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Chapter 3 · Number Play

बड़े number को number line पर अंदाज़े से रखना

What a number is reporting11 मिनट

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9590 और 9950 में वही 4 अंक हैं, और दोनों 9000 और 10000 के एक ही टुकड़े में हैं — फिर भी उनके बीच 360 का फ़ासला है। number line पर अंक नहीं, दूरी दिखती है।

मुख्य idea

number line पर सिर्फ़ वही labels होते हैं जो किसी ने लिखने के लिए चुने; बाक़ी हर जगह का हिसाब लगाना पड़ता है। और वह लगाया जा सकता है — क्योंकि label वाले दो निशान तय कर देते हैं कि एक step कितने का है, और step पता चलते ही पूरी line तय हो जाती है। तो यह section जो हुनर सिखाता है वह आँख से अंदाज़ा लगाना नहीं है। वह है labels से step पढ़ना, और फिर गिनना। इसीलिए line यह देखने का सबसे तेज़ तरीक़ा भी है कि 9590 और 9950 एक-दूसरे के आस-पास भी नहीं हैं: line पर अंकों का एक जैसा होना किसी गिनती में नहीं आता, और सिर्फ़ zero से दूरी दिखती है।

आपको क्या आना चाहिए

  • label वाले दो निशानों से number line का step पढ़ना
  • step पता हो जाने पर line के बाक़ी निशानों पर labels लगाना
  • दी गई पूर्ण संख्या को उन दो हज़ार वाले निशानों के बीच रखना जिनके बीच वह आती है
  • बिना हिसाब लगाए तय करना कि कोई number अपने अंतराल की शुरुआत, बीच या आख़िर के पास बैठता है
  • बड़ी संख्याओं के एक समूह को एक ही line पर रखकर क्रम में लगाना
  • उन जोड़ियों में फ़र्क़ करना जिनके अंक एक हैं पर क्रम नहीं — 9590 और 9950, 5030 और 5300
  • label वाले अनुक्रम में सबसे छोटे number पर गोला और सबसे बड़े पर box बनाना
  • समझाना कि जिस line के निशान एक-एक की दूरी पर हैं, वह उस line जैसी ही क्यों दिखती है जिसके निशान हज़ार-हज़ार की दूरी पर हैं

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक line में मतलबहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
number lineऐसी line जिसका हर point एक number के लिए है, बढ़ते क्रम मेंसंख्या रेखा§3.3, p.59 — वहीं छपा, और section के शीर्षक में
positionline पर वह जगह जहाँ कोई ख़ास number आता हैस्थिति§3.3, p.59 — वहीं छपा
markline के आर-पार खींची गई छोटी लकीरों में से एकचिह्न§3.3, p.59 — वहीं छपा, निशान लगे numbers पहचानने वाले निर्देश में
labelकिसी निशान के बगल में लिखा number—§3.3, p.59 — वहीं छपा, बाक़ी पर label लगाने वाले निर्देश में
sequenceएक line पर आने वाले numbers की पूरी कड़ी, बाएँ से दाएँ पढ़ी हुईअनुक्रम§3.3, p.59 — वहीं छपा, आख़िरी निर्देश में
smallestline पर सबसे बाईं ओर वाला numberसबसे छोटी§3.3, p.59 — वहीं छपा
largestline पर सबसे दाईं ओर वाला numberसबसे बड़ी§3.3, p.59 — वहीं छपा
mark spacingव्याख्या का दिया नाम, उस तय मात्रा के लिए जितना एक निशान आगे बढ़ाता है—व्याख्या का अपना शब्द; किताब इसके लिए कोई शब्द नहीं छापती
line intervalव्याख्या का दिया नाम, दो पड़ोसी निशानों के बीच की line के टुकड़े के लिए—व्याख्या का अपना शब्द, किताब में कहीं नहीं छपा

