PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 8 Mathematics · Chapter 4, Exploring Some Geometric ThemesPrepShorts

Chapter 4 · Exploring Some Geometric Themes

Isometric projection: वह स्थिति जो सारे edges बराबर रखती है

Drawing a solid on flat paper13 मिनट

यह video load नहीं हो सकी. फिर से कोशिश करने के लिए page reload करें.

Sign in with Google

13 min.

यह lesson English में भी है.Englishहिन्दी

कक्षा 8 की सभी Hindi videos · सभी Hindi videos

घन को किसी फलक या किनारे की ओर से देखिए, तो उसके 12 बराबर किनारे परछाईं में बराबर नहीं दिखते; 13 में से सिर्फ़ 4 दिशाएँ ईमानदार हैं, और वो ठीक कोने से कोने वाली lines हैं।

मुख्य idea

projection आम तौर पर लंबाई की जानकारी को असमान ढंग से नष्ट करता है — कुछ edges दूसरों से ज़्यादा छोटे होते हैं, और फिर drawing इस बारे में झूठ बोलती है कि ठोस के कौन-से हिस्से बड़े हैं। cube के लिए एक ऐसी स्थिति है जहाँ यह नाइंसाफ़ी ग़ायब हो जाती है: उसे एक कोने पर संतुलित कीजिए और बारहों edges एक ही लंबाई के segments में projected होते हैं। वजह symmetry है, क़िस्मत नहीं। उस कोने से होकर जाने वाले diagonal के चारों ओर cube को एक-तिहाई चक्कर घुमाने से cube अपने ऊपर ही आ जाता है जबकि तीनों edge दिशाएँ आपस में अदल-बदल जाती हैं, और जो हलचल cube को बदलती नहीं वह यह नहीं बदल सकती कि edges कितने लंबे दिखते हैं। तीनों दिशाओं के साथ बराबर बर्ताव ही बनने वाली तस्वीर — एक regular hexagon — को इतना भरोसेमंद बनाता है कि उस पर नापा जा सके, और इसीलिए engineers इसी तरह बनाते हैं।

आपको क्या आना चाहिए

  • बताइए कि cube के edges की projected लंबाइयों के हिसाब से किसी projection को isometric क्या बनाता है
  • शब्द isometric का मूल समझाइए और उसे इस गुण से जोड़िए
  • वह स्थिति बताइए जो इसे पैदा करती है — एक कोने पर संतुलित cube, फ़र्श पर projected
  • symmetry वाली दलील दीजिए कि उस कोने पर तीनों edge दिशाओं का projection बराबर लंबाई का क्यों होना चाहिए
  • cube के isometric projection की outline को regular hexagon की तरह पहचानिए और बताइए कि उसकी छह sides क्यों हैं
  • समझाइए कि उस hexagon के छह भीतरी segments क्या हैं — तीन पास वाले कोने से, तीन दूर वाले से — और अपारदर्शी cube उनमें से सिर्फ़ तीन को ठोस line की तरह क्यों दिखाता है जबकि काँच का cube छहों को
  • समझाइए कि plane को hexagons से tile करने पर isometric grid कैसे बनता है
  • grid की तीनों मुख्य दिशाओं के नाम बताइए और हर एक को ठोस की किसी दिशा से मिलाइए
  • बताइए कि isometric drawing क्या वापस दिलाती है जो एक अकेला front view खो देता है, और क्या वह अब भी वापस नहीं दिलाती

