होना ही चाहिए
  • chapter के छाँटने वाले तर्क से दिखाना कि उसका centre 5 होना ही चाहिए
  • समझाना कि सबसे छोटी और सबसे बड़ी संख्याएँ corner में क्यों नहीं बैठ सकतीं
  • एक पूरी line रख दिए जाने के बाद 3 × 3 magic square पूरा करना
  • अनुमान लगाना कि हर entry में एक तय मात्रा जोड़ने या हर entry को एक तय मात्रा से गुणा करने पर magic square का, और उसके magic sum का, क्या होता है
  • लगातार संख्याओं वाले 3 × 3 magic square को उसकी बीच वाली entry से offsets के रूप में लिखना, और उस रूप से माँग के मुताबिक़ वर्ग बनाना
  • Chautīsā Yantra और Lo Shu Square का नाम लेना, मोटे तौर पर बताना कि हर एक कब और कहाँ का है, और हर एक का magic sum पढ़ना

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक पंक्ति में परिभाषाहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ
magic squareऐसा वर्गाकार grid जिसमें हर row, हर column और दोनों diagonals एक ही total तक पहुँचते हैंजादुई वर्ग§6.3, p.134 पर मोटे अक्षरों में छपा
magic sumवह total जिस तक magic square की हर line पहुँचती हैजादुई योग§6.3, p.134 पर मोटे अक्षरों में छपा
diagonalएक corner से सामने वाले corner तक खानों की line; वर्गाकार grid में ऐसी दो होती हैंविकर्ण§6.3, p.134 पर छपा
corner positiongrid के corner पर बना खाना, जो एक row, एक column और एक diagonal पर पड़ता हैकोने का स्थान§6.3, p.136 पर छपा
middle positionकिनारे का ऐसा खाना जो corner नहीं हैमध्य स्थान§6.3, p.136 पर छपा
centreबीच का खाना, अकेला जो चारों lines पर पड़ता हैकेंद्र§6.3, p.135 पर छपा
Observationअभी-अभी स्थापित किए हर नतीजे के लिए chapter का अपना labelप्रेक्षण§6.3, pp.135–136 पर मोटे अक्षरों में छपा
generalised formऐसा magic square जिसकी entries किसी letter-number से offsets के रूप में लिखी होंव्यापक रूप§6.3, p.137 पर छपा
Chautīsā YantraKhajuraho में खुदा 4 × 4 magic square, जिसका नाम उसके magic sum पर हैचौंतीसा यंत्र§6.3, p.137 पर तिरछे अक्षरों में छपा
Lo Shu Squareसबसे पुराना दर्ज magic square, प्राचीन China सेलो शू वर्ग§6.3, p.138 पर छपा
Navagraha Yantraनौ खंडों वाला yantra, हर खंड पर उसका अपना 3 × 3 magic squareनवग्रह यंत्र§6.3, p.138 पर तिरछे अक्षरों में छपा
Kubera Yantraऐसा yantra जिस पर नौ लगातार संख्याओं का 3 × 3 magic square हैकुबेर यंत्र§6.3, p.139 पर तिरछे अक्षरों में छपा
line of the squarerow, column या diagonal के लिए व्याख्या का साझा शब्द—व्याख्या का शब्द; इस chapter में नहीं छपा

