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Chapter 3 · Number Play

Kaprekar का 6174: एक प्रक्रिया जो हमेशा एक ही जगह ख़त्म होती है

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1234, 9831 और 2111 — तीनों पर एक ही तरीका चलाओ: अंकों से सबसे बड़ी संख्या, सबसे छोटी संख्या, और घटाओ। तीनों 6174 पर पहुँचती हैं, और वहीं रुक जाती हैं।

मुख्य idea

हैरानी की बात यह नहीं कि 6174 सामने आता है। हैरानी यह है कि हर किसी का number वहीं पहुँचता है। तीस बच्चे चार अंकों वाले तीस अलग-अलग numbers से शुरू करते हैं, वही चार निर्देश चलाते हैं, और तीसों एक ही जगह आ मिलते हैं — यानी इस प्रक्रिया के पास रुकने की ठीक एक ही जगह है। और तुम एक भी दूसरा उदाहरण चलाए बिना देख सकते हो कि वह जगह 6174 क्यों है: 6174 के अपने अंकों से सबसे बड़ा और सबसे छोटा number बनाओ, घटाओ, और 6174 वापस आ जाता है। कोई प्रक्रिया कहाँ रुकती है यह ढूँढ़ना, यह साबित करने से अलग और कहीं आसान काम है कि हर चीज़ वहाँ पहुँचती है — और यही वह section है जहाँ chapter पहली बार यह फ़र्क़ दिखाता है।

आपको क्या आना चाहिए

  • दिए गए चार अंकों वाले number पर प्रक्रिया का एक चक्र चलाना
  • प्रक्रिया दोहराना और लिखना कि कोई शुरुआत कितने चक्र लेती है
  • समझाना कि शुरुआती number के चारों अंक एक जैसे क्यों नहीं होने चाहिए
  • दिखाना कि प्रक्रिया के तहत 6174 ख़ुद को ही दोबारा बना देता है
  • समझाना कि किसी प्रक्रिया की रुकने की जगह होने का मतलब क्या है
  • "6174 वहाँ है जहाँ यह रुकती है" और "हर शुरुआत वहाँ पहुँचती है" में फ़र्क़ करना, और बताना कि किताब इनमें से किसका दावा करती है
  • यही प्रक्रिया तीन अंकों वाले numbers पर चलाना और पहचानना कि वह कहाँ टिकती है
  • बताना कि आगे वाला zero रखने या हटाने का चक्रों की गिनती पर क्या असर पड़ता है
  • बताना कि D.R. Kaprekar कौन थे और उन्होंने यह कब ढूँढ़ा

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक line में मतलबहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
Kaprekar constant6174, वह number जिस पर चार अंकों वाली प्रक्रिया आकर रुकती हैकापरेकर स्थिरांक§3.6, p.63 — वहीं मोटे अक्षरों में छपा
magic numberऔपचारिक नाम देने से पहले 6174 के लिए किताब का वाक्यांशजादुई संख्या§3.6, pp.62–63 — वहीं छपा, और section के शीर्षक में
Devlaliमहाराष्ट्र का वह क़स्बा जहाँ Kaprekar पढ़ाते थेदेवलाली§3.6, p.62 — वहीं छपा
largest numberवह सबसे बड़ा number जिसमें दिए गए चार अंक सजाए जा सकते हैंसबसे बड़ी संख्या§3.6, p.63 — वहीं छपा, दूसरे निर्देश में
smallest numberवह सबसे छोटा number जिसमें वही चार अंक सजाए जा सकते हैंसबसे छोटी संख्या§3.6, p.63 — वहीं छपा, तीसरे निर्देश में
repeatingजब प्रक्रिया किसी number को बिना बदले लौटा दे, तब वह number यही करता हैपुनरावृत्ति§3.6, p.63 — वहीं छपा, तीन अंकों वाले आख़िरी सवाल में
roundचारों निर्देशों से होकर एक पूरा चक्करचक्र§3.7, p.65 — वहीं छपा, 5683 वाले सवाल में
resting placeव्याख्या का दिया नाम, ऐसे number के लिए जिसे प्रक्रिया ख़ुद उसी पर भेजती है—व्याख्या का अपना शब्द, किताब में कहीं नहीं छपा
leading zeroव्याख्या का दिया नाम, सबसे छोटी सजावट के सबसे आगे खड़े 0 के लिए—व्याख्या का अपना शब्द, किताब में कहीं नहीं छपा