हिंदी column में standard NCERT हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है; यह Ganita Prakash के हिंदी संस्करण से उतारी नहीं गई है। Notes देखें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "एक जैसे अंकों वाले numbers पास-पास बैठते हैं।" 9590 और 9950 में वही चार अंक हैं और वे अलग-अलग हज़ारों में गिरते हैं। यही हाल 5030 और 5300 का है। इन्हें एक line पर रखना सबसे सस्ता प्रदर्शन है जो किसी student को कभी मिलेगा कि अंकों का क्रम ही पूरी कहानी है।
  • "कोई number अपने gap के बीच में जाता है, जब तक वह साफ़ तौर पर किसी सिरे पर न हो।" 2180 बीच के पास नहीं है। students बीच वाले point पर इसलिए चले जाते हैं कि वह ढूँढ़ना आसान है; उनसे इसकी जगह पुछवाओ कि कितना आगे तक।
  • "हर number line एक-एक के step से चलती है।" line (d) हज़ार-हज़ार के step से चलती है और line (b) जैसी ही दिखती है, जो एक-एक से चलती है। drawing में कुछ भी नहीं बताता कि कौन-सी कैसी है — सिर्फ़ labels बताते हैं।
  • "line पढ़ने के लिए एक ही label काफ़ी है।" एक label तय करता है कि तुम कहाँ हो; यह तय नहीं करता कि line कितनी तेज़ी से आगे बढ़ती है। कम से कम दो चाहिए।
  • "9999 के बाद line रुक जाती है।" line (b) 9999 से सीधे 10,000 में चली जाती है और आगे बढ़ती रहती है। अंकों की गिनती बदलती है; दूरी नहीं।
  • **"Figure it Out वाली lines 0 से शुरू होती हैं।"** इनमें से कोई नहीं होती। उनके बाएँ सिरों पर label नहीं है और दिए गए labels से पीछे की ओर हिसाब लगाकर वहाँ पहुँचना पड़ता है।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 3.3 Q1

पूरा transcript1,400 शब्द

छोटी संख्याओं के साथ number line तुमने देखी है — 1, 2, 3, 4, 5, बराबर दूरी पर, और हर निशान पर उसकी संख्या लिखी हुई। पर जब संख्याएँ बड़ी हों, तो कोई हर निशान पर संख्या नहीं लिखता। बस कुछ निशानों पर लिखा होता है, और बाकी हमें खुद निकालना होता है। और ये निकाला जा सकता है। किन्हीं 2 लिखे हुए निशानों से पता चलता है कि एक कदम कितने का है — और कदम पता हो, तो पूरी number line तय हो जाती है।

यानी ये अंदाज़े का खेल नहीं है। पहले कदम पढ़ो, फिर गिनो। यहाँ एक number line है, जिस पर 10 निशान हैं — 1000, 2000, 3000, और ऐसे ही 10000 तक। हर 1000 पर एक निशान है। इसलिए पास-पास के 2 निशानों के बीच का हर टुकड़ा 1000 का है। और हर टुकड़े के अंदर 999 पूरी संख्याएँ रहती हैं, जिनका अपना कोई निशान नहीं। इसलिए किसी संख्या को रखना असल में 2 सवाल हैं।

पहला, वो किस टुकड़े में है? और दूसरा, उस टुकड़े में कितनी दूर? ज़्यादातर लोग पहले सवाल का जवाब देकर रुक जाते हैं, और दूसरा भूल जाते हैं। अब 2 संख्याएँ पहले से रखी हुई हैं — 2180 और 2754। और देखो, दोनों कहाँ गिरती हैं। 2000 और 3000 के निशानों के बीच — एक ही टुकड़े में। यानी सिर्फ़ टुकड़ा बताना जवाब नहीं है। हमें बताना होगा कि उसके अंदर कहाँ।

चलो इस टुकड़े को बड़ा करके देखते हैं। बायाँ सिरा 2000, दायाँ सिरा 3000, और बीच में 1000 की दूरी। अब 2180 कहाँ है? वो बाएँ सिरे से 180 आगे है — 1000 में से 180। और 180, 200 से भी कम है — यानी पूरे टुकड़े के पाँचवें हिस्से से भी कम। तो 2180, 2000 के निशान के ठीक पास बैठता है। और ज़्यादा सटीक चाहिए? टुकड़े को 100-100 के 10 हिस्सों में बाँटो।

