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Chapter 4 · Data Handling and Presentation

Tally marks और frequency: data को ऐसे व्यवस्थित करना कि वह पढ़ा जा सके

From a question to a table10 मिनट

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38 लोगों से पूछना है कि उन्हें 5 में से कौन सी चीज़ चाहिए, और जवाब एक-एक करके आएँगे — दोबारा पूछने का मौका नहीं। गिनती लिखते जाओ तो 38 जवाबों पर 42 अंक लिखने पड़ेंगे, और हर नया अंक पिछले को मिटाकर। लकीरें खींचो तो 38 लकीरें, और पहले से लिखा कुछ भी नहीं बदलता।

मुख्य idea

Tally का एक निशान numeral लिखने का आलसी तरीक़ा नहीं है — यह वह अकेला notation है जो तब काम करता है जब data अभी आ ही रहा हो और तुम्हें दोबारा देखने का मौक़ा न मिले। निशानों को पाँच-पाँच के समूह में बाँधने से ही ऐसा record दोबारा गिने बिना पढ़ा जा सकता है, और आख़िर में उससे जो number निकलता है उसका अपना नाम है, frequency, क्योंकि वह "इनमें से कितने" का जवाब देता है, "कितना" का नहीं। इसलिए व्यवस्थित करना सिर्फ़ सजाना नहीं है: यह वह क़दम है जो किसी record को ऐसी चीज़ में बदल देता है जिससे सवाल पूछा जा सके, और व्यवस्थित करने का हर तरीक़ा तय करता है कि तुम आगे क्या पूछ सकते हो। जूतों के sizes को छाँटने से सत्ताईस के सत्ताईस माप बचे रहते हैं और सिर्फ़ वह क्रम खोता है जिसमें वे आए थे; frequency table गिनतियाँ रखती है और यह खो देती है कि किसने क्या चुना।

आपको क्या आना चाहिए

  • tally marks से चलती हुई गिनती दर्ज करना, हर पाँचवें निशान पर समूह बाँधते हुए
  • tally के बँधे हुए समूह को निशान दोबारा गिने बिना number की तरह पढ़ना
  • tally marks से frequency table पूरी करना और हर frequency बताना
  • frequency को किसी value या category के आने की गिनती के रूप में परिभाषित करना
  • किताब के अपने मिठाई वाले सवाल से समझाना कि frequency table किस काम आती है और वह अब क्या नहीं बता सकती
  • मापों के एक set को ascending order में रखना और उसमें से सबसे बड़ा, सबसे छोटा, और किसी दी गई value वाले कितने हैं, यह पढ़ना
  • क्रम में रखे data से "4 से बड़े कितने हैं?" का जवाब देना और बताना कि क्रम की वजह से यह जल्दी क्यों हुआ
  • किसी दिए गए सवाल के लिए क्रम वाली सूची और frequency table में से चुनना, और चुनाव को सही ठहराना

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक पंक्ति में अर्थहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ
tally markएक observation के लिए एक निशान, और हर पाँचवाँ निशान पिछले चार के आर-पार खींचा जाता हैमिलान चिह्नइसी chapter में छपा, p.76
frequencyकोई value, माप या observation कितनी बार आता है, उसकी गिनतीबारंबारताइसी chapter में छपा, p.77 पर परिभाषित
frequency distribution tableऐसी table जिसमें हर category या value अपनी frequency के बगल में लिखी होबारंबारता सारणीइसी chapter में छपा, p.95
ascending orderसबसे छोटे से सबसे बड़े की ओर रखा हुआआरोही क्रमइसी chapter में छपा, p.77
categoryनाम वाले समूहों में से एक, जिसमें कोई data value आ सकती हैवर्गइसी chapter में छपा, p.83
dataचीज़ों के बारे में दर्ज कुछ भी जो उनके बारे में कुछ बताता हैआँकड़ेTurning an argument into a question you can settle with data; p.74 पर परिभाषित
bundle of fiveपाँच tally निशानों का कटा हुआ समूह — इसके लिए व्याख्या का अपना नाम; किताब आर-पार खींचने का वर्णन करती है पर समूह को कोई संज्ञा नहीं देतीपाँच का समूहव्याख्या का अपना शब्द; इस chapter में नहीं छपा
one-pass countingचीज़ों को आते-आते गिनना, पीछे लौटने के किसी मौक़े के बिना — जिस स्थिति के लिए tallies बनी हैं, उसके लिए व्याख्या का अपना नामएक बार में गिनतीव्याख्या का अपना शब्द; इस chapter में नहीं छपा