हिंदी column में standard NCERT हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है; यह Ganita Prakash के हिंदी संस्करण से उतारी नहीं गई है। Notes देखें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "6174 ख़ास इसलिए है कि वह किन अंकों से बना है।" वह ख़ास इसलिए है कि प्रक्रिया उसके साथ क्या करती है। बाक़ी हर number हिलता है; 6174 टिका रहता है। अंकों के गुण खोजने के बजाय वह घटाव दिखाओ जिसमें number अपनी जगह टिका रहता है।
  • "इस पर भरोसा करने के लिए चार अंकों वाला हर number आज़माना पड़ेगा।" ऐसा कर नहीं सकते, और किताब कहती भी नहीं। class यह कर सकती है कि जाँचे कि 6174 अपनी जगह टिका रहता है और हर किसी की कड़ी वहीं पहुँचती है — जो सबूत का इशारा है, प्रमाण नहीं, और chapter इस फ़र्क़ से संतुष्ट है। §3.10 वह जगह है जहाँ यही असली बात बन जाता है।
  • "चार अंकों वाला कोई भी number चलेगा।" चार एक जैसे अंकों वाला नहीं। किताब यह शर्त उदाहरण वाले वाक्य में ही बताती है, और इसे छोड़ देना आसान है।
  • "बड़े शुरुआती numbers ज़्यादा चक्र लेते हैं।" नहीं लेते। 6382 वाली कड़ी तीन में पूरी हो जाती है; दूसरी, छोटी शुरुआतें ज़्यादा लेती हैं। चक्रों की गिनती का आकार से कोई रिश्ता नहीं।
  • "सबसे बड़ा और सबसे छोटा बस अंकों को क्रम में लगाना है।" है तो — पर सबसे छोटे को क्रम में लगाने पर आगे एक 0 आ सकता है, और उसकी इजाज़त है या नहीं, इससे हिसाब बदल जाता है। Notes देखें; chapter में यही अकेली जगह है जहाँ दो ईमानदार पढ़तें दो अलग जवाब देती हैं।
  • "तीन अंकों वाला रूप भी 6174 देता है।" नहीं देता; वह कहीं और टिकता है, और कहाँ, यह ढूँढ़ना किताब का अपना आख़िरी सवाल है।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 3.7 Q4, End-of-Chapter Figure it Out Q2

पूरा transcript1,539 शब्द

कोई भी 4 अंकों वाली संख्या लो — जैसे 1234, या 9831, या 2111। तीनों पर एक ही तरीका चलाओ। और तीनों एक ही जगह पहुँचती हैं — 6174 पर। शुरुआत अलग, पहुँच एक। क्या ये इत्तफ़ाक है? या इस तरीके के पास रुकने की बस एक ही जगह है? आज हम 2 अलग सवाल पूछेंगे। पहला, ये तरीका कहाँ रुकता है। दूसरा, क्या हर संख्या वहाँ पहुँचती है। ये 2 बिल्कुल अलग काम हैं।

तरीका ये है। पहला कदम — संख्या के अंकों से सबसे बड़ी संख्या बनाओ। इसे A कहेंगे। दूसरा कदम — उन्हीं अंकों से सबसे छोटी संख्या बनाओ। इसे B कहेंगे। तीसरा कदम — बड़ी में से छोटी घटाओ। जो मिले, वो C। और चौथा कदम — C के अंक लेकर फिर पहले कदम पर लौटो। एक पूरा चक्कर हुआ एक round। क्या कोई भी 4 अंकों वाली संख्या चलेगी? 5555 लो।

सबसे बड़ी भी 5555, सबसे छोटी भी 5555। घटाओ, तो 0। और 0 के अंकों से फिर 0 ही बनता है। तरीका वहीं अटक गया — आगे जाने की कोई जगह नहीं। पर एक भी अलग अंक काफ़ी है — 5556 लो, तो 6555 में से 5556, और मिलता है 999। तरीका चल पड़ा। तो ऐसी रुकी हुई संख्याएँ बस 9 हैं — 1111 से 9999 तक। इसलिए शर्त है: अंकों में कम से कम 2 अलग अंक होने चाहिए।

अब 6382 से शुरू करते हैं। इसके अंक हैं 6, 3, 8, 2। सबसे बड़ी संख्या — 8632। सबसे छोटी — 2368। अब खानों में घटाओ। इकाई में 2 में से 8 नहीं घटता, तो उधार लो — 12 में से 8, बचे 4। दहाई में 3 ने 1 उधार दिया, तो वो 2 बचा — 2 में से 6 भी नहीं घटता, फिर उधार, 12 में से 6, बचे 6।