2180 दूसरे हिस्से में है — 100 और 200 के बीच, 200 के थोड़ा पास। बीच में बिल्कुल नहीं। लोग संख्या को टुकड़े के बीच में रख देते हैं, क्योंकि बीच ढूँढना आसान है। पर सवाल पूछो — कितनी दूर? अब 2754। ये बाएँ सिरे से 754 आगे है, 1000 में से। और 754, 750 से भी आगे है — यानी टुकड़े के 4 में से 3 हिस्से पार। ये 2000 से कहीं ज़्यादा 3000 के पास है।

और 100-100 वाले हिस्सों में देखें, तो 2754 आठवें हिस्से में है — 700 और 800 के बीच, उसके बीच से थोड़ा आगे। ध्यान दो, हमने कुछ नापा नहीं। बस आखिरी 3 अंक पढ़े, और वही बाएँ निशान से दूरी निकली। ये इसलिए चलता है कि हर टुकड़ा ठीक 1000 का है। हमारी सारी 11 संख्याओं के लिए यही तरीका काम करता है। अब 9 और संख्याएँ रखनी हैं — 1500, 3600, 9950, 9590, 1050, 3050, 5030, 5300 और 8400।

ये जोड़ियों में आती हैं। 1050 और 1500, दोनों 1000 और 2000 के बीच — एक 50 आगे, और दूसरा 500 आगे, यानी ठीक बीच में। फिर 3050 और 3600, दोनों 3000 और 4000 के बीच — एक 50 आगे, दूसरा 600 आगे। और 5030 और 5300 भी एक ही टुकड़े में — एक सिर्फ़ 30 आगे, दूसरा 300 आगे। और 8400, 8000 और 9000 के बीच अकेला, 400 आगे।

एक ही टुकड़ा, पर अंदर बिल्कुल अलग-अलग जगहें। यही दिखाना था। और उल्टा भी देखो — 1050 और 3050, दोनों अपने-अपने टुकड़े में 50 आगे हैं। अलग टुकड़े, पर अंदर एक ही जगह। अब सबसे दिलचस्प जोड़ी — 9590 और 9950। दोनों में वही 4 अंक हैं — 9, 9, 5 और 0। तो क्या ये पास-पास होंगी? दोनों आखिरी टुकड़े में हैं, 9000 और 10000 के बीच। तो सीधे दूसरे सवाल पर चलो — कितनी दूर?

9590, 590 आगे है — आधे से थोड़ा आगे। और 9950, 950 आगे है — लगभग आखिर में। और 9590 किसके पास है? 9000 से 590 दूर, और 10000 से सिर्फ़ 410। यानी वो भी 10000 के ज़्यादा पास है। यानी दोनों में 360 का फ़ासला है — पूरे टुकड़े के तिहाई से भी ज़्यादा। एक जैसे अंक होने से पास होना नहीं आता। और 5030 और 5300 में भी यही है — वही अंक, वही टुकड़ा, पर 270 का फ़ासला।

number line पर अंकों का क्रम ही दूरी बनकर दिखता है। अब इन 11 संख्याओं को एक ही number line पर रखो। बाएँ से दाएँ पढ़ो, तो वो छोटे से बड़े क्रम में आ जाती हैं। सबसे बाईं, यानी सबसे छोटी, 1050 है। और सबसे दाईं, यानी सबसे बड़ी, 9950। पूरा क्रम ऐसे पढ़ा जाता है — 1050, 1500, 2180, 2754, 3050, 3600, 5030, 5300, 8400, 9590, और 9950। number line पर क्रम लगाना हिसाब नहीं रहता — बस देखना रह जाता है।

अब खेल उल्टा। 4 number line हैं, हर एक पर 10 निशान, पर लिखे हुए सिर्फ़ 2 या 3। पहली पर लिखा है 2010 और 2020, और दोनों के बीच 2 कदम हैं। तो 2 कदमों में 10 बढ़े। यानी एक कदम है 10 भाग 2 — 5। अब बाकी सब अपने आप भर जाता है — बाईं ओर 2005, फिर 2015, 2025, और ऐसे ही 2050 तक। आखिरी निशान की जाँच भी कर लो।