हिंदी column में आम चलन वाले standard NCERT हिंदी शब्द दिए गए हैं। ये इस chapter के किसी हिंदी संस्करण से नहीं लिए गए — Notes देखें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "Tally marks तो numbers लिखने का बचकाना तरीक़ा हैं।" वे ऐसी स्थिति के लिए हैं जिसे numerals ठीक से नहीं संभाल पाते — ऐसी गिनती जिसे तब बढ़ाना पड़ता है जब तुम्हारी नज़र कहीं और हो। आर-पार खींचा गया पाँचवाँ निशान सोच-समझकर रखी गई बनावट है, सजावट नहीं।
  • **"कटे हुए समूह का मतलब पाँच और।"** आर-पार वाला निशान ही पाँचवाँ है। एक समूह और एक अलग निशान छह हैं, सात नहीं। छपी हुई मिठाई वाली table पढ़ते समय यही सबसे आम चूक है।
  • "Frequency का मतलब है कि कोई चीज़ समय में कितनी बार होती है।" इस chapter में इसका मतलब किसी category या value के आने की गिनती है। नौ students ने gulab jamun चुना; इसमें समय की कोई बात नहीं।
  • "frequency table मिल गई तो सारा data मिल गया।" p.77 पर किताब ख़ुद निर्णायक सवाल पूछती है: मिठाई वाली table यह नहीं बता सकती कि किस बच्चे को कौन-सी मिठाई चाहिए थी। सार बनाने में जानकारी खोती है — जान-बूझकर, और तुम्हें पता होना चाहिए कि तुमने कौन-सी जानकारी खोना चुना है।
  • "data को क्रम में रखने से वह बदल जाता है।" सत्ताईस जूतों के sizes को छाँटने से न कुछ जुड़ता है, न कुछ हटता है। इससे बस बराबर values एक-दूसरे के बगल में आ जाती हैं, ताकि गिनने के लिए हर बार पूरा board न देखना पड़े।
  • "'4 से बड़ा' में 4 भी शामिल है।" नहीं है। पंद्रह students, चौबीस नहीं, 4 से ऊपर का size पहनते हैं — यहीं क्रम वाले data को लापरवाही से पढ़ने पर चुपचाप ग़लती हो जाती है।
  • "data को व्यवस्थित करने का एक ही सही तरीक़ा है।" किताब की अपनी Math Talk दूसरी व्यवस्थाएँ माँगती है। कौन-सा तरीक़ा सही है, यह सवाल पर निर्भर करता है।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 2 Q1, Figure it Out · 2 Q2, Figure it Out · 3 Q1, Figure it Out · 3 Q2, Figure it Out · 3 Q3, Figure it Out · 3 Q4, Figure it Out · 6 Q3, Figure it Out · 6 Q4

पूरा transcript1,575 शब्द

board पर 5 चीज़ें लिखी हैं, और तय ये हुआ है कि हर व्यक्ति इनमें से एक माँगेगा। अब सही संख्या में चीज़ें लानी हैं। इसके लिए ये पता होना चाहिए कि किस चीज़ को कितने लोगों ने चुना। और जवाब एक-एक करके आएँगे, रुक-रुक कर। दोबारा पूछने का मौका नहीं मिलेगा — जो उस वक़्त लिखा गया, बस वही रह जाएगा। ये वाली हालत रोज़ आती है: कोई बोल रहा है और तुम्हें उसी वक़्त लिखना है, बाद में नहीं।

