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Chapter 3 · Number Play

Supercells: किसी number का दर्जा उसके पड़ोसियों से तय होता है

What a number is reporting13 मिनट

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एक कतार में 34 supercell है, पर 75 नहीं — जबकि 75, 34 के दोगुने से भी बड़ा है। supercell होना बड़ा होना नहीं, अपने पड़ोसियों से बड़ा होना है।

मुख्य idea

supercell होना कोई आकार नहीं है — 34 supercell है और 694 नहीं। यह किसी नज़ारे में एक जगह है, जो पूरी तरह इस तुलना से तय होती है कि तुम्हारे बगल में क्या खड़ा है। आकार से रिश्ते की ओर यह बदलाव कुछ ऐसा दिलाता है जो numbers की कोई table कभी नहीं दे सकती: दो supercells कभी पड़ोसी नहीं हो सकते, क्योंकि हर एक को दूसरे को हराना पड़ेगा। उस एक असंभवता से supercells के बारे में बाक़ी सब कुछ बिना किसी हिसाब के निकल आता है — एक पंक्ति ज़्यादा से ज़्यादा कितने रख सकती है, उतने रखने वाली पंक्ति कैसे बनाई जाए, table का सबसे बड़ा number हमेशा supercell क्यों होता है, और सबसे छोटा कभी क्यों नहीं हो सकता।

आपको क्या आना चाहिए

  • वह नियम बताना जो किसी खाने को supercell बनाता है, किनारे पर क्या होता है उसके साथ
  • दी गई पंक्ति या grid में supercells पर निशान लगाना, और हर निशान को सही ठहराना
  • समझाना कि दो supercells कभी अगल-बगल क्यों नहीं हो सकते
  • n खानों की पंक्ति में supercells की सबसे बड़ी संभव संख्या निकालना
  • ऐसी पंक्ति बनाना जो वह सबसे बड़ी संख्या हासिल करे
  • तर्क देना कि जो number सबसे बड़ा है, वह अपना खाना ज़रूर जीतेगा
  • तर्क देना कि जब कोई number दोहराया न जाए, तो सबसे छोटा कभी नहीं जीत सकता
  • नियम को दो dimensions में लगाना, जहाँ एक खाने के चार तक पड़ोसी होते हैं
  • आधे ख़ाली grid को ऐसे भरना कि दिए गए खाने ही ठीक-ठीक supercells बनें
  • किसी number के दो अंक आपस में बदलकर उसे बदलना, और पूरे pattern पर असर का अंदाज़ा लगाना

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक line में मतलबहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
supercellऐसा खाना जिसका number उसे छूने वाले हर खाने के number से बड़ा होसुपरसेल§3.2, p.57 — वहीं छपा, section के शीर्षक में मोटे अक्षरों में और पहली table के नीचे परिभाषित
adjacent cellउसी पंक्ति में किसी दूसरे खाने के ठीक बगल वाला खानासंलग्न खाना§3.2, p.57 — वहीं छपा, उस वाक्य में जो नियम देता है
neighbouring cellgrid वाले रूप में, ठीक बाएँ, दाएँ, ऊपर या नीचे वाला खानापड़ोसी खाना§3.2, p.58 — वहीं छपा, जहाँ नियम ज़्यादा पंक्तियों के लिए दोबारा कहा गया है
tableवह पंक्ति या grid जिसमें numbers लिखे जाते हैंसारणी§3.2, p.57 — वहीं छपा; p.58 के दोनों grids पर Table 1 और Table 2 लिखा है
digitउन दस चिह्नों में से एक जिनसे कोई number लिखा जाता हैअंक§3.2, p.58 — वहीं छपा, Table 2 के निर्देश में
commagrid भर जाने पर हज़ार वाले अंक के बाद लिखा जाने वाला निशानअल्पविराम§3.2, p.59 — वहीं छपा
Try Thisकिताब का margin badge, किसी ज़्यादा कठिन खोजबीन वाले prompt के लिए—§3.2, p.58 — वहीं margin badge की तरह छपा
Figure it Outकिताब का अपना label, उसके अभ्यास वाले blocks के लिए—§3.2, p.57 — वहीं block के शीर्षक की तरह छपा
alternating fillव्याख्या का दिया नाम: बड़ा, छोटा, बड़ा, छोटा — वह व्यवस्था जो सबसे ज़्यादा supercells समा लेती है—व्याख्या का अपना शब्द, किताब में कहीं नहीं छपा
beaten cellव्याख्या का दिया नाम, ऐसे खाने के लिए जो कम से कम एक पड़ोसी से हारता है—व्याख्या का अपना शब्द, किताब में कहीं नहीं छपा

