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Chapter 3 · Number Play

Palindromes, और reverse-and-add अक्सर किसी palindrome पर ही क्यों पहुँचता है

Playing with digits12 मिनट

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66, 848, 575, 797 और 1111 — इन्हें उल्टा पढ़ो, कुछ नहीं बदलता। ऐसी संख्या palindrome कहलाती है, और ये गुण संख्या के लिखने का है, आकार का नहीं।

मुख्य idea

palindrome इस बारे में एक तथ्य है कि कोई number कैसे लिखा जाता है, इस बारे में नहीं कि वह कितना बड़ा है — इसलिए यह इस किताब का पहला गुण है जो मात्रा का नहीं, लिखने के तरीक़े का है। reverse-and-add उस लिखी हुई समरूपता को बनाने की एक मशीन है, और यह लगभग कभी नाकाम नहीं हो सकती: दो अंकों वाले number में उसका आईने वाला रूप जोड़ने पर उसके digit sum का ग्यारह गुना मिलता है, जो अपनी बनावट से ही सममित है। इसे बिगाड़ सकने वाली अकेली चीज़ है किसी अंक वाले column का छलक जाना। इसीलिए दो अंकों से शुरू होने वाले ज़्यादातर numbers एक step में ख़त्म हो जाते हैं, अटपटे वालों को दूसरा step लगता है, और यही सवाल एक अंक ऊपर पूछा जाए तो आज तक उसका जवाब नहीं मिला।

आपको क्या आना चाहिए

  • तय करना कि दिया गया number palindrome है या नहीं
  • अंकों के सीमित set से, दी गई लंबाई वाले सारे palindromes लिखना
  • उन palindromes को सूची बनाकर नहीं, हर जगह के विकल्पों से गिनना
  • reverse-and-add का एक चक्र करना और बताना कि रुकना है या नहीं
  • palindrome आने तक यह तरीक़ा दोहराना, और चक्रों का हिसाब रखना
  • दिखाना कि दो अंकों वाले number में उसका reverse जोड़ने पर हमेशा उसके digit sum का ग्यारह गुना मिलता है
  • इसके सहारे समझाना कि कुछ शुरुआतें एक चक्र में क्यों ख़त्म होती हैं और कुछ क्यों नहीं
  • बताना कि किताब का footnote दो अंकों और तीन अंकों वाली शुरुआतों के लिए क्या दावा करता है, और यह चिह्नित करना कि इनमें से कौन-सा तय हो चुका है
  • अंकों के सुराग़ वाली ऐसी पहेली हल करना जिसका जवाब पाँच अंकों वाला palindrome हो, और सही ठहराना कि जवाब अकेला वही है

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक line में मतलबहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
palindromeऐसा number जो किसी भी सिरे से शुरू करो, एक ही तरह लिखा जाता हैपैलिंड्रोम§3.5, p.61 — वहीं मोटे अक्षरों में छपा
palindromic numberउसी चीज़ के लिए किताब का दूसरा नामपैलिंड्रोमिक संख्या§3.5, p.61 — वहीं मोटे अक्षरों में छपा, palindromes के बगल में
reverseवही अंक उलटे क्रम में लिखने से मिलने वाला numberप्रतिलोम संख्या§3.5, p.61 — वहीं छपा, पालन करने वाले steps में
reverse-and-addकिसी number में उसका reverse जोड़ना, और palindrome आने तक दोहराते रहना—§3.5, p.61 — वहीं मोटे उप-शीर्षक Reverse-and-add palindromes के रूप में छपा
odd numberऐसा number जिसका आख़िरी अंक 1, 3, 5, 7 या 9 होविषम संख्या§3.5, p.62 — वहीं छपा, पहेली के दूसरे सुराग़ में
Exploreखुली खोजबीन वाले prompt के लिए किताब का अपना label—§3.5, p.62 — वहीं block के शीर्षक की तरह छपा
Puzzle timesection को ख़त्म करने वाली सुराग़-आधारित पहेली के लिए किताब का अपना label—§3.5, p.62 — वहीं block के शीर्षक की तरह छपा
tthकिताब के पाँच स्थान-labels — tth, th, h, t और u — में सबसे बाईं ओर वाला, जिसे पहेली के सुराग़ इस्तेमाल करते हैं—§3.5, p.62 — वहीं पहेली के पाँच boxes के ऊपर छपा, बाक़ी चारों के साथ
column overflowव्याख्या का दिया नाम, किसी अंक वाले column के जोड़ के नौ से आगे जाकर अगले में धकेलने के लिए—व्याख्या का अपना शब्द, किताब में कहीं नहीं छपा
roundएक पूरा reverse-and-add, यह गिनने के लिए कि कोई शुरुआत कितना समय लेती हैचक्र§3.7, p.65 — वहीं छपा, Kaprekar constant वाले आख़िरी सवाल में