तो सवाल ये है — जब जवाब आते ही जा रहे हों, तब गिनती कैसे रखी जाए? पहली नज़र में लगता है कि गिनती लिखते जाओ — जितने हुए उतना लिख लो, फिर अगला जवाब आए तो बदल लो। पर इसका मतलब है कि 38 जवाबों पर तुम्हें 42 अंक लिखने पड़ेंगे, और हर नया अंक पिछले को मिटाकर लिखा जाएगा। और हर बार मिटाना यानी ग़लती की एक और जगह।

ख़ासकर तब जब तुम्हारा ध्यान सामने वाले पर हो, कागज़ पर नहीं। एक बार ग़लत लिख गया तो आगे की सारी गिनती उसी ग़लती पर चलती रहेगी, और पता भी नहीं चलेगा। दूसरा तरीका ये है कि हर जवाब पर सिर्फ़ एक लकीर खींच दो। 38 जवाब, 38 लकीरें, और पहले से लिखा हुआ कुछ भी नहीं बदलता। सिर्फ़ जुड़ता जाता है। यही वजह है कि ये तरीका ऐसी गिनती के लिए बना है जिसे दोबारा नहीं देखा जा सकता।

पर एक दिक़्क़त है। लकीरें लंबी कतार में हो जाएँ तो उन्हें देखकर संख्या नहीं पढ़ी जाती — हर बार दोबारा गिननी पड़ती है। इसका हल ये है, और ये जान-बूझकर बनाया गया है। पहली 4 लकीरें सीधी खींचो, एक के बाद एक। और जो 5वीं लकीर आए, उसे उन चारों के आर-पार तिरछा खींच दो। अब ये पूरा कटा हुआ समूह 5 का हो गया। इसे गिनना नहीं पड़ता, देखते ही पता चल जाता है।

और आगे की लकीरें इसी के बगल से शुरू होती हैं, तो कतार कितनी भी लंबी हो, पढ़ने में दिक़्क़त नहीं होती। यहाँ एक कटा हुआ समूह है, और उसके बगल में एक अकेली लकीर। यहाँ अक्सर ग़लती होती है। लोग सोचते हैं कि समूह में 4 लकीरें दिखीं, फिर काटने वाली, फिर अकेली — तो 7 हुए। पर ऐसा नहीं है। जो लकीर आर-पार खींची गई, वो 5वीं लकीर ही है, कोई अलग निशान नहीं।

इसलिए समूह 5 का हुआ, और उसके साथ एक लकीर — कुल 6। 7 नहीं। इसी तरह 2 समूह और 3 अकेली लकीरें मिलकर 13 होते हैं — 5 और 5 और 3। यहाँ भी गिनना नहीं पड़ा, सिर्फ़ समूह देखे और जोड़ लिया। अब सारे जवाब आ चुके हैं और board पर लकीरों के रूप में लिखे हैं। 2 कतारें पढ़ी जा चुकी हैं — एक समूह और एक लकीर यानी 6, और एक समूह और 4 लकीरें यानी 9।

बाकी 3 कतारें भी इसी तरह पढ़ो। 2 समूह और 3 लकीरें यानी 13, सिर्फ़ 3 लकीरें यानी 3, और एक समूह और 2 लकीरें यानी 7। तीनों संख्याएँ लकीरों से निकलीं, कहीं से याद करके नहीं लिखी गईं। ध्यान दो कि इनमें से एक भी लकीर दोबारा गिननी नहीं पड़ी। समूह देखकर संख्या सीधे पढ़ ली गई। अब आख़िरी खाने की सारी संख्याएँ जोड़ो। 13 और 9 और 7 और 6 और 3 — जोड़ पर 38 आता है।