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक पंक्ति में अर्थहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ
isometricऐसे projection का वर्णन जिसमें cube के सारे edges बराबर लंबाइयों में projected हों; Greek में बराबर माप सेसममापीइसी chapter में छपा (Part II, §4.2, p.97, मोटे अक्षरों में)
isometric projectioncube का वह projection, और विस्तार से उसी स्थिति में किसी भी ठोस कासममापी प्रक्षेपइसी chapter में छपा (Part II, §4.2, p.97)
isometric gridplane को regular hexagons से tile करने पर मिलने वाला gridसममापी ग्रिडइसी chapter में छपा (Part II, §4.2, p.97, मोटे अक्षरों में)
regular hexagonछह sides वाला polygon जिसकी सारी sides और सारे कोण बराबर होंसम षट्भुजइसी chapter में छपा (Part II, §4.2, p.97)
projectionकिसी plane पर perpendiculars डालकर बनी वस्तु की छविप्रक्षेपइसी chapter में छपा (Part II, §4.2, pp.88, 97)
orientationprojection वाले plane के सापेक्ष ठोस किस तरह घुमाया गया हैअभिविन्यासइसी chapter में छपा (Part II, §4.2, pp.89, 97)
corner vertexवह vertex जिस पर cube संतुलित हैकोने का शीर्षइसी chapter में छपा (Part II, §4.2, p.97)
length, depth, heightवे तीन मुख्य दिशाएँ जिनके साथ grid नापता हैलंबाई, गहराई, ऊँचाईइसी chapter में छपा (Part II, §4.2, p.98, तीनों text में और Fig. 4.7 पर एक साथ नाम लिए हुए)
space diagonalcube के दो आमने-सामने के vertices को जोड़ने वाला segmentविकर्णइस पाठ का शब्द; chapter पाठक से cube को एक vertex पर संतुलित करवाता है, जिससे यह line तय हो जाती है, और उसे नाम नहीं देता
foreshorteningprojection में किसी लंबाई का छोटा हो जानापूर्वसंक्षेपणइस पाठ का शब्द, इस chapter में नहीं छपा

Hindi column में standard Hindi गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash कक्षा 8 का Hindi संस्करण नहीं देखा गया, इसलिए इन शब्दों को standard शब्दावली मानें, उस संस्करण के ठीक-ठीक शब्द नहीं।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "Isometric का मतलब है drawing scale से बनी है।" इसका मतलब है कि तीनों axis दिशाओं के साथ बराबर बर्ताव होता है — सारे edges एक ही factor से छोटे होते हैं, बिना किसी factor के नहीं। एक unit का edge एक unit लंबाई में projected नहीं होता; वह एक के लगभग 0.816 में projected होता है। बराबर, अपरिवर्तित नहीं।
  • "तीन faces इसलिए दिखते हैं कि cube पारदर्शी है।" तीन faces इसलिए दिखते हैं कि छह में से तीन दूसरी ओर मुँह किए हैं। पारदर्शिता दूर वाले कोने के तीन edges जोड़ती है, जो ठीक वही अतिरिक्त चीज़ है जिसका chapter ज़िक्र करता है।
  • "hexagon regular है क्योंकि तस्वीर regular दिखती है।" वह regular इसलिए है कि बारहों edges बराबर projected होते हैं और इसलिए कि बनावट में तिगुनी symmetry है। दोनों आधे ज़रूरी हैं: अकेली बराबर sides बराबर कोणों पर मजबूर नहीं करतीं।
  • "cube का कोई भी झुका हुआ दृश्य isometric है।" लगभग कोई नहीं। एक अकेले axis के चारों ओर झुकाइए तो rectangle मिलता है; आम तौर पर झुकाइए तो असमान hexagon मिलता है। अनगिनत स्थितियों में से isometric एक ख़ास स्थिति है, इसीलिए chapter उस तक पहुँचने का तरीक़ा बताने की मेहनत करता है।
  • "hexagon के भीतर की तीन solid lines diagonals हैं।" वे cube के edges हैं — वे तीन जो student के सबसे पास वाले कोने पर मिलते हैं; तीन dashed lines दूर वाले कोने के छिपे हुए edges हैं। उन्हें hexagon के diagonals कहने से तस्वीर की पूरी पढ़त खो जाती है।
  • "Isometric drawing ठोस को पूरा दिखाती है।" वह तीनों दिशाएँ एक साझा scale पर दिखाती है, जो किसी भी अकेले view से ज़्यादा है। वह अब भी नहीं बता सकती कि भीतर या पीछे क्या छिपा है, और जो व्याख्या इसे बढ़ा-चढ़ाकर बताती है वह अगले topic को नाकाम होने के लिए तैयार करती है।
  • "'Isometric' इस तरह की तस्वीर का बस एक नाम है।" यह Greek में एक गुण का वर्णन है: बराबर माप। नाम ही प्रमेय कहता है।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 5 Q6