हिंदी column में standard NCERT हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है; यह Ganita Prakash के हिंदी संस्करण से उतारी नहीं गई है। Notes देखें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "supercell का मतलब है बड़ा।" इसका मतलब है अपने आस-पास सबसे बड़ा। पहली छपी पंक्ति में 34 supercell है और उसके नीचे वाली पंक्ति में 694 नहीं है, जबकि 694 आकार में लगभग बीस गुना है। इन दोनों को अगल-बगल दिखाओ।
  • "किनारे वाला खाना supercell नहीं हो सकता, वह तो आधा ही घिरा है।" उलटा है — किनारे वाले खाने का एक ही प्रतिद्वंद्वी होता है, दो नहीं, इसलिए supercell बनने की वह सबसे आसान जगह है। 34 और 198 दोनों दाएँ किनारे पर जीतते हैं।
  • "पंक्ति को ऐसे भरा जा सकता है कि हर खाना supercell हो।" दो पड़ोसी खाने भी इस तरह नहीं भरे जा सकते, इसलिए ज़्यादा से ज़्यादा एक छोड़कर एक खाना। पूरा topic इसी सबूत पर टिका है, और इसे सिर्फ़ कह देना नहीं, तर्क से समझाना चाहिए।
  • "पंक्ति को ऐसे भरा जा सकता है कि कोई भी खाना supercell न हो।" अलग-अलग numbers के साथ नहीं: जो number सबसे बड़ा है वह अपने छूने वाले हर number को हराता है, इसलिए उसे कहीं भी रखो, वह अपना खाना जीत लेता है।
  • "grid में कोने सबसे कठिन होते हैं।" grid में कोने के दो पड़ोसी होते हैं, किनारे वाले खाने के तीन और अंदर वाले के चार — इसलिए कोने सबसे आसान हैं। students शतरंज की बिसात से ग़लत अंदाज़ा उठा लाते हैं।
  • "textbook में रंगा हुआ हमेशा पूरा जवाब होता है।" Table 1 में ज़रूरी नहीं कि ऐसा हो — Notes देखें। नियम सिखाओ और फ़ैसला नियम को करने दो।
  • "दो अंक बदलने से सिर्फ़ वही खाना बदलता है।" इससे वह हर तुलना बदलती है जिसमें वह खाना शामिल है — चार तक — और इसीलिए p.72 पर एक अदला-बदली supercells की गिनती एक से चार कर देती है।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 3.2 Q1, Figure it Out · 3.2 Q2, Figure it Out · 3.2 Q3, Figure it Out · 3.2 Q4, Figure it Out · 3.2 Q5, Figure it Out · 3.2 Q6, Figure it Out · 3.2 Q7, Figure it Out · 3.2 Q8, Figure it Out · 3.2 Q9, Figure it Out · 3.2 Q10, End-of-Chapter Figure it Out Q1

पूरा transcript1,698 शब्द

आज एक पहेली से शुरू करते हैं। यहाँ 8 खानों की एक कतार है, और हर खाने में एक संख्या — 43, 79, 75, 63, 10, 29, 28, 34। इनमें से 3 खाने रंगे हुए हैं — 79, 29 और 34। इन रंगे हुए खानों का एक नाम है — supercell। पर कोई नियम नहीं बताया गया। ज़रा रुककर सोचो — किसी खाने को supercell क्या बनाता है? पहला अंदाज़ा सबका यही होता है — शायद supercell मतलब बड़ी संख्या।