हिंदी column में standard NCERT हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है; यह Ganita Prakash के हिंदी संस्करण से उतारी नहीं गई है। इस स्तर पर palindrome का कोई जमा हुआ हिंदी समकक्ष नहीं है, और cell में उसे देवनागरी में वैसे ही लिखा गया है। Notes देखें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "palindrome में अंकों की संख्या विषम होनी चाहिए ताकि उसका एक बीच हो।" 66 और 1111 किताब की अपनी शुरुआती सूची में हैं, और दोनों में से किसी का बीच वाला अंक नहीं है।
  • "palindromes कम ही मिलते हैं।" 1 और 1000 के बीच काफ़ी सारे हैं, और सीमित अंकों वाला अभ्यास सिर्फ़ तीन अंकों से नौ बना देता है। "कम" ग़लत अंदाज़ा है; ढाँचे वाले सही है।
  • "reverse-and-add एक तरकीब है जिसके पीछे कोई वजह नहीं।" दो अंकों वाली शुरुआतों के लिए वजह हिसाब की एक line है। उसे दिखाओ, वरना section सिर्फ़ बटन दबाना रह जाता है।
  • "अगर एक चक्र में काम नहीं हुआ तो कभी नहीं होगा।" 48 और 76 दोनों पहले चक्र में चूकते हैं और दूसरे में सफल होते हैं। किताब उन्हें एक-चक्र वाले उदाहरणों के बगल में ठीक इसी ग़लतफ़हमी को रोकने के लिए रखती है।
  • "दो अंकों वाली शुरुआतें जल्दी ख़त्म हो जाती हैं।" ज़्यादातर होती हैं। उनमें से दो नहीं होतीं, और किताब Explore box से पहले वाले वाक्य में इसकी चेतावनी देती है — सबसे बुरी हालत असल में कितनी लंबी चलती है, इसके लिए Notes देखें। जो व्याख्या सिर्फ़ 34 और 29 दिखाती है, वह section की अपनी सावधानी को ग़लत ढंग से पेश करती है।
  • "footnote कहता है कि reverse-and-add हमेशा काम करता है।" वह ऐसा सिर्फ़ दो अंकों वाली शुरुआतों के लिए कहता है। तीन अंकों के लिए वह उलटा कहता है: किसी को नहीं पता। इन दोनों दावों को मिला देना इस page पर सबसे आसानी से होने वाली ग़लती है।
  • "यह साबित हो चुका है कि 196 कभी काम नहीं करता।" नहीं हुआ है। footnote का शब्द suspected (शक) है, और वही सही शब्द है।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 3.7 Q2

पूरा transcript1,545 शब्द

इन 5 संख्याओं को देखो — 66, 848, 575, 797 और 1111। इनमें एक बात साझा है। क्या है वो बात? हर संख्या को उल्टी तरफ़ से पढ़ो। 848 उल्टा पढ़ो — फिर 848। 1111 उल्टा — फिर 1111। कुछ नहीं बदलता। पर 849 को उल्टा पढ़ो, तो 948 बनता है — बदल गया। तो 849 इन 5 जैसी नहीं है। ऐसी संख्या को palindrome कहते हैं — जो आगे से और पीछे से, एक जैसी पढ़ी जाए।

ध्यान दो, ये गुण संख्या के आकार का नहीं है। ये इस बात का है कि संख्या लिखी कैसे गई है — अंकों का क्रम। और लंबाई से भी कोई फ़र्क नहीं पड़ता। 66 में 2 अंक हैं, 848 में 3, और 1111 में 4। 3 अलग लंबाइयाँ, एक ही गुण। कुछ लोग सोचते हैं कि palindrome के बीच में एक अंक होना चाहिए। पर 66 और 1111 में अंक सम संख्या में हैं — इनके बीच में कोई अंक ही नहीं।

शर्त बस इतनी है — पहला अंक आखिरी से मिले, दूसरा अंक आखिरी से पहले वाले से, और ऐसे ही आगे। अब एक खेल। सिर्फ़ 1, 2 और 3 अंक इस्तेमाल करके, 3 अंकों वाले कितने palindrome बन सकते हैं? कुछ तो तुरंत दिख जाते हैं — 121, 222 और 313। इनकी बनावट देखो। पहला और आखिरी अंक एक जैसा, और बीच वाला कुछ भी। तो पूरी सूची ये है — 111, 121, 131, फिर 212, 222, 232, और फिर 313, 323, 333।