पूरा transcript2,093 शब्द

किसी ठोस चीज़ को रोशनी में रखिए, तो फ़र्श पर उसकी परछाईं बनती है। परछाईं चीज़ को चपटा कर देती है, अंदर 3 दिशाएँ जाती हैं और बाहर सिर्फ़ 2 आती हैं, यानी कोई 1 दिशा खोनी ही है। पर ये नुकसान एक जैसा नहीं होता, कोई दिशा ज़्यादा खोती है, और कोई दिशा कम। एक डिब्बे को एक तरह से घुमाइए, तो उसकी लंबाई पूरी दिखती है, पर गहराई सिकुड़ जाती है।

उसे दूसरी तरह घुमाइए, तो गहराई पूरी की पूरी गायब हो जाती है। असली नुकसान यही असमानता है, चित्र कहता है कि एक हिस्सा दूसरे से बड़ा है, जबकि ठोस में दोनों बराबर हैं। इसलिए सवाल ये नहीं कि परछाईं छोटा करना बंद करे, सवाल ये है कि क्या ठोस को ऐसे पकड़ा जा सकता है, कि छोटा करना सबके साथ बराबर हो? एक घन लीजिए, उसके 12 किनारे हैं, 12 में से 12 एक ही लंबाई के, और उसके 8 कोने और 6 फलक हैं।

पहले एक छोटा सवाल, इसकी परछाईं किन-किन आकारों की हो सकती है? एक फलक को फ़र्श के समांतर रखिए, तो परछाईं एक square बनती है। ऊँचाई पूरी गायब है, 12 में से 4 किनारे सिकुड़कर एक बिंदु बन जाते हैं, और 8 कोने सिर्फ़ 4 बिंदुओं पर गिरते हैं। अब घन को झुकाकर एक किनारे पर टिकाइए, परछाईं एक आयत बनती है, 12 में से 4 किनारे पूरी लंबाई रखते हैं, और 8 छोटे हो जाते हैं।

इस आयत की भुजाएँ 2 अलग लंबाइयों की हैं, छोटी भुजा किसी किनारे की परछाईं है, और लंबी भुजा किसी फलक के आर-पार के विकर्ण की। और उसे किसी भी बेतरतीब तरीके से घुमाइए, तो परछाईं 6 भुजाओं वाली बनती है, पर टेढ़ी-मेढ़ी, उसकी भुजाएँ 3 अलग लंबाइयों की निकलती हैं। देखिए, 12 बराबर किनारे, और कागज़ पर 4 किनारे एक लंबाई के, 4 दूसरी लंबाई के, और 4 तीसरी के, यही है वो झूठ, चित्र की शक्ल में।

इससे पता चलता है कि ईमानदार परछाईं कैसी होनी चाहिए। घन का हर किनारा एक ही लंबाई का है, इसलिए ईमानदार परछाईं वो है, जिसमें कागज़ पर भी हर किनारा एक ही लंबाई का दिखे, और ऐसा 12 में से 12 किनारों पर। ध्यान रहे, ये एक माँग है, कोई वर्णन नहीं, और हो सकता है इसका कोई जवाब ही न हो। जो परछाईं ये माँग पूरी करे, उसका एक नाम है, isometric, यूनानी भाषा में इसका मतलब है, बराबर नाप।

ये नाम चित्र बनाने के किसी ढंग का लेबल भर नहीं है, ये पूरा दावा है, कि नाप बराबर हैं। तो क्या घन को कभी इस तरह पकड़ा जा सकता है? पर एक बात पहले साफ़ कर लें, बराबर का मतलब ज्यों का त्यों नहीं है। परछाईं किसी किनारे को कभी लंबा नहीं करती, 13 दिशाओं और 12 किनारों की कुल 156 जोड़ियाँ जाँचिए, 156 में से 156 में लंबा नहीं।

पूरी लंबाई तभी बचती है, जब किनारा रोशनी की दिशा से 90 का कोना बनाए, और ऐसा 156 में से 48 जोड़ियों में होता है। और ईमानदार परछाईं में 12 में से 12 किनारे, अपने असली किनारे से छोटे होते हैं। उसे ईमानदार बनाती है ये बात, कि सब बराबर मात्रा में छोटे होते हैं। आपको लग सकता है कि isometric मतलब असली नाप का चित्र, पर इसका मतलब है, कि 3 दिशाओं के साथ एक जैसा बर्ताव हो।

