PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 7 Mathematics · Chapter 6, Number Play
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पंक्तियों के जोड़ 5, 21, 19 और स्तंभों के 9, 11, 26: यह जाली कभी नहीं भर सकती, और यह जानने के लिए एक भी कोशिश की ज़रूरत नहीं।
मुख्य idea
3 × 3 grid के चारों ओर घेरे में लिखी छह संख्याएँ छह अलग-अलग तथ्य नहीं हैं। तीन rows और तीन columns उन्हीं नौ संख्याओं को काटने के दो अलग तरीक़े हैं, इसलिए grid कैसे भी भरा जाए, हर तिकड़ी का जोड़ 45 ही होना है — यह total पहेली बनाने वाले के बस में नहीं है। और कोई भी अकेली row या column 6 से छोटी या 24 से बड़ी नहीं हो सकती, क्योंकि उपलब्ध संख्याओं में सबसे छोटी तीन और सबसे बड़ी तीन का जोड़ यही है। एक मात्रा जो हिल नहीं सकती, और एक range जिससे बाहर निकला नहीं जा सकता — इतना काफ़ी है कि "मुझे भरने का तरीक़ा नहीं मिला" बदलकर "कोई तरीक़ा है ही नहीं" बन जाए, एक भी arrangement आज़माए बिना।
आपको क्या आना चाहिए
- ऐसा grid पढ़ना जिसकी row totals और column totals उसके किनारे पर छपी हों, और बताना कि घेरे वाली हर संख्या किन खानों को नियंत्रित करती है
- आंशिक रूप से दिए गए 3 × 3 grid को 1 से 9 तक की संख्याओं से उसकी row और column totals की मदद से भरना, और शुरुआत के लिए सबसे कसी हुई शर्त चुनना
- बताना कि किसी row या column का total सबसे छोटा और सबसे बड़ा कितना हो सकता है, और दोनों को सही ठहराना
- दिखाना कि तीनों row totals का जोड़ 45 होना ही चाहिए, और तीनों column totals का भी, arrangement कुछ भी हो
- इन दोनों तथ्यों से तय करना कि totals का कोई सुझाया गया set बन नहीं सकता, और बताना कि वह कौन-सा तथ्य तोड़ता है
- "मुझे हल नहीं मिला" और "कोई हल है ही नहीं" में फ़र्क़ करना, और बताना कि दूसरी बात कहने के लिए क्या चाहिए
- पहचानना कि कब totals का कोई set एक से ज़्यादा तरह से भरा जा सकता है
जानने लायक़ शब्द
| शब्द | एक पंक्ति में परिभाषा | हिंदी / क्षेत्रीय समकक्ष | पहली बार कहाँ |
|---|---|---|---|
| grid | खानों का एक वर्गाकार array, यहाँ 3 by 3, जिसे संख्याओं से भरना है | जालक | पूरे §6.3 में छपा, pp.133–134 |
| row | तीन खानों की एक आड़ी line | पंक्ति | §6.3, p.133 पर छपा |
| column | तीन खानों की एक खड़ी line | स्तंभ | §6.3, p.133 पर छपा |
| sum | किसी row या column की तीनों entries का total | योग | §6.3, p.133 पर छपा |
| without repeating | यह शर्त कि 1 से 9 तक हर संख्या ठीक एक बार इस्तेमाल हो | बिना दोहराए | §6.3, p.133 पर छपा |
| impossible | वह फ़ैसला जब कोई भी भराई बताए गए totals को पूरा न कर सके | असंभव | §6.3, p.134 पर छपा |