पहले से आखिरी तक 9 कदम हैं, तो 2005 में 9 गुणा 5 जोड़ो — 2050, यानी ठीक आखिरी निशान। और ध्यान दो, ये number line 0 से शुरू नहीं होती। पहला निशान 2005 है। दूसरी पर 9996 और 9997, ठीक पास-पास। तो कदम है 1। अब आगे चलो — 9998, 9999, और फिर 10000। यहाँ अंक 4 से 5 हो गए, पर निशानों के बीच की दूरी बिल्कुल नहीं बदली।

कदम अब भी 1 का ही है। इस number line पर 5 निशानों की संख्याएँ 4 अंकों की हैं, और 5 की 5 अंकों की — पर सब एक-एक कदम की दूरी पर। बहुत लोग सोचते हैं कि 10000 पर कुछ बड़ा होता है। कुछ नहीं होता — सिर्फ़ लिखने का तरीका बदलता है। तीसरी पर 15077 और 15078, पास-पास। तो कदम फिर से 1। पर यहाँ एक तीसरा लेबल भी है — 15083, जो 15078 से 5 निशान आगे है।

हमें इसकी ज़रूरत नहीं थी, कदम तो पहले ही मिल गया। तो इसे जाँच की तरह इस्तेमाल करो — 15078 में 5 कदम जोड़ो, तो 15083। मेल खाता है। अब बाकी निशान भरो। बाईं ओर पहला निशान 15076, फिर एक-एक कदम आगे, और दाईं ओर आखिरी 15085। जब सवाल ज़रूरत से ज़्यादा जानकारी दे, तो वो एक मुफ़्त जाँच है। उसे हमेशा इस्तेमाल करो। चौथी पर 86705 और 87705, पास-पास।

घटाओ — कदम है 1000। भरो — सबसे पहले 85705, फिर 86705, 87705, 88705, और ऐसे ही दाएँ सिरे पर 94705। और पाँचवें और छठे निशान के बीच ये 90000 पार करती है — 89705, फिर 90705। आगे का अंक 8 से 9 हो गया, पर फ़ासला वही 1000 का है, बिल्कुल दूसरी number line की तरह। अब इसे दूसरी number line के पास रखो। दोनों बिल्कुल एक जैसी दिखती हैं — 10 निशान, बराबर दूरी पर।

पर एक में हर कदम 1 का है, और दूसरी में 1000 का। तस्वीर से कुछ पता नहीं चलता — सिर्फ़ लिखी हुई संख्याएँ बताती हैं। तो क्या एक ही लेबल काफ़ी हो सकता है? मान लो सिर्फ़ 2010 लिखा है। तो अगला निशान 2011 भी हो सकता है, 2015 भी, 2020 भी, और 3010 भी। एक लेबल बताता है कि हम कहाँ हैं, पर ये नहीं कि number line कितनी तेज़ी से बढ़ती है।

इसलिए कम से कम 2 लेबल चाहिए। अब आखिरी काम बचा है। हर number line पर सबसे छोटी संख्या पर गोला बनाओ, और सबसे बड़ी पर डिब्बा। अब ये आसान है, क्योंकि सब कुछ भरा हुआ है। सबसे छोटी मतलब सबसे बाईं, और सबसे बड़ी मतलब सबसे दाईं। पहली में 2005 और 2050, दूसरी में 9995 और 10004। तीसरी में 15076 और 15085, और चौथी में 85705 और 94705। चारों number line पर सबसे छोटी पहला निशान है, और सबसे बड़ी आखिरी।

आज की बात। number line पर सिर्फ़ वही लिखा होता है जो किसी ने लिखा। किन्हीं 2 लेबल से कदम मिलता है, और कदम से बाकी सब। और किसी संख्या को रखना मतलब — पहले टुकड़ा, फिर उसके अंदर कितनी दूर। एक जैसे अंक कुछ नहीं बताते, दूरी ही सब कुछ है। अब तुम्हारी बारी। एक number line पर 480 और 520 लिखे हैं, और दोनों के बीच 4 कदम हैं।

तो एक कदम कितने का है, और 520 के बाद वाला निशान कौन सा है? अपने जवाब comments में लिखना।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

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