इसलिए उससे असली नाप की उम्मीद मत रखिए, बस इतनी उम्मीद रखिए, कि वो अनुपात के बारे में सच बोले। अब वो तरीका, जिसे अंदाज़े से ढूँढना मुश्किल है, पर बताना आसान। घन को एक फलक पर रखिए। फिर उसे झुकाकर एक किनारे पर टिकाइए। और झुकाते जाइए, जब तक वो सिर्फ़ 1 कोने पर खड़ा न हो जाए, और उसका ठीक उल्टा कोना सीधे उसके ऊपर हो। अब उसकी परछाईं सीधे नीचे फ़र्श पर गिरने दीजिए।

रास्ते भर परछाईं बदलती है, पहले square, फिर आयत, और संतुलन के पल में 6 भुजाओं वाली एक आकृति, जो शक की हद तक सुडौल दिखती है। दावा ये है कि अब फ़र्श पर 12 में से 12 किनारे एक ही लंबाई के हैं, और एक भी गायब नहीं। पर दिखना काफ़ी नहीं, ऐसा होना क्यों चाहिए? पहले ये देखें कि ये तरीका कितना ख़ास है। घन के बीच से देखने की दिशाएँ लीजिए, किसी फलक के बीच की ओर, किसी किनारे के बीच की ओर, या किसी कोने की ओर।

आमने-सामने वाले एक ही दिशा में पड़ते हैं, इसलिए 6 फलकों से 3 दिशाएँ बनती हैं, 12 किनारों से 6 दिशाएँ, और 8 कोनों से 4 दिशाएँ। कुल मिलाकर 3 जमा 6 जमा 4 बराबर 13 दिशाएँ। अब कुल 13 दिशाओं में से हर एक में परछाईं गिराकर जाँचिए, कि वो ईमानदार है या नहीं। फलक या किनारे की ओर से परछाईं में 4 भुजाएँ आती हैं, और कोने की ओर से 6 भुजाएँ।

फलक या किनारे की ओर वाली कोई भी दिशा ईमानदार नहीं निकलती, ईमानदार सिर्फ़ 13 में से 4 हैं, और वो ठीक कोनों वाली 4 दिशाएँ हैं। और कोने वाली दिशा, किसी कोने से उसके ठीक उल्टे कोने तक की line है, वही line जिस पर घन टिका है। यानी घन को लगभग किसी भी तरह झुकाइए, परछाईं बेईमान ही रहेगी, ईमानदारी दुर्लभ है। अब उस line को देखिए, जिस पर घन टिका है, फ़र्श वाले कोने से हवा वाले कोने तक।

घन को उसी line को धुरी मानकर घुमाइए, पूरे चक्कर का एक तिहाई। घन ठीक अपने ऊपर आ बैठता है, 8 में से 8 कोने किसी कोने की जगह पर पहुँचते हैं, line वाले 2 कोने अपनी जगह रहते हैं, और बाकी 6 खिसकते हैं। और 6 में से 6 फलक किसी फलक की जगह पर पहुँचते हैं। पर नीचे वाले कोने पर मिलने वाले 3 किनारों ने जगह बदल ली है, पहला दूसरे की जगह, दूसरा तीसरे की, और तीसरा पहले की।

और जिस line को धुरी मानकर घुमाया, वो सीधी खड़ी है, इसलिए रोशनी की दिशा नहीं बदली, और परछाईं भी नहीं हिली। परछाईं वही है, और पहला किनारा अब वहाँ है जहाँ दूसरा था, इसलिए दोनों की परछाइयाँ एक लंबाई की हैं, और दूसरे और तीसरे की भी। और 3 बार घुमाइए, तो हर कोना वापस अपनी जगह पर। घन का हर किनारा, नीचे वाले कोने के 3 किनारों में से किसी एक के समांतर है, हर एक के साथ 4, यानी 4 जमा 4 जमा 4 बराबर 12 किनारे।