| running total | उस 45 के लिए व्याख्या का वाक्यांश जिस तक तीन row totals का हर set पहुँचना ही चाहिए | — | व्याख्या का वाक्यांश; इस chapter में नहीं छपा |
| circled number | grid के बाहर घेरे में छपा row total या column total | घेरे में लिखी संख्या | §6.3, p.133 पर छपा |
Hindi column में standard NCERT Hindi गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash Part I का Hindi संस्करण इस brief के लिए इस्तेमाल हुए corpus में नहीं है, इसलिए इन्हें Hindi छपाई से मिलाया नहीं गया — Notes देखें।
लोग कहाँ चूकते हैं
- "पहेली बनाने वाला कोई भी छह totals चुन सकता है।" वह उनमें से पाँच भी अपनी मर्ज़ी से नहीं चुन सकता। दोनों तिकड़ियाँ 45 से बँधी हैं, इसलिए दो rows और दो columns के totals चुनते ही तीसरी row और तीसरा column अपने आप तय हो जाते हैं — छह में से ज़्यादा से ज़्यादा चार ही आज़ाद हैं। जिस पहेली की छह संख्याएँ इसका ध्यान नहीं रखतीं, वह कभी हल हो ही नहीं सकती थी।
- "मैंने बहुत देर कोशिश की और नहीं कर पाया, इसलिए यह नामुमकिन है।" यह हल करने वाले के बारे में ख़बर है, पहेली के बारे में नहीं। chapter का तर्क ही इसे ऊपर उठाता है: पहुँच से बाहर वाला total सबके लिए पहुँच से बाहर है, उनके लिए भी जिन्होंने अभी कोशिश नहीं की।
- "26 का total ठीक है — संख्याएँ सिर्फ़ 9 तक जाती हैं, पर तीन मिलकर काफ़ी बना देती हैं।" उपलब्ध सबसे बड़ी तीन संख्याएँ 9, 8 और 7 हैं और उनका जोड़ 24 है। grid में कुछ भी इससे आगे नहीं जा सकता, इसलिए 26 grid बनने से पहले ही पहुँच से बाहर है।
- "हर row total एक अलग शर्त है, इसलिए ज़्यादा totals का मतलब ज़्यादा सुराग़।" ज़्यादा totals का मतलब ज़्यादा सुराग़ सिर्फ़ तब तक है जब तक 45 तक न पहुँचा जाए; उसके बाद totals वही जानकारी दोहराने लगते हैं। Section 9 में यही बात दिखाई देती है।
- "totals का जो set दोनों जाँचों में पास हो जाए, वह हल होना ही चाहिए।" पास होने का मतलब है कि इस section के दोनों तर्कों के पास कहने को और कुछ नहीं; यह कोई गारंटी नहीं। अभ्यास grid B पास होता है और उसे भरने के कई तरीक़े हैं; दूसरे totals पास होकर भी बिना किसी भराई के रह सकते हैं।
- "अगर totals ठीक बैठते हैं, तो भराई एक ही होगी।" अभ्यास grid B को भरने के एक से ज़्यादा तरीक़े हैं। ठीक से रखी गई पहेली और ठीक एक जवाब वाली पहेली अलग-अलग चीज़ें हैं, और इस page पर इस फ़र्क़ का एक उदाहरण है।
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पूरा transcript1,529 शब्द