कुल 9। इन्हें बिना सूची के भी गिना जा सकता है। पहले अंक के लिए 3 विकल्प, और बीच वाले के लिए भी 3। और आखिरी अंक? उसके पास कोई विकल्प ही नहीं — उसे पहले अंक की नकल करनी है। इसलिए 3 गुणा 3 — 9। सूची से भी 9 ही मिले थे। और 2 अंकों वाले palindrome? दोनों अंक एक जैसे होने चाहिए — 11, 22, 33, और ऐसे ही 99 तक।

बस 9, और हर एक किसी अंक का 11 गुना। ये 11 आगे फिर आएगा। और अगर सारे अंक इस्तेमाल हों? तो पहले अंक के 9 विकल्प, क्योंकि आगे 0 नहीं आता, और बीच वाले के 10। यानी 3 अंकों वाले palindrome कुल 90 हैं। अब एक मशीन। ऐसी संख्या लो जो palindrome नहीं है — जैसे 48। उल्टा करो, तो 84। मशीन के बस 2 कदम हैं। पहला, संख्या को उल्टा लिखो।

दूसरा, दोनों को जोड़ो। जवाब palindrome है, तो रुक जाओ। नहीं है, तो उसी जवाब को फिर से मशीन में डालो। हर बार को हम एक चक्कर कहेंगे। मशीन हर बार कोई न कोई संख्या देती है। असली सवाल ये है — palindrome कितने चक्कर में आएगा? पहले 34। उल्टा 43, और जोड़ो — 77। palindrome, एक ही चक्कर में। अब 29। उल्टा 92, जोड़ो — 121। फिर से एक ही चक्कर।

दोनों एक चक्कर में खत्म। क्या हमेशा ऐसा ही होता है? अब 48। उल्टा 84, जोड़ो — 132। पर 132 palindrome नहीं है, उल्टा ये 231 है। तो दूसरा चक्कर। 132 में 231 जोड़ो — 363। अब palindrome मिल गया। 76 के साथ भी यही। 76 और 67 — 143। फिर 143 और 341 — 484। 2 चक्कर। यानी पहले चक्कर में palindrome न मिले, तो इसका मतलब ये नहीं कि कभी नहीं मिलेगा।

बस थोड़ा और चलना पड़ता है। पर पहले ये समझते हैं कि ये मशीन काम क्यों करती है। पर ये मशीन इतनी बार काम क्यों करती है? 34 में 3 दहाई और 4 इकाई हैं। और 43 में 4 दहाई और 3 इकाई। दोनों को मिलाओ — 7 दहाई और 7 इकाई। यानी 77, जो 11 गुणा 7 है। और 7 है 3 और 4 का योग। और ये हर बार होता है।

कोई भी 2 अंकों वाली संख्या, और उसका उल्टा — जोड़ 11 गुणा अंकों का योग। सारी 90 संख्याओं पर जाँचा गया। 11 ही क्यों? क्योंकि हर अंक एक बार दहाई की जगह पर बैठता है और एक बार इकाई की जगह पर। दहाई में वो 10 गुना गिना जाता है, इकाई में 1 गुना — कुल 11 गुना। तो पूरा जोड़ 11 गुणा अंकों का योग। जाँच लो — 29 का योग 11, और 11 गुणा 11 है 121।

48 का 12, तो 132। और 76 का 13, तो 143। अब इसी से सोचो — अगर अंकों का योग 1 से 9 के बीच है, तो जवाब होगा 11, 22, 33, और ऐसे ही 99 तक। हर एक palindrome। पर योग 10 या उससे ज़्यादा हो, तो — 110, 121, 132, 143, और आगे 198 तक। इनमें palindrome सिर्फ़ 121 है। यानी एक चक्कर में वही संख्याएँ खत्म होती हैं जिनके अंकों का योग 9 तक हो, या ठीक 11 हो।

90 में से 53। गड़बड़ कहाँ होती है? 48 और 84 को खानों में जोड़ो। इकाई में 8 और 4 — 12। 12 एक खाने में नहीं समाता। 2 लिखो, 1 आगे ले जाओ। दहाई में 4 और 8 और 1 — 13। ध्यान दो — दोनों खानों में योग एक जैसा था, 12 और 12। बराबरी यहीं थी। पर 9 से ऊपर जाते ही हासिल आगे चला गया, और बराबरी टूट गई — 132।

34 और 43 में हर खाने का योग 7 है, जो 9 से कम है। कोई हासिल नहीं, तो बराबरी बची रहती है — 77। अब असली राज़। किसी संख्या में उसका उल्टा जोड़ो, तो हर खाने में एक अंक अपने आईने वाले साथी से मिलता है। इसलिए खानों के योग भी आगे से और पीछे से एक जैसे होते हैं। 132 और 231 देखो। खानों के योग हैं 3, 6, 3।