सैकड़े में 6 ने 1 दिया, तो 5 में से 3, बचे 2। और आखिरी खाने में 8 में से 2, बचे 6। खानों को पढ़ो — 6264। पहला round पूरा। दूसरा round। 6264 के अंकों से सबसे बड़ी 6642, सबसे छोटी 2466। घटाओ — 4176। तीसरा round। 4176 से सबसे बड़ी 7641, सबसे छोटी 1467। घटाओ — 6174। तो 6382 को 6174 तक पहुँचने में 3 round लगे। अब चौथा round।

6174 पर यही तरीका चलाओ, तो क्या मिलेगा? सबसे बड़ी 7641, सबसे छोटी 1467 — और जवाब फिर से 6174। अब चाहे जितने round चलाओ, हर बार 6174 ही आएगा। तरीका यहाँ आकर रुक गया है। ये उसकी रुकने की जगह है। रुकने की जगह का मतलब यही है — ऐसी संख्या, जिस पर तरीका चलाओ तो वही संख्या वापस मिले। आगे कहीं जाने का रास्ता ही नहीं बचता। कुछ लोग सोचते हैं कि 6174 अपने अंकों की वजह से खास है।

पर खास बात ये है कि तरीका इसके साथ क्या करता है। देखो, 1467 में भी ठीक यही अंक हैं। पर वो रुकती नहीं — 1 round में 6174 बन जाती है। तो अंक अकेले कुछ तय नहीं करते। इसके अपने अंक लो — 6, 1, 7, 4। इनसे सबसे बड़ी बनती है 7641, और सबसे छोटी 1467। और इनका अंतर फिर उन्हीं 4 अंकों से बनता है — 6174।

यानी ये संख्या खुद को ही दोबारा बना लेती है। और 4 अंकों वाली सारी 9000 संख्याओं में से सिर्फ़ 1 ऐसा करती है — यही। इसलिए रुकने की जगह भी बस एक है। ध्यान दो — ये जानने के लिए कि तरीका कहाँ रुकता है, बस एक घटाव काफ़ी था। किसी और संख्या को आज़माने की ज़रूरत नहीं पड़ी। पर दूसरा सवाल — क्या हर संख्या 6174 तक पहुँचती है?

ये बिल्कुल अलग दावा है। 6174 का खुद को बनाना ये नहीं बताता कि बाकी सब वहाँ आएँगे। कोई संख्या कहीं और भी घूम सकती थी। 4 अंकों की ऐसी संख्याएँ, जिनमें कम से कम 2 अलग अंक हों, 8991 हैं। हर एक पर तरीका चलाकर देखा गया — और 8991 की 8991 पहुँचती हैं। और किसी को भी 7 से ज़्यादा round नहीं लगते। बोर्ड पर हर गिनती है — कुछ को 1 round, सबसे ज़्यादा संख्याओं को 3, और काफ़ी सारी को पूरे 7।

पर ध्यान रहे — ये हर संख्या को जाँचकर मिला है, किसी तर्क से नहीं। ऐसा क्यों होता है, वो कहीं ज़्यादा मुश्किल सवाल है। और ये जाँच पूरी इसलिए हो पाई क्योंकि 4 अंकों वाली संख्याओं की सूची खत्म होती है। जहाँ संख्याएँ अनगिनत हों, वहाँ एक-एक करके जाँचना कभी पूरा नहीं होता — वहाँ तर्क ही चाहिए। अब 2 रास्ते साथ देखो। 9831 से — 8442, 5994, 5355, 1998, फिर 8082, 8532, और 6174।

और 2111 से — 999, 8991, और फिर 8082। यहाँ आकर दोनों रास्ते मिल जाते हैं। जैसे छोटी नदियाँ मिलकर एक बड़ी नदी बनती हैं। 8082 के बाद दोनों का रास्ता एक ही है — 8532, फिर 6174। रास्ते इतनी जल्दी क्यों मिलते हैं? 8991 अलग शुरुआतें हैं — पहले round के बाद कितनी अलग संख्याएँ बचती हैं? बस 54 संख्याएँ। हज़ारों रास्ते, पहले ही कदम पर बस 54 संख्याओं में सिमट जाते हैं।

और ये सब 9 के गुणज हैं। 6264 है 9 गुणा 696, 4176 है 9 गुणा 464, और 6174 है 9 गुणा 686। हर एक के अंकों का योग 18। सारी 8991 शुरुआतों पर जाँचा गया — हर C, 9 का गुणज निकला। A और B एक ही अंकों से बने हैं, और यही इस बात के पीछे है। तो क्या बड़ी संख्या को ज़्यादा round लगते हैं? 6382 को 3 round लगे थे।