बोर्ड पर 3 गुणा 3 की एक जाली है, उसमें 1 से 9 तक की हर संख्या एक बार, ऊपर से 4, 7, 5, बीच में 6, 1, 2, नीचे 3, 9, 8। पंक्तियों के दाईं ओर गोलों में 16, 9, 20 लिखे हैं, और स्तंभों के नीचे 13, 17, 15। कोई नियम नहीं बताया गया, क्या तुम बता सकते हो कि ये गोले वाली संख्याएँ क्या हैं? ऊपर की पंक्ति जोड़ो, 4, 7, 5, जोड़ 16, ठीक गोले वाली संख्या।
बीच वाली का जोड़ 9, और नीचे वाली का 20। और स्तंभों के जोड़ 13, 17, 15, जो नीचे के गोलों में हैं। पर सिर्फ़ ये 6 जोड़ दिए जाएँ, कोई खाना नहीं, तो इन्हें मानने वाली 10 अलग भराइयाँ हैं, यह जाली उनमें से एक है। इसीलिए पहेलियों में कुछ खाने पहले से भरे जाते हैं, ताकि जवाब कम से कम हो जाएँ। अब पहेली उल्टी चलती है, सिर्फ़ गोले और कुछ खाने दिए जाएँगे, और बाकी जाली भरनी होगी।
पहली अभ्यास जाली, ऊपर बाएँ 9, नीचे दाएँ 5, पंक्तियों के जोड़ 13, 14, 18, और स्तंभों के 24, 9, 12। शुरुआत वहाँ से करो जहाँ शर्त सबसे ज़्यादा कसती है, जहाँ विकल्प सबसे कम हों। ऊपर की पंक्ति का जोड़ 13 है, और उसमें पहले से 9 बैठा है, तो बाकी 2 खानों को मिलकर 4 बनाना है। यहाँ 4 बनाने के तरीके, 1 और 3, या 2 और 2, पर एक संख्या दोबारा नहीं आ सकती, तो बस 1 और 3।
एक ही कदम में 2 खाने बहुत छोटी सूची में सिमट गए, यही अच्छी शुरुआत की पहचान है। पहले स्तंभ का जोड़ 24, उसमें 9 है, तो बाकी 2 खाने मिलकर 15, और 9 पहले ही लग चुका, तो बस 7 और 8। नीचे की पंक्ति का जोड़ 18, उसमें दाईं ओर 5, अगर बाईं ओर 8 हो तो बीच में 5 चाहिए, जो पहले ही लग चुका, तो बाईं ओर 7 और बीच में 6।
बीच के स्तंभ का जोड़ 9, नीचे 6, तो ऊपर के 2 खाने मिलकर 3, यानी 1 और 2, और ऊपर वाला 1 या 3 में से था, तो ऊपर 1, बीच में 2। अब ऊपर दाएँ 3 बचता है, बीच में बाएँ 8, और बीच की पंक्ति 14 पूरी करने के लिए दाएँ 4। जाली बनी, 9, 1, 3, फिर 8, 2, 4, फिर 7, 6, 5, और सारे गोले मेल खाते हैं।
और सारी संभव जालियाँ जाँचने पर, यही 1 अकेली भराई निकली। दूसरी अभ्यास जाली, बीच की पंक्ति में बाएँ 4, नीचे दाएँ 3, पंक्तियों के जोड़ 24, 15, 6, और स्तंभों के 12, 16, 17। नीचे की पंक्ति का जोड़ 6, और 3 अलग संख्याओं का सबसे छोटा जोड़ 1, 2, 3 ही है, तो उस पंक्ति में यही 3। ऊपर की पंक्ति का जोड़ 24, और 3 अलग संख्याओं का सबसे बड़ा जोड़ 7, 8, 9 है, तो वहाँ यही 3।
तो बीच की पंक्ति में 4, 5, 6 बचते हैं, और उनका जोड़ सच में 15। पहले स्तंभ का जोड़ 12, बीच में 4, तो ऊपर और नीचे मिलकर 8, ऊपर 7 से 9 में से, नीचे 1 से 3 में से, तो ऊपर 7, नीचे 1। अब ऊपर की पंक्ति में 8 और 9 बचे, और बीच में 5 और 6, और यहाँ सच में चुनाव बचता है। अगर ऊपर बीच में 8 हो, तो बीच वाले स्तंभ के 16 के लिए उसके नीचे 6 चाहिए, और फिर ऊपर दाएँ 9, बीच में दाएँ 5।