और एक लंबाई के समांतर टुकड़ों की परछाइयाँ भी एक लंबाई की होती हैं, इसलिए 12 में से 12 बराबर। कुछ भी नापा नहीं गया, जवाब सिर्फ़ इस घुमाव की समरूपता से निकला। अब बाहरी घेरा, इसमें 6 भुजाएँ ही क्यों? टिकने वाली line की सीध में ऊपर से देखिए, 6 में से 3 फलक आपकी ओर झुके हैं, और 3 दूसरी ओर। हर किनारा ठीक 2 फलकों के बीच होता है, 12 में से 12 किनारे।

बाहरी घेरा वही किनारे बनाते हैं, जो दोनों खेमों के बीच फँसे हैं, एक तरफ़ आपकी ओर वाला फलक, दूसरी तरफ़ उल्टी ओर वाला। ऐसे किनारे गिने जाएँ, तो कुल 6 निकलते हैं, बाकी 12 घटा 6 बराबर 6 किनारों के दोनों फलक एक ही तरफ़ हैं। घेरे पर 6 किनारे, यानी 6 भुजाएँ, और हर भुजा घन का एक किनारा है, इसलिए 6 में से 6 भुजाएँ एक ही लंबाई की।

फलक की सीध से देखने पर हिसाब अलग है, 1 फलक आपकी ओर, 1 उल्टी ओर, और 4 बिल्कुल बगल से, इसलिए घेरे पर सिर्फ़ 4 किनारे, यानी square। अब इसे regular hexagon कह देने का मन करता है, पर अभी नहीं। बराबर भुजाएँ होने से कोने अपने आप बराबर नहीं हो जाते। ये देखिए एक 6 भुजाओं वाली आकृति, जिसकी 6 में से 6 भुजाएँ 5 लंबी हैं। पर इसके कोने 2 तरह के हैं, 4 कोने ज़्यादा खुले, और 2 ज़्यादा नुकीले।

भुजाएँ सब बराबर, फिर भी ये regular नहीं। यानी बराबर भुजाएँ आधी दलील हैं, कोनों के लिए अलग वजह चाहिए। बाहरी घेरे के अंदर भी कुछ है, और शुरुआत एक अजीब बात से होती है। फ़र्श वाला कोना और हवा वाला कोना, दोनों एक ही बिंदु पर गिरते हैं, ठीक बीच में, क्योंकि उन्हें जोड़ने वाली line ही वो दिशा है, जो फेंक दी गई। इसलिए 8 कोने 7 बिंदुओं पर गिरते हैं, 6 घेरे पर, और 2 बीच में एक के ऊपर एक।

नीचे वाले कोने पर 3 किनारे मिलते हैं और ऊपर वाले पर 3, और हर एक बीच से घेरे के किसी कोने तक जाता है, कुल 6 तीलियाँ। ठोस घन में आपको 3 तीलियाँ दिखती हैं, पास वाले कोने की, और दूर वाले कोने की 3 अंदर छिपी रहती हैं, इसलिए उन्हें टूटी line से बनाते हैं। पास वाली 3 तीलियाँ घेरे के एक-छोड़-एक कोनों तक जाती हैं, और दूर वाली 3, बीच वाले कोनों तक।

और घन काँच का हो, तो कुछ भी छिपा नहीं, 6 में से 6 तीलियाँ पूरी line से। और हर तीली भी घन का एक किनारा है, इसलिए तीली और भुजा की लंबाई एक ही है। और इसी से कोनों का फ़ैसला हो जाता है। ये 6 तीलियाँ hexagon को बीच वाले बिंदु के इर्द-गिर्द 6 त्रिभुजों में काट देती हैं। हर त्रिभुज में 2 तीलियाँ और 1 भुजा है, यानी 3 बराबर भुजाएँ, और ऐसा 6 में से 6 त्रिभुजों में।