और जवाब भी 38 लोगों ने ही दिए थे। दोनों संख्याएँ मिल गईं, यानी न कोई छूटा, न किसी को 2 बार गिना गया। ये जाँच हर बार करनी चाहिए। अगर जोड़ मेल न खाए, तो कहीं न कहीं गड़बड़ है और उसे तभी पकड़ लेना बेहतर है। उस आख़िरी खाने में जो संख्या लिखी है, उसका एक नाम है। इसे बारंबारता कहते हैं। किसी चीज़ की बारंबारता यानी वो कितनी बार आई।

यहाँ एक ग़लतफ़हमी से बचना है। बारंबारता का मतलब ये नहीं कि कोई चीज़ समय के साथ कितनी बार होती है। इसका मतलब सिर्फ़ इतना है कि गिनने पर वो चीज़ कितनी बार मिली। 9 लोगों ने एक चीज़ चुनी — 9 उसकी बारंबारता है। और इन गिनतियों की पूरी सारणी को बारंबारता सारणी कहते हैं। इस सारणी से वो काम हो जाएगा जिसके लिए बनाई थी — हर चीज़ सही संख्या में आ जाएगी।

पर एक सवाल और पूछो — क्या ये सारणी बता सकती है कि किसने कौन सी चीज़ माँगी थी? नहीं बता सकती। सारणी में सिर्फ़ गिनतियाँ हैं, नाम नहीं। और कितनी जानकारी चली गई, ये गिना भी जा सकता है। सोचो कि किस-किस तरह से जवाब आ सकते थे कि यही सारणी बनती। ऐसे तरीकों की संख्या इतनी बड़ी है कि उसे board पर लिखने में ही 23 अंक लग जाते हैं।

इन सबमें फ़र्क सिर्फ़ इस बात का है कि किसने क्या माँगा — और वही बात सारणी ने छोड़ दी। किसी भी सारांश में कुछ न कुछ छूटता ही है। बात ये नहीं कि छूटा — बात ये है कि तुम्हें पता हो कि क्या छोड़ा जा रहा है। अब एक और तरह के आँकड़े देखो। board पर 27 माप लिखे हैं, उसी क्रम में जिस क्रम में बोले गए थे।

इन्हें देखकर बताओ — सबसे बड़ा माप कौन सा है, और कितनों का वही है? ये काम मुश्किल है। हर सवाल के लिए पूरे 27 माप दोबारा देखने पड़ते हैं, और हर बार कोई न कोई छूट जाता है। और अगर अगला सवाल अलग हो, तो फिर से पूरे 27 देखो। यही वो हालत है जिसे व्यवस्थित करना ख़त्म करता है। तो इन्हीं मापों को क्रम में लगाओ — सबसे छोटे से सबसे बड़े तक।

यहाँ ध्यान दो — क्रम में लगाने से आँकड़े बदले नहीं। न कोई माप जुड़ा, न कोई हटा। वही 27 माप हैं। बस इतना हुआ कि एक जैसे माप अब आपस में साथ बैठ गए। और इसी से पढ़ना आसान हो जाता है। अब दोनों सिरे देखो। दाएँ सिरे पर सबसे बड़ा माप है, 7, और बाएँ सिरे पर सबसे छोटा, 3। ढूँढना नहीं पड़ा। फिर सबसे लंबी कतार देखो।

5 वाले माप 10 हैं, और यही सबसे ज़्यादा हैं। हर कतार अपनी गिनती दे देती है — 3 वाले 3, 4 वाले 9, 5 वाले 10, 6 वाले 4 और 7 वाला सिर्फ़ 1। और इन्हें जोड़ो तो 27 ही आता है। वही जाँच, दोबारा। अब एक सवाल जो अक्सर ग़लत हो जाता है। कितने माप 4 से बड़े हैं? जल्दबाज़ी में लोग 4 वाली कतार से गिनना शुरू कर देते हैं और जवाब 24 आ जाता है।