और अगर ऊपर बीच में 9 हो, तो नीचे 5, ऊपर दाएँ 8, बीच में दाएँ 6, और आखिरी स्तंभ 17 फिर भी ठीक। सारी जालियाँ जाँचने पर इस पहेली की 2 भराइयाँ निकलीं, दोनों में नीचे 1, 2, 3 और ऊपर 7, 8, 9। इसलिए इनमें से किसी एक को वह जवाब कहना गलत है, दोनों बराबर सही हैं। पहेली का हल होना एक बात है, और ठीक एक हल होना दूसरी, पहली जाली में एक हल था, इसमें 2।
अब तीसरी जाली, बस एक खाना दिया है, बीच की पंक्ति में दाईं ओर 6। पंक्तियों के जोड़ 5, 21, 19, और स्तंभों के 9, 11, 26। कोशिश करो, क्या यह जाली भर सकती है? अगर बहुत कोशिश के बाद भी न भरे, तो क्या हम कह सकते हैं कि यह असंभव है? एक पंक्ति में 3 अलग संख्याएँ हैं, सबसे छोटा जोड़ तब जब वे सबसे छोटी हों, 1, 2 और 3, यानी 6।
और सबसे बड़ा जोड़ तब, जब 9, 8 और 7 हों, यानी 24। और यही बात हर स्तंभ पर भी लागू है, क्योंकि स्तंभ में भी 3 अलग अलग संख्याएँ ही बैठती हैं। तो कोई भी पंक्ति या स्तंभ 6 से कम या 24 से ज़्यादा हो ही नहीं सकता। जाली भरने के कुल 362880 तरीके हैं, और उनके सारे 2177280 जोड़ जाँचे गए, हर एक 6 और 24 के बीच, और दोनों सिरे सच में आते हैं।
अब तीसरी जाली देखो, पहली पंक्ति का जोड़ 5, जो 6 से कम है। और तीसरे स्तंभ का जोड़ 26, जो 24 से ज़्यादा है। दोनों में से एक भी काफ़ी था, यह जाली कभी नहीं भर सकती, एक भी कोशिश किए बिना। और सभी 362880 तरीके सच में जाँचे गए, इस जाली की भराइयाँ, ठीक 0। कोई सोचे, 9 तक की संख्याएँ हैं, 3 मिलकर 26 तो बना ही लेंगी, पर सबसे बड़ी 3 भी बस 24 बनाते हैं।
मैंने बहुत कोशिश की और नहीं बना, यह बात पहेली के बारे में नहीं, कोशिश करने वाले के बारे में है। सीमा वाला तर्क इसे पक्का बनाता है, जो जोड़ पहुँच से बाहर है, वह सबके लिए बाहर है। उनके लिए भी, जिन्होंने अभी कोशिश शुरू भी नहीं की। एक विद्यार्थी ने हल की हुई जालियों में कुछ देखा, हर बार सारे 6 गोलों का जोड़ 90। दूसरे ने और बारीकी से देखा, सिर्फ़ 3 पंक्तियों के गोले जोड़ो तो 45, और सिर्फ़ 3 स्तंभों के भी 45।
पहली जाली पर जाँचो, 16, 9, 20 का जोड़ 45, और 13, 17, 15 का भी 45। पर ऐसा हमेशा क्यों होता है? और 3 पंक्तियाँ मिलकर पूरी जाली को ढक लेती हैं, हर खाना ठीक एक पंक्ति में। तो पंक्तियों के जोड़ों का जोड़ बराबर सारे 9 खानों का जोड़। और खानों में 1 से 9 तक की संख्याएँ हैं, 1 और 2 और 3, ऐसे 9 तक, जोड़ 45।
जाली कैसे भी भरी जाए, पंक्तियों का कुल जोड़ 45 ही रहेगा, पहेली बनाने वाला इसे बदल नहीं सकता। स्तंभ भी उन्हीं 9 खानों को ढकते हैं, बस दूसरी दिशा में काटकर। तो स्तंभों के जोड़ों का जोड़ भी 45, और सारे 6 गोले मिलकर 90। सभी 362880 भराइयों में यह जाँचा गया, पंक्तियाँ हर बार 45, स्तंभ हर बार 45। यानी 6 गोले 6 अलग बातें नहीं, वे एक ही 9 संख्याओं को 2 तरह से काटने के नतीजे हैं।