और त्रिभुज में, hexagon से उल्टा, बराबर भुजाएँ कोनों को बाँध देती हैं, 3 बराबर कोने, 180 को 3 से भाग दीजिए, हर कोना 60 का। अब hexagon के हर कोने पर 2 त्रिभुज मिलते हैं, यानी 2 गुणा 60 बराबर 120, और ऐसा 6 में से 6 कोनों पर। बराबर भुजाएँ बराबर किनारों से, और बराबर कोने त्रिभुजों से, अब ये सच में regular hexagon है। ध्यान दीजिए, अकेला तिहाई चक्कर हर कोने को 2 कोने आगे ले जाता है, इसलिए वो सिर्फ़ एक-छोड़-एक कोनों को बराबर करता है, बाकी काम त्रिभुज करते हैं।

एक hexagon बस एक चित्र है, पर कई hexagon मिलकर एक औज़ार बन जाते हैं। उसकी एक नकल किसी भुजा से सटाकर रखिए, वो ठीक बैठती है, और वो भुजा दोनों की साझी होती है, यानी पास-पास के 2 कोने। ये 6 में से 6 भुजाओं पर कीजिए, और देखिए, 6 नकलें पहले वाले को घेर लेती हैं, कोई किसी पर नहीं चढ़ती। पर सावधान, नकल को एक तीली जितना खिसकाइए, तो वो भी पहले वाले से 2 कोनों पर मिलती है।

पर उन 2 कोनों के बीच 1 कोना और है, यानी वो बगल में नहीं, ऊपर चढ़ी पड़ी है, और ऐसा 6 में से 6 बार। बीच वाला और घेरे वाले 6, कुल मिलाकर 7 षट्भुज, उनके 24 कोने, और तीलियों समेत 7 गुणा 6 बराबर 42 छोटे त्रिभुज। और इस टुकड़े की हर line, 3 में से किसी 1 दिशा में चलती है, यानी समांतर lines के 3 परिवार।

घेरा बाहर की ओर बढ़ाते जाइए, तो पूरा पन्ना ढक जाता है, यही वो कागज़ है जिस पर engineers चित्र बनाते हैं, isometric grid। ये grid कुल 3 दिशाओं में नापता है, और ये दिशाएँ घन की अपनी ही हैं। लंबाई, गहराई और ऊँचाई, घन के 12 में से 4 किनारे हर एक दिशा में। कागज़ पर ये एक ही लंबाई की दिखती हैं, और आपस में एक तिहाई चक्कर की दूरी पर।

ये वही तिहाई चक्कर है, जिससे ये पूरी कहानी शुरू होती है। इसलिए ये grid सजावट नहीं, ये एक साथ 3 दिशाओं का पैमाना है, और हर दिशा के लिए एक ही पैमाना। मान लीजिए एक डिब्बा, 3 गुणा 2 गुणा 4 का, इसी तरह बनाया। अब हर दिशा में खाने गिने जा सकते हैं, लंबाई में 3, गहराई में 2, और ऊँचाई में 4, एक ही नज़र से, 3 में से 3 दिशाओं में।

तो इस तरीके से आख़िर मिला क्या? सीधे सामने से देखने पर 2 दिशाएँ बचती हैं और तीसरी खो जाती है, गहराई 1 से 5 तक के 5 डिब्बे, सामने से एक ही चित्र देते हैं। कोने पर टिकाकर देखिए, तो वही 5 डिब्बे 5 अलग चित्र देते हैं, क्योंकि 3 दिशाएँ एक ही पैमाने पर बची रहती हैं। ये बहुत है, पर अब ठीक-ठीक देखिए, कि ये क्या नहीं है।

ये अब भी चपटा करना ही है, 8 कोने 7 बिंदुओं पर गिरते हैं, और 1 जोड़ी, पास वाला कोना और दूर वाला, एक साथ गिरती है। टिकने वाली line पर एक-एक कदम की दूरी के 10 बिंदु लीजिए, सब एक ही जगह गिरते हैं। इसलिए चित्र ये नहीं बता सकता, कि उनमें से कौन सा पास है। पूरा लेन-देन यही है, एक तिहाई चक्कर कुछ नहीं बदलता, इसलिए 12 में से 12 किनारे बराबर, पर 1 जोड़ी कोने फिर भी 1 ही बिंदु पर गिरते हैं।

ये एक छोटी सी दरार है, और ऐसे चित्र जो असल में बन ही नहीं सकते, इसी दरार से बनाए जाते हैं।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

The book

Open in a new tab