Hindi column में standard NCERT Hindi गणितीय शब्दावली दी गई है, और yantras के नाम वैसे लिखे गए हैं जैसे वे आम तौर पर लिखे जाते हैं। Ganita Prakash Part I का Hindi संस्करण इस brief के लिए इस्तेमाल हुए corpus में नहीं है, इसलिए इन्हें Hindi छपाई से मिलाया नहीं गया — Notes देखें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "magic का मतलब बस इतना है कि rows और columns मेल खाएँ।" diagonals परिभाषा का हिस्सा हैं, और वही centre को ख़ास बनाते हैं। मेल खाती rows और columns पर बेमेल diagonals वाला grid आम तौर पर मिलने वाला 'लगभग' उदाहरण है; एक ऐसा दिखाइए।
  • "magic square arrangements आज़माते-आज़माते मिल जाता है, जब तक कोई चल न जाए।" 3,62,880 arrangements के साथ यह तरीक़ा नहीं, बस एक उम्मीद है। Observation 1 से आगे का हर क़दम तर्क से खोज को छोटा करता जाता है, और आख़िर तक खोजने को कुछ बचता ही नहीं।
  • "नौ centre में नहीं हो सकता क्योंकि वह सबसे बड़ा है।" सबसे बड़ा होना कारण नहीं है। कारण यह है कि हर दूसरा खाना centre के साथ कोई line साझा करता है, इसलिए बीच में रखे 9 को 15 बनाना होगा 8 के साथ भी — और 8 और 9 पहले ही आगे निकल जाते हैं। साझा line वाली बात साफ़-साफ़ कहिए; उसके बिना यह छँटाई उदाहरण के किसी भाग्यशाली चुनाव जैसी लगती है।
  • "3 × 3 के बहुत सारे अलग-अलग magic squares हैं जो 1 से 9 इस्तेमाल करते हैं।" सच यह है कि एक ही है, जो आठ रूपों में दिखता है — चार घुमाव और उनकी दर्पण-छवियाँ। chapter गिनती का सवाल रखता है और उसे खुला छोड़ देता है।
  • "हर entry में 1 जोड़ने से magic sum में 1 जुड़ता है।" उसमें 3 जुड़ता है, क्योंकि हर line में तीन खाने हैं। इस page पर यही सबसे आम चूक है, और offsets वाला रूप इसे साफ़ कर देता है।
  • "magic squares के लिए लगातार संख्याएँ चाहिए।" नहीं चाहिए — chapter ठीक यही सवाल रखता है, और magic square की हर entry को किसी स्थिर संख्या से गुणा करना ही लगातार होना तोड़ देता है, जबकि वर्ग magic बना रहता है।
  • "Chautīsā Yantra किसी museum की अजीब चीज़ है।" यह एक चालू मंदिर में दसवीं सदी का समय वाला शिलालेख है, और उसी परिवार के 3 × 3 वर्ग आज भी रंगे और बेचे जाते हैं। Sections 11 और 12 इसीलिए हैं कि गणित को उस परंपरा से जुड़ा हुआ दिखाया जाए, सजावट के लिए नहीं।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 6.3 Q1, Figure it Out · 6.3 Q2, Figure it Out · 6.3 Q3, Figure it Out · 6.3 Q4, Figure it Out · 6.3 Q5, Figure it Out · 4 Q1, Figure it Out · 4 Q2, Figure it Out · 4 Q3, Figure it Out · 4 Q4, Figure it Out · 4 Q5, Figure it Out · 6.5 Q4

पूरा transcript1,896 शब्द

एक 3 गुणा 3 की जाली, 1 से 9 तक हर संख्या एक बार। जाली जादुई तब कहलाती है, जब हर पंक्ति, हर स्तंभ, और दोनों तिरछी diagonal, सबका जोड़ एक बराबर हो। ध्यान रहे, diagonals भी शर्त का हिस्सा हैं, और आगे चलकर यही बीच वाले खाने को खास बनाती हैं। आज देखेंगे कि जादुई वर्ग ढूँढा नहीं जाता, एक एक तर्क से मजबूरन बनता है। एक आम सोच, पंक्तियाँ और स्तंभ बराबर हो गए, तो जाली जादुई।

यह जाली देखो, 1, 5, 9, फिर 6, 7, 2, फिर 8, 3, 4, हर पंक्ति और हर स्तंभ का जोड़ 15। पर diagonals का जोड़ 12 और 24, तो यह जादुई नहीं। पंक्तियाँ और स्तंभ बराबर रखने वाली कुल 72 जालियाँ हैं, और उनमें से 64 diagonal पर फिसल जाती हैं। यहाँ 1 से 9 को जाली में भरने के कुल 362880 तरीके हैं। इनमें आज़मा आज़माकर जादुई वर्ग ढूँढना कोई तरीका नहीं, बस एक उम्मीद है।

आँख बंद करके भरो, तो 362880 में से बस 8 जादुई, यानी हर 45360 कोशिशों में लगभग 1। तो हम हर कदम पर तर्क से विकल्प घटाएँगे, जब तक ढूँढने को कुछ बचे ही नहीं। और 3 पंक्तियाँ मिलकर हर खाने को ठीक एक बार ढकती हैं, तो उनका कुल जोड़ 1 से 9 का जोड़, यानी 45। और तीनों बराबर हैं, तो हर एक 45 का तिहाई, यानी 15।