पर 1004, जो उससे कहीं छोटी है, उसे 7 लगते हैं। उसका पहला ही कदम उसे 4086 पर ले जाता है — 4100 में से 14। 3087 को सिर्फ़ 2 लगते हैं। और 9831, जो 6382 से बड़ी है, उसे भी 7। यानी round की गिनती संख्या के आकार से तय नहीं होती। वो इस बात से तय होती है कि अंक कौन से हैं। अब 2111 लो। सबसे बड़ी 2111, सबसे छोटी 1112।

घटाओ, तो 999 — सिर्फ़ 3 अंक। अगर इसे 3 अंकों का ही रहने दें, तो 999 में से 999 — 0, और तरीका अटक जाता। इसलिए अगले round के लिए इसे 4 अंकों की तरह पढ़ो — 0, 9, 9, 9। सबसे बड़ी 9990, और सबसे छोटी में 0 आगे आ जाता है। 9990 में से 999 घटाओ — 8991। वहाँ से आगे चलो, तो 2111 कुल 5 round में 6174 तक पहुँचती है।

जब भी अंकों में 0 हो, सबसे छोटी संख्या उसी 0 से शुरू होती है। और तब तय करना पड़ता है कि उस 0 का मतलब क्या है। अब 8550 को देखो। पहला तरीका — 0 को आगे रखो। सबसे छोटी बनती है 0, 5, 5, 8 — यानी 558। तो 8550 में से 558 — 7992। दूसरा तरीका — सबसे छोटी को भी 4 अंकों की संख्या होना चाहिए, तो 0 आगे नहीं आ सकता।

तब सबसे छोटी 5058, और जवाब 3492। एक ही शुरुआत, पर रास्ते अलग। पहले तरीके से 8550 को 6 round लगते हैं, दूसरे से 7। और दूसरा तरीका तो कुछ संख्याओं को रोक ही देता है। 1000 में सबसे छोटी भी 1000 बनती है — अंतर 0। 1000, 2000, और ऐसे 9000 तक, 9 संख्याएँ कभी नहीं पहुँचतीं। इसलिए हम 0 को आगे रखेंगे — तब 1000 भी 5 round में पहुँचती है।

और सबक ये कि round गिनने से पहले ये नियम तय कर लो। और अगर 3 अंकों वाली संख्या पर यही तरीका चलाएँ? क्या वहाँ भी 6174 आएगा? यहाँ भी वही शर्त — 111, 222 जैसी 9 संख्याएँ, जिनके सारे अंक एक जैसे हैं, बाहर रहेंगी। अब 123 से चलो। 321 में से 123 — 198। फिर 792, फिर 693, फिर 594, और फिर 495। अब 495 पर चलाओ — सबसे बड़ी 954, सबसे छोटी 459, और अंतर फिर 495।

ये भी खुद को बना लेती है। 3 अंकों की 900 संख्याओं में सिर्फ़ 1 ऐसी है — 495। और जिनमें कम से कम 2 अलग अंक हैं, वो 891 की 891 वहाँ पहुँचती हैं, 6 round के अंदर। यानी मशीन वही, पर रुकने की जगह अलग। 6174 सिर्फ़ 4 अंकों वालों की जगह है। और 2 अंकों पर? 81 से चलो। 81 में से 18 — 63। फिर 63 में से 36 — 27।

फिर 72 में से 27 — 45। फिर 54 में से 45 — 9। अब 9 को 2 अंकों में पढ़ो — 0 और 9। सबसे बड़ी 90, सबसे छोटी 9, और अंतर 81। हम फिर वहीं आ गए जहाँ से चले थे। 2 अंकों में कोई भी संख्या खुद को वापस नहीं बनाती। और 81 की 81 शुरुआतें इसी 5 संख्याओं वाले घेरे में घूमती रहती हैं। यानी रुकने की जगह होना कोई अपने आप होने वाली बात नहीं है।

4 अंकों में ऐसी जगह ठीक एक है — और यही असली हैरानी है। आज की बात। तरीका कहाँ रुकता है — ये एक घटाव से पता चला, 7641 में से 1467। हर संख्या वहाँ पहुँचती है — ये अलग दावा है, जो यहाँ सारी 8991 संख्याओं को जाँचकर मिला। और round गिनने से पहले 0 का नियम तय करो। 3 अंकों में रुकने की जगह 495 है, और 2 अंकों में कोई जगह नहीं — बस एक घेरा।

अब तुम्हारी बारी। 0 को आगे रखने वाले नियम से, 5683 को 6174 तक पहुँचने में कितने round लगेंगे? अपने जवाब comments में लिखना।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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