पर 4 से बड़ा होने का मतलब 4 शामिल नहीं है। जो माप 4 ही है, वो 4 से बड़ा नहीं है। इसलिए गिनती 4 वाली कतार के बाद से शुरू होगी, और जवाब 15 है। 24 और 15 का फ़र्क 9 है — और 4 वाले माप भी ठीक 9 ही हैं। पूरी ग़लती बस उसी कतार की थी। अब इन्हीं आँकड़ों के 2 रूप साथ-साथ रखो — क्रम में लगी कतार, और बारंबारता सारणी।

क्रम वाली कतार में तीनों बातें बची हैं — पूरे 27 माप अब भी मौजूद हैं। सिर्फ़ एक चीज़ गई — वो क्रम जिसमें माप बोले गए थे। और वो कितने तरीकों का था, ये भी गिना जा सकता है। इन्हीं 27 मापों के बोले जाने के इतने अलग क्रम हो सकते थे कि उस संख्या में ही 14 अंक लगते हैं, और अब उनमें से कौन सा था, ये नहीं बताया जा सकता।

और सारणी में सिर्फ़ 5 संख्याएँ बचती हैं, जहाँ कतार में 27 माप थे। तो कौन सा तरीका सही है? ये सवाल पर निर्भर करता है। जो सवाल पूछना है, वही तय करता है कि किस रूप में आँकड़े रखे जाएँ। अब अगर तुम्हें ख़ुद ऐसी सारणी बनानी हो, तो पहला काम लकीर खींचना नहीं है। पहला काम ये तय करना है कि कतारें कौन सी होंगी। अगर बीच में कोई नई कतार जोड़नी पड़े, तो उससे पहले के सारे जवाब उसमें दर्ज ही नहीं हुए, और अब उन्हें वापस लाने का कोई रास्ता नहीं।

इसलिए कतारें ऐसी चुनो कि हर आने वाला जवाब उनमें से ठीक एक में जाए — न 2 कतारों में गिना जाए, न किसी के बाहर रह जाए। इसके बाद ही लकीर खींचनी शुरू करो, और हर जवाब पर उसी वक़्त, बाद में नहीं। अब एक ख़ुद बनाओ। एक पासा लो और उसे 30 बार फेंको। हर फलक के लिए एक कतार बनाओ, और जैसे ही पासा गिरे, उसी कतार में एक लकीर खींच दो।

यहाँ एक बार के आँकड़े हैं। लकीरें पढ़ने पर गिनतियाँ मिलती हैं — 4, 4, 5, 6, 4 और 7। इन्हें जोड़ो तो 30 आता है, यानी उतना ही जितनी बार पासा फेंका था। यानी जाँच पूरी हुई और कोई फेंक छूटा नहीं। और अब सारणी बोलने लगती है। एक फलक सबसे ज़्यादा बार आया — 7 बार। और 3 फलक सबसे कम पर बराबरी पर हैं, हर एक 4 बार।

इतना सब उन्हीं लकीरों से निकला जो फेंकते वक़्त खींची गई थीं। पीछे मुड़कर देखो। हर जवाब के लिए एक लकीर, और हर 5वीं लकीर बाकी चारों के आर-पार। ये इसलिए चलता है क्योंकि इसमें कुछ मिटाना नहीं पड़ता। जो लिखा गया वो वहीं रहता है, बस आगे जुड़ता जाता है। और उससे जो गिनती निकलती है, उसे बारंबारता कहते हैं। खाने को जोड़कर मिलाना मत भूलना — जोड़ उतना ही आना चाहिए जितने आँकड़े लिए गए थे।

और सबसे बड़ी बात — आँकड़ों को व्यवस्थित करना सिर्फ़ साफ़-सुथरा करना नहीं है। हर तरीका ये तय करता है कि आगे कौन से सवाल पूछे जा सकेंगे और कौन से नहीं। इसलिए व्यवस्थित करने से पहले ये सोच लेना पड़ता है कि पूछना क्या है।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

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