और सच में, सभी 8 जादुई जालियों का जोड़ 15 निकला। यानी जादुई जोड़ चुनने की आज़ादी ही नहीं, वह पहले से 15 पर बँधा है। बीच वाला खाना खास है, बाकी हर खाना उसके संग किसी न किसी line पर है। मान लो बीच में 9 है, तो 8 कहीं तो होगा, और वह 9 के संग एक line पर होगा। उस line को 15 बनाने के लिए तीसरी संख्या चाहिए 15 में से 9 और 8 घटाकर, यानी ऋण 2, जो जाली में है ही नहीं।

अब 9 इसलिए नहीं हटा कि वह सबसे बड़ा है, इसलिए हटा कि उसे 8 के संग एक line बाँटनी पड़ती है। अब बीच में 1 रखो, तो 2 कहीं होगा, उसी के संग एक line पर। तीसरी संख्या चाहिए 15 में से 1 और 2 घटाकर, यानी 12, जो 9 से बड़ी है। इसी तरह बाकी बीच वाले उम्मीदवारों को भी एक एक करके जाँच सकते हो। यह चाल हर उम्मीदवार पर चलती है, छोटा बीच हो तो उसे 1 के संग रखो, बड़ा हो तो 9 के संग।

बीच में 2, 3 या 4 हो, और line पर 1, तो तीसरी संख्या चाहिए 12, 11, 10, सब 9 से बड़ी। बीच में 6, 7 या 8 हो, और line पर 9, तो तीसरी संख्या चाहिए 0, ऋण 1, ऋण 2, कोई भी 1 से छोटी। देखो, 5 को छोड़कर सभी 8 उम्मीदवारों में, चाहिए गई तीसरी संख्या 1 से 9 के बीच 0 बार आई। यहाँ 5 के संग हर line पर बाकी 2 का जोड़ 10, और 1 और 9, 2 और 8, 3 और 7, 4 और 6, सब जोड़ियाँ मौजूद हैं।

सोचो, बीच के लिए कौन सी संख्या बचती है? बस 5 बचता है, और तब हर line पर 5 के दोनों तरफ़ ऐसी जोड़ी जिसका जोड़ 10। सभी 8 जादुई जालियों में बीच में 5, और बाकी 8 संख्याओं में से कोई भी बीच में एक बार भी नहीं। अब हर खाने के लिए गिनो कि उससे कितनी lines गुज़रती हैं, पंक्ति, स्तंभ, और diagonal। बीच वाले से 4 lines, एक पंक्ति, एक स्तंभ, और दोनों diagonals।

कोने वाले खाने से 3, एक पंक्ति, एक स्तंभ, और एक diagonal। और किनारे के बीच वाले खाने से बस 2, पंक्ति और स्तंभ। जितनी ज़्यादा lines, उतनी ज़्यादा माँगें, उस खाने की संख्या को उतनी lines पर 15 बनाना है। और 1 से 9 में से 3 अलग संख्याएँ जिनका जोड़ 15, ऐसी कुल 8 तिकड़ियाँ हैं, और जादुई वर्ग की 8 lines इन्हीं से बनती हैं। अब 5 इनमें से 4 तिकड़ियों में आता है, ठीक उतनी जितनी lines बीच से गुज़रती हैं।

देखो, 2, 4, 6, 8, हर एक 3 तिकड़ियों में, ठीक कोने की lines जितनी। और 1, 3, 7, 9, हर एक बस 2 तिकड़ियों में, किनारे की lines जितनी। यानी संख्याएँ खुद बता देती हैं कि उनकी जगह कहाँ है, जितनी तिकड़ियाँ, उतनी lines। क्या 1 किसी कोने में बैठ सकता है? यहाँ 1 के संग 15 बनाने वाली जोड़ियाँ बस 2 हैं, 5 और 9, और 6 और 8।

पर कोने से 3 lines गुज़रती हैं, और हर line को एक अलग जोड़ी चाहिए, तो 1 कोने में नहीं बैठ सकता। यही बात 9 पर, उसकी जोड़ियाँ भी बस 2, 1 और 5, और 2 और 4। सभी 8 जादुई जालियों में 1 और 9 किनारे के बीच वाले खानों पर ही मिले। जिन संख्याओं के पास कम विकल्प हैं, वे वहीं जाती हैं जहाँ सबसे कम माँगें हों।