एक गलतफ़हमी, पहेली बनाने वाला कोई भी 6 जोड़ चुन सकता है। नहीं, 2 स्तंभों के जोड़ तय हों, तो तीसरा अपने आप 45 में से उनका जोड़ घटाकर तय है। सभी 362880 भराइयों में आखिरी स्तंभ ठीक इसी तरह निकला। तीसरी जाली के स्तंभ फिर देखो, 9, 11 और 26, जोड़ 46, 45 नहीं। यानी वह जाली 2 बार हारती है, सीमा से भी, और 45 वाली जाँच से भी, जबकि उसकी पंक्तियाँ 45 पर ठीक थीं।
एक और सोच, जितने ज़्यादा जोड़ दिए, उतने ज़्यादा सुराग। पर हर दिशा का आखिरी जोड़ कोई नया सुराग नहीं, वह बाकी 2 से पहले ही तय था। तो 6 गोलों में असली नई जानकारी बस 4 जोड़ों की है, हर दिशा में 2। अगर कोई जाली दोनों जाँचें पार कर ले, हर जोड़ 6 से 24 के बीच, और दोनों दिशाओं में 45, तो क्या वह ज़रूर भरेगी? पंक्तियाँ 6, 15, 24, और स्तंभ भी 6, 15, 24, दोनों जाँचें ठीक।
पर ऊपर की पंक्ति 6 है, तो उसमें 1, 2, 3, और आखिरी स्तंभ 24 है, तो उसमें 7, 8, 9। ऊपर दाएँ वाला खाना दोनों में है, उसे 3 से छोटा या बराबर भी होना है, और 7 से बड़ा या बराबर भी, जो असंभव है। जाँचने पर भराइयाँ ठीक 0। तो ये जाँचें बस ना कह सकती हैं, इनका पास होना हाँ नहीं है, वहाँ ये चुप हैं।
आज 2 औज़ार मिले, एक मात्रा जो हिल नहीं सकती, 45, और एक सीमा जिससे बचा नहीं जा सकता, 6 से 24। इनसे, मुझे नहीं मिला, बदल जाता है इसमें, कि है ही नहीं, और वह भी बिना एक भी भराई आज़माए। लाखों भराइयाँ जाँचने की जगह, 2 जोड़ और 2 तुलनाएँ काफ़ी। अब खुद पहेली बनाओ, 6 जोड़ सोचो, और किसी को थमाने से पहले खुद जाँचो। क्या हर जोड़ 6 से 24 के बीच है, और क्या हर दिशा में जोड़ 45 है?
अगर दोनों ठीक हों, तो भरकर देखो, और गिनो कि कितनी भराइयाँ बनती हैं, एक, कई, या कोई नहीं। याद रखो, गोले पंक्तियों और स्तंभों के जोड़ हैं। हर दिशा के 3 जोड़ मिलकर हमेशा 45, क्योंकि 1 से 9 का जोड़ 45। कोई एक जोड़ 6 से कम या 24 से ज़्यादा नहीं हो सकता। इनमें से कोई शर्त टूटे, तो जाली असंभव, बिना कोशिश के। और शर्तें पूरी हों, तो भी हल की गारंटी नहीं, और हल हो तो भी एक ही हो, ज़रूरी नहीं।
यह कहाँ बैठता है
यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.
किस पर टिका है
- Odd and even as "can this be arranged in pairs"कक्षा 7 · Ch 6, Number Play
- Answering "could this possibly fit?" by estimating in stagesकक्षा 7 · Ch 1, Large Numbers Around Us
आगे फिर कहाँ आता है
- Constructing magic squares, and where they came fromकक्षा 7 · Ch 6, Number Play
इसके ठीक पहले और ठीक बाद
- The parity of a sum or product is fixed before you compute itकक्षा 7 · Ch 6, Number Play