पर 34 को देखो। वो रंगा हुआ है, और इस कतार में उससे छोटी सिर्फ़ 10, 28 और 29 हैं। और 75 रंगा हुआ नहीं है, जबकि 75 तो 34 के दोगुने से भी बड़ा है। यानी supercell होना बड़ा होना नहीं है। फ़ैसला कहीं और से आ रहा है। नियम यह है। कोई खाना supercell है, अगर उसकी संख्या उसके ठीक बगल वाले हर खाने से बड़ी है। जैसे 79।

उसके बाएँ 43 है और दाएँ 75। वो दोनों से बड़ा है, इसलिए रंगा हुआ है। अब 75 को देखो। उसके बाएँ 79 है, जो उससे बड़ा है। बस इतना काफ़ी है — 75 बाहर। और बड़ा मतलब सच में बड़ा। अगर बगल में बराबर संख्या हो, तो दोनों में से कोई नहीं जीतता। ये वही बात है जो हमने बच्चों की कतार में देखी थी। यानी supercell एक आकार नहीं, पड़ोसियों के बीच एक जगह है।

अब कतार के दोनों सिरों वाले खानों का क्या? बीच वाले खाने के 2 पड़ोसी हैं। पर सिरे वाले खाने का सिर्फ़ 1 पड़ोसी है। बहुत लोग सोचते हैं कि इससे सिरा मुश्किल हो जाता है। असल में उल्टा है — हराने के लिए एक ही प्रतिद्वंद्वी है। जैसे दाएँ सिरे पर 34। उसका अकेला पड़ोसी 28 है, और 34 उससे बड़ा है। बस, हो गया। इसीलिए 34 जैसी छोटी संख्या अंदर है, और 75 बाहर।

कम प्रतिद्वंद्वी, आसान जीत। चलो हर खाना जाँचते हैं। बाएँ सिरे पर 43 — उसका पड़ोसी 79 बड़ा है, तो बाहर। फिर 79, जो 43 और 75 दोनों से बड़ा है — अंदर। फिर 75, जो 79 से हारता है — बाहर। फिर 63, जो 75 से हारता है — बाहर। और 10, जो दोनों तरफ़ हारता है — बाहर। अब 29, जो 10 और 28 दोनों से बड़ा है — अंदर।

फिर 28, जो 29 से हारता है — बाहर। और सिरे पर 34, जो 28 को हराता है — अंदर। कुल 3 supercell — 79, 29 और 34। ठीक वही 3 खाने जो रंगे हुए थे। अब एक दूसरी कतार — 200, 577, 626, 345, 790, 694, 109, 198। यहाँ 626, 577 और 345 दोनों से बड़ा है — इसलिए supercell। पहला जाल — बाएँ सिरे पर 200। उसका एक ही प्रतिद्वंद्वी है, 577, पर वो उससे हार जाता है।

सिरा आसान है, पर पक्का नहीं। दूसरा जाल — 694। बड़ी संख्या है, पर उसके बाएँ 790 है, जो उसे हरा देता है — इसलिए बाहर। और दाएँ सिरे पर 198, जो 109 को हराता है — अंदर। तो supercell हैं 626, 790 और 198 — वही 3 जो रंगे हुए हैं। अब 198 और 694 को साथ रखो। छोटी संख्या अपना खाना जीतती है, बड़ी वाली नहीं। अब 9 खानों की एक कतार, जिसे तुम खुद जाँच सकते हो — 6828, 670, 9435, 3780, 3708, 7308, 8000, 5583, 52।

बाएँ सिरे पर 6828, जो 670 से बड़ा है — अंदर। फिर 9435, जो 670 और 3780 दोनों से बड़ा है — अंदर। उसके बाद 3780, जो 9435 से हारता है — बाहर। और 3708, जो दोनों तरफ़ हारता है, 3780 से भी और 7308 से भी — बाहर। आगे 7308, जो 8000 से हारता है — बाहर। और 8000, जो 7308 और 5583 दोनों को हराता है — अंदर।