और 3 और 7 भी बस 2 तिकड़ियों में हैं, तो वे भी कोनों में नहीं बैठ सकते। किनारे के बीच वाले 4 खाने मिलते हैं 1, 3, 7 और 9 को, ठीक 4 विषम संख्याएँ। और कोनों में बचते हैं 2, 4, 6 और 8, जिनके पास 3 तिकड़ियाँ हैं, कोने की 3 lines के लिए ठीक। सभी 8 जादुई जालियों में कोनों पर सम संख्याएँ और किनारों पर विषम, एक भी अपवाद नहीं।

अब 1, 5, 9 को बीच वाली पंक्ति में रखो। बाएँ स्तंभ में 1 है, तो ऊपर नीचे के 2 खाने मिलकर 14, और बची संख्याओं में यह बस 6 और 8 से बनता है। दाएँ स्तंभ में 9 है, तो बाकी 2 मिलकर 6, यानी 2 और 4। diagonal पर 5 के दोनों तरफ़ का जोड़ 10 चाहिए, तो 6 के सामने 4, और 8 के सामने 2। ऊपर बाएँ 6 या 8 रखने का चुनाव बचता है, और इस तरह ठीक 2 जालियाँ बनती हैं, एक दूसरे की दर्पण छवि।

अब 1, 5, 9 को बीच वाले स्तंभ में रखो, तो भी ठीक 2 जालियाँ बनती हैं, यह वही वर्ग है, बस घुमाया हुआ। एक यह है, 8, 3, 4, फिर 1, 5, 9, फिर 6, 7, 2। कोई सोचे, 1 से 9 के तो बहुत सारे जादुई वर्ग होंगे। पूरे 362880 तरीकों में जादुई बस 8 निकले। और ये 8 असल में एक ही वर्ग हैं, उसे 4 बार घुमाओ, और हर बार पलटो भी।

वर्ग को घुमाना या पलटना नया वर्ग बनाना नहीं, तो सच में जादुई वर्ग बस एक। अब हर खाने में 1 जोड़ दिया जाए, तो नया जादुई जोड़ क्या होगा? जोड़ 1 नहीं, 3 बढ़ता है, क्योंकि हर line में 3 खाने हैं, तो नया जोड़ 18। यह इस विषय की सबसे आम गलती है, हर संख्या में 1, पर line के जोड़ में 3। और हर संख्या दुगुनी करो, तो वर्ग फिर भी जादुई, जोड़ 30।

अब संख्याएँ 2, 4, 6 से 18 तक हैं, लगातार नहीं, फिर भी जादू बचा, तो लगातार संख्याएँ ज़रूरी नहीं। मान लो बीच वाली संख्या m है, और हर खाने को m से कितना ऊपर या नीचे, इस तरह लिखो। हमारे वर्ग में m बराबर 5, तो खाने बनते हैं, 1, ऋण 4, 3, फिर 2, 0, ऋण 2, फिर ऋण 3, 4, ऋण 1। इन अंतरों की हर line का जोड़ 0, पंक्ति हो, स्तंभ हो, या diagonal।

बीच के आर पार आमने सामने के खाने देखो, अंतर जोड़ियों में कटते हैं, 1 और ऋण 1, ऋण 4 और 4, 3 और ऋण 3, 2 और ऋण 2। क्योंकि बीच से गुज़रती हर line पर बीच का अंतर 0 है, तो बाकी 2 को मिलकर 0 बनाना ही है। तो असली वर्ग में हर line का जोड़ 3 बार m, और कोई अंतर नहीं बचता। यानी कोई भी 9 लगातार संख्याएँ चलेंगी, बीच वाली को m बनाओ, और अंतर वैसे ही रखो।

एक जादुई वर्ग चाहिए जिसके बीच में 25 हो, तो हर अंतर 25 में जोड़ो, संख्याएँ 21 से 29 तक, जोड़ 75। और अगर जोड़ 60 चाहिए, तो 3 बार m बराबर 60, यानी m बराबर 20, और संख्याएँ 16 से 24 तक। दोनों सवाल एक ही बात से हल हुए, बीच वाली संख्या तय करो, बाकी अंतर संभाल लेते हैं। क्या ऐसी जाली बन सकती है जिसकी सारी 8 lines का जोड़ 0 हो, ऋण संख्याएँ चलें, पर सब 0 न हों?