कहीं 9 से ऊपर नहीं गए, तो जवाब सीधा 363 — palindrome। 143 और 341 — योग 4, 8, 4। फिर कोई हासिल नहीं, और जवाब 484। और ये हर संख्या के साथ होता है — 10 से 9999 तक हर संख्या में खानों के योग सममित निकले। यानी मशीन हर बार बराबरी बनाती है। उसे बिगाड़ सकता है तो सिर्फ़ हासिल। 2 अंकों में 45 संख्याएँ ऐसी हैं जिनमें हासिल आता ही नहीं।

और 8 ऐसी जिनका योग 11 है, जो 121 पर पहुँचती हैं। 45 और 8 — वही 53। 3 अंकों में 225 संख्याओं का कोई खाना 10 तक नहीं पहुँचता। और इनमें से हर एक, एक ही चक्कर में palindrome बन जाती है। अब 89 पर मशीन चलाओ। 89 और 98 — 187। फिर 187 और 781 — 968। 968 और 869 — 1837। फिर 1837 और 7381 — 9218।

हर चक्कर में कहीं न कहीं हासिल आता है और बराबरी फिर टूट जाती है। और संख्या लंबी होती जाती है। 2 अंकों से शुरू होकर, ये 13 अंकों तक पहुँच जाती है। जितनी लंबी संख्या, उतने ज़्यादा खाने, और हासिल आने के उतने ज़्यादा मौके। तो सारी 90 संख्याओं पर मशीन चलाओ। 53 को 1 चक्कर लगता है, 22 को 2, 5 को 3, 4 को 4, और 4 को 6 चक्कर।

और आखिरी 2 संख्याएँ सबसे अलग हैं — 89 और 98। इन्हें 24 चक्कर लगते हैं। और ये एक-दूसरे का उल्टा हैं, इसलिए पहला कदम दोनों का एक ही है — 187। वहाँ से रास्ता एक है। और आखिर में जो palindrome मिलता है, उसमें 13 अंक हैं। पर हर 2 अंकों वाली संख्या आखिर में palindrome तक पहुँचती है — 90 में से 90। 2 अंकों के लिए ये बात पक्की है।

और 3 अंकों वाली संख्याओं का क्या? 10 से 195 तक हर संख्या palindrome तक पहुँच जाती है। पर 196 पर मशीन चलाओ। 500 चक्कर बाद भी कोई palindrome नहीं, और संख्या 200 से ज़्यादा अंकों की हो चुकी है। और ज़्यादा चक्कर चलाने से भी बात तय नहीं होती। कंप्यूटर कितना भी चले, वो बस इतना कह सकता है — अभी तक नहीं मिला। कभी नहीं मिलेगा, ये कहने के लिए तर्क चाहिए, गिनती नहीं।

क्या 196 कभी पहुँचेगी? ये आज तक किसी को नहीं पता। शक है कि नहीं पहुँचेगी — पर साबित नहीं हुआ। गणित में ऐसे खुले सवाल भी होते हैं। यानी 2 अंकों के लिए जवाब पक्का है, और 3 अंकों के लिए सवाल अब भी खुला है। दोनों बातों को मिलाना मत। अब एक पहेली। एक 5 अंकों वाला palindrome है। वो विषम है। उसका दहाई का अंक, इकाई के अंक का दोगुना है।

और सैकड़े का अंक, दहाई का दोगुना। विषम संख्या का आखिरी अंक विषम होता है। तो इकाई का अंक विषम होगा। और उसका दोगुना भी एक अंक होना चाहिए, 9 से ज़्यादा नहीं। तो इकाई या तो 1 है या 3। इकाई 3 लो, तो दहाई 6, और सैकड़ा 12 — जो अंक ही नहीं। तो 3 नहीं चलेगा। इकाई 1 लो, तो दहाई 2, और सैकड़ा 4। palindrome है, तो आगे के 2 अंक पीछे की नकल हैं — जवाब है 12421।

और हर 5 अंकों वाली संख्या जाँचो, तो जवाब सिर्फ़ एक ही निकलता है — यही। आज की बात। palindrome संख्या के लिखने का गुण है, आकार का नहीं। और 2 अंकों की संख्या में उसका उल्टा जोड़ो, तो 11 गुणा अंकों का योग मिलता है। मशीन हर बार खानों के योग सममित बनाती है, क्योंकि हर अंक अपने आईने वाले साथी से जुड़ता है। बराबरी सिर्फ़ हासिल से टूटती है।

2 अंकों के लिए हर संख्या पहुँचती है, और 196 का सवाल अब भी खुला है। अब तुम्हारी बारी। 57 को palindrome तक पहुँचने में कितने चक्कर लगेंगे? अपने जवाब comments में लिखना।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

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