आखिर में 52, जो 5583 से हारता है। कुल 3 supercell — 6828, 9435 और 8000। अब असली गणित। क्या 2 supercell एक-दूसरे के ठीक बगल में हो सकते हैं? मान लो हो सकते हैं। उन्हें A और B कहो, जो साथ-साथ खड़े हैं। अब A एक supercell है, तो वो अपने बगल वाले हर खाने से बड़ा है — B से भी। यानी A, B से बड़ा। पर B भी supercell है, तो वो भी अपने बगल वाले हर खाने से बड़ा है — A से भी।

यानी B, A से बड़ा। दोनों बातें एक साथ सच नहीं हो सकतीं। कोई संख्या उस संख्या को नहीं हरा सकती जो उसे हराती है। इसलिए 2 supercell कभी पड़ोसी नहीं होते। और ये हमने जाँचा भी — 2 से 9 तक अलग-अलग संख्याओं के हर क्रम में, 2 supercell साथ-साथ एक बार भी नहीं आए। और ध्यान दो — इस सबूत में हमने एक भी असली संख्या इस्तेमाल नहीं की।

अब सोचो — 9 खानों की कतार में ज़्यादा से ज़्यादा कितने supercell हो सकते हैं? कोई 2 छू नहीं सकते। तो अगर पहला खाना supercell है, तो दूसरा नहीं हो सकता। सबसे अच्छा यही है कि हर दूसरा खाना लो — 1, 3, 5, 7 और 9। यानी 5। छठा कहाँ जाएगा? वो इन 5 में से किसी को ज़रूर छुएगा। इसलिए 5 से ज़्यादा कभी नहीं। और किसी भी लंबाई के लिए यही नियम है — खानों का आधा, ऊपर की ओर पूरा किया हुआ।

हमने 2 से 9 खानों तक हर कतार पर ये जाँचा। हमारी पहली कतार में 8 खाने थे, तो वहाँ ज़्यादा से ज़्यादा 4 हो सकते थे — और उसमें 3 थे। पर छत बताना आधा जवाब है। क्या सच में 5 बनाए जा सकते हैं? हाँ, और तरीका आसान है। पहले खाने से शुरू करके ऊँचा, नीचा, ऊँचा, नीचा — जैसे 9000, 100, 9001, 101, और ऐसे ही आगे।

अब हर ऊँचे खाने के बगल में नीचे वाले हैं, तो हर ऊँचा खाना जीतता है — खाने 1, 3, 5, 7 और 9। यानी 5 सबसे ज़्यादा भी है, और बनाया भी जा सकता है। किसी सवाल को पूरा करना यही होता है। अब इन्हीं 9 संख्याओं को छोटे से बड़े क्रम में रखो। हर खाना अपने दाएँ वाले से हारता है, सिवाय आखिरी के — सिर्फ़ 1 supercell।

वही संख्याएँ, कभी 5 और कभी 1। सारा काम क्रम कर रहा है। अब 2 और बातें। सबसे बड़ी संख्या कहीं भी रखो, उसके बगल वाले उससे छोटे ही होंगे — तो वो अपना खाना हमेशा जीतती है। इसलिए अलग-अलग संख्याओं वाली हर कतार में कम से कम 1 supercell ज़रूर होता है। और सबसे छोटी संख्या? उसके बगल में जो भी हो, वो उससे बड़ा है — तो वो हमेशा हारती है।

हमने 9 संख्याओं के सारे 362880 क्रम जाँचे — सबसे बड़ी हर बार जीती, सबसे छोटी एक बार भी नहीं। पहली कतार में भी यही है — सबसे बड़ी 79 रंगी हुई है, और सबसे छोटी 10 नहीं। अब कतार की जगह एक जाली। नियम वही है, बस पड़ोसी बदल जाते हैं — बाएँ, दाएँ, ऊपर और नीचे। और यहाँ गिनती देखो। कोने वाले खाने के 2 पड़ोसी हैं, किनारे वाले के 3, और अंदर वाले के 4।