यह पहले ही बन चुका, m बराबर 0 रखो, और अंतर ही संख्याएँ बन जाते हैं। जैसे, 3, ऋण 4, 1, फिर ऋण 2, 0, 2, फिर ऋण 1, 4, ऋण 3, हर line 0। पर यही एक जवाब नहीं, 5, ऋण 7, 2, फिर ऋण 3, 0, 3, फिर ऋण 2, 7, ऋण 5 भी हर line पर 0 देता है, और यह पहले वाले को घुमाने से नहीं बनता।

क्योंकि सवाल ने बस जोड़ तय किया था, संख्याएँ नहीं। जादुई वर्ग आज भी पुराने ढंग के चित्रों पर रंगकर बनाए जाते हैं, कई वर्ग एक ही चित्र पर, हर एक का जोड़ अलग। उन्हें पढ़ो तो हर वर्ग हमारा वही वर्ग है, बस हर खाने में एक ही संख्या जोड़ी हुई। जोड़ बनते हैं 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36। और हर बार जोड़ ठीक बीच वाली संख्या का 3 गुना, जैसा अंतरों ने बताया था।

एक और रंगा हुआ वर्ग, 27, 20, 25, फिर 22, 24, 26, फिर 23, 28, 21, उसमें से हर खाने से 19 घटाओ, तो हमारा ही वर्ग पलटा हुआ मिलता है, जोड़ 72। एक पुरानी कथा में कछुए की पीठ पर बिंदुओं से बना एक 3 गुणा 3 वर्ग दिखता है। उसकी संख्याएँ, 2, 7, 6, फिर 9, 5, 1, फिर 4, 3, 8। और इसमें वह सब दिखता है जो हमने तर्क से निकाला, बीच में 5, कोनों पर 2, 6, 4, 8, और किनारों पर 7, 9, 1, 3।

यह भी उन्हीं 8 रूपों में से एक है, वही एक वर्ग, बस घुमा हुआ। पत्थर पर खुदा एक पुराना 4 गुणा 4 वर्ग, जिसमें 1 से 16 तक हर संख्या एक बार। पहली पंक्ति, 7, 12, 1, 14, जोड़ 34। हर पंक्ति, हर स्तंभ, और दोनों diagonals, सबका जोड़ 34। यहाँ तक कि टूटी diagonals भी, जो एक किनारे से निकलकर दूसरी तरफ़ से लौटती हैं, सारी 8 diagonals 34।

और 2 गुणा 2 के हर छोटे चौकोर का जोड़ भी 34, किनारों से लिपटकर बनने वाले चौकोर मिलाकर सारे 16। कुल 32 अलग समूह जाँचे गए, हर एक 34। अब खुद ढूँढो, इस वर्ग में 4 खानों के और कौन से समूह 34 बनाते हैं। आखिर में एक छोटा रास्ता: मान लो बीच की संख्या c है। बीच से 4 lines गुज़रती हैं, और वे बाकी 8 संख्याओं को 4 जोड़ियों में बाँटती हैं, हर जोड़ी का जोड़ 15 में से c घटाकर।

तो बाकी 8 का जोड़ एक तरफ़ 4 गुणा, 15 घटा c, और दूसरी तरफ़ 45 घटा c। देखो, 1 से 9 तक हर c आज़माओ, दोनों बराबर सिर्फ़ c बराबर 5 पर। अब खुद बनाओ, 11 से 19 तक की संख्याओं से एक जादुई वर्ग। भरने से पहले बताओ, बीच में कौन सी संख्या, और हर line का जोड़ क्या। फिर अंतर वाले ढाँचे से भरो, और हर line जोड़कर जाँचो।

याद रखो, 1 से 9 के जादुई वर्ग का जोड़ मजबूरन 15। बीच में 5, क्योंकि बीच हर खाने के संग एक line बाँटता है। यहाँ 1 और 9 कोनों से दूर, क्योंकि उनके पास 3 lines जितनी जोड़ियाँ नहीं। जादुई वर्ग बस एक, 8 रूपों में। और बीच को m मानो, तो हर line 3 बार m।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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