इसलिए कोना जीतने की सबसे आसान जगह है, और बीच वाला खाना सबसे मुश्किल। मसलन ऊपर दाएँ कोने में 9870। उसके सिर्फ़ 2 पड़ोसी हैं — बाएँ 7350 और नीचे 9230 — और वो दोनों से बड़ा है। इस 4 गुणा 4 की जाली में 4 कोने हैं, किनारे पर 8 खाने, और अंदर 4। जैसे अंदर का 8632। उसके चारों पड़ोसी हैं 4795, 4580, 8280 और 1944 — और वो चारों से बड़ा है।

इस जाली में 4 खाने रंगे हुए हैं — 7500, 9870, 8632 और 6034। अब नियम से जाँचो — क्या यही सारे supercell हैं? नीचे बाएँ कोने में 5785 है। उसके सिर्फ़ 2 पड़ोसी हैं — ऊपर 4580 और दाएँ 1944 — और वो दोनों से बड़ा है। तो नियम के हिसाब से यहाँ 5 supercell हैं, 4 नहीं। रंग पर नहीं, नियम पर भरोसा करो। और यहाँ भी सबसे बड़ी संख्या 9870 अंदर है, और सबसे छोटी 1944 बाहर।

अब उल्टा खेल। यहाँ रंगे हुए खाने पहले से तय हैं, और संख्याएँ हमें भरनी हैं। हर संख्या 5 अंकों की है, जिसमें 1, 0, 6, 3 और 9 ठीक एक-एक बार आते हैं। शर्त यह है कि सिर्फ़ रंगे हुए खाने, और वो सारे, supercell बनें। ऐसी कुल 96 संख्याएँ बनती हैं, क्योंकि 0 सबसे आगे नहीं आ सकता। अब ऊपर बाएँ का खाना रंगा हुआ है, और उसके बगल में 96301 है।

उससे बड़ी सिर्फ़ 1 संख्या है — 96310। तो ये खाना तय हो गया। और नीचे रंगी हुई 10963 को अपने 3 खाली पड़ोसियों से बड़ा होना है। उससे छोटी सिर्फ़ 5 संख्याएँ हैं, तो वो 3 खाने इन्हीं 5 में से आएँगे। ऐसे भरने पर पूरी जाली में ठीक वही 5 खाने supercell बनते हैं जो रंगे हुए थे। यहाँ संख्याएँ हिसाब से नहीं, रंग से तय हुईं। और देखो, सबसे बड़ी संख्या 96310 एक रंगे हुए खाने में बैठी है — जैसा होना ही था, क्योंकि सबसे बड़ी हमेशा जीतती है।

अब एक 3 गुणा 3 की जाली, जिसमें सिर्फ़ 1 supercell है — बीच में 62871। वो अपने चारों पड़ोसियों से बड़ा है। अब काम यह है — किसी एक संख्या के अंदर 2 अंकों की जगह बदलो, ताकि 4 supercell बन जाएँ। कौन सी अदला-बदली? बीच वाली संख्या लो, और उसके 6 और 1 की जगह बदल दो। तब 62871 बन जाता है 12876। अब बीच वाला खाना अपने चारों पड़ोसियों से हार जाता है।

वही खाना अपने चारों ओर के 4 खानों को रोक रहा था। अब उनमें से हर एक supercell बन गया। ये 4 नए supercell हैं — ऊपर 39344, बाएँ 23609, दाएँ 45306 और नीचे 50319। और हमने पूरी जाली की सारी 79 अदला-बदलियाँ जाँचीं — सिर्फ़ यही 1 काम करती है। एक अदला-बदली, 4 तुलनाएँ बदलीं, और 1 supercell से 4 हो गए। आज की बात। कोई भी supercell किसी संख्या के बारे में नहीं, उसके पड़ोस के बारे में एक सच है।

और एक ही बात से सब निकला — 2 supercell कभी नहीं छूते, इसलिए ज़्यादा से ज़्यादा आधे, ऊपर की ओर पूरे किए हुए। सबसे बड़ी हमेशा जीतती है, और सबसे छोटी कभी नहीं। अब तुम्हारी बारी। ऐसी 6 खानों की एक कतार भरो, जिसमें दूसरी सबसे बड़ी संख्या supercell न हो। क्या ऐसा हो सकता है, और कैसे? अपने जवाब comments में लिखना।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

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