PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 7 Mathematics · Chapter 6, Constructions and Tilings
Chapter 6 · Constructions and Tilings
टेनग्राम: क्षेत्रफल बदले बिना टुकड़ों को नए ढंग से जमाना
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7 टुकड़े, तरह तरह की आकृतियाँ - outline हर बार बदलती है, area हर बार 16।
मुख्य idea
Part II के §6.2 में टेनग्राम वह जगह है जहाँ उसके काम के नियम, नाम दिए जाने से दो पन्ने पहले ही, तय हो जाते हैं: टुकड़े किनारे से किनारा मिलाकर लगते हैं, कुछ भी खुला नहीं छूटता, कुछ भी दोहरा नहीं ढकता। टुकड़ों के एक तय समूह को इन नियमों पर चलाओ और एक अजीब बात होती है — रूपरेखा बिल्ली, नाव या दौड़ती आकृति बनने के लिए आज़ाद है, जबकि नीचे की सतह की मात्रा बिल्कुल नहीं बदल सकती। इसीलिए टेनग्राम के लक्ष्य का जवाब "काम चलाऊ" नहीं, "हाँ या नहीं" होता है, और यही सोचने की आदत section के बाक़ी हिस्से को चाहिए: p.157 से आगे chapter यह पूछना छोड़ देता है कि किसी आकृति को कैसे ढकें, और पूछने लगता है कि उसे ढका जा सकता है या नहीं।
आपको क्या आना चाहिए
- बताना कि टेनग्राम के सात टुकड़े एक square से कैसे मिलते हैं
- सातों टुकड़ों को आकार से और एक-दूसरे के मुक़ाबले उनके नाप से पहचानना
- वे दो शर्तें बताना जो किसी सही टेनग्राम जमावट को पूरी करनी होती हैं
- समझाना कि उन्हीं सात टुकड़ों की हर जमावट एक ही मात्रा की सतह क्यों ढकती है
- टुकड़ों को नए ढंग से जमाकर किसी दी गई रूपरेखा से मिलाना
- समझाना कि टेनग्राम का लक्ष्य पक्के जवाब वाला सवाल क्यों है
- टेनग्राम के नियमों को आगे आने वाली tiling की परिभाषा से जोड़ना
जानने लायक़ शब्द
| शब्द | एक line में परिभाषा | हिंदी / क्षेत्रीय समकक्ष | पहली बार कहाँ आया |
|---|---|---|---|
| tangram | ऐसी पहेली जिसके सात टुकड़े एक square को काटकर बनते हैं | टेनग्राम | §6.2, Part II, pp.155–156 में छपा |
| piece | उन सात हिस्सों में से एक जिनमें square काटा जाता है | टुकड़ा | §6.2, Part II, pp.155–156 में छपा |
| rearranging | उन्हीं टुकड़ों को खिसकाकर नई रूपरेखा बनाना | पुनर्व्यवस्थित करना | §6.2, Part II, p.156 में छपा |
| cardboard cutouts | टुकड़ों का घर पर बना रूप, जिसका सुझाव chapter देता है | गत्ते की कटी आकृतियाँ | §6.2, Part II, p.155 में छपा |
| square | वह figure जिससे सात टुकड़े काटे जाते हैं | वर्ग | §6.2, Part II, p.155 में छपा |
| tiling | किसी क्षेत्र को आकृतियों से ऐसे ढकना कि न कुछ खुला छूटे और न कुछ दोहरा ढके | टाइलिंग | §6.2, Part II, p.157 में bold में, और SUMMARY, p.163 में छपा |
| gap | क्षेत्र का बिना ढका रह गया हिस्सा | रिक्ति | §6.2, Part II, p.157 में, और SUMMARY, p.163 में छपा |
| overlap | दो बार ढका गया हिस्सा | अतिव्यापन | §6.2, Part II, p.157 में, और SUMMARY, p.163 में छपा |
| parallelogram | दो जोड़ी parallel भुजाओं वाला चार भुजाओं का टुकड़ा | समांतर चतुर्भुज | G letter वाले टुकड़े के लिए इस पाठ का नाम; इस chapter में नहीं छपा, जो p.155 पर सातों टुकड़ों को A–G letters देता है और किसी का नाम नहीं लेता |
| area | किसी figure से ढकी सतह की मात्रा | क्षेत्रफल | areas शब्द p.162 पर छपा है, शोध के क्षेत्रों के अर्थ में; geometry वाली मात्रा के रूप में यह इस पाठ का शब्द है, और §6.2 इसे नहीं उठाता |
हिंदी column में standard NCERT हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। इस brief के लिए Ganita Prakash Part II का हिंदी संस्करण उपलब्ध नहीं था — Notes देखें।
लोग कहाँ चूकते हैं
- "टेनग्राम के टुकड़ों को फ़िट करने के लिए छोटा-बड़ा किया जा सकता है।" नहीं किया जा सकता। तय समूह की पूरी बात यही है कि सिर्फ़ जगह और दिशा आज़ाद हैं।
- "अगर कोई टुकड़ा फ़िट न हो तो उसे छोड़ सकते हो।" एक छोड़ने से ढकी सतह की मात्रा बदल जाती है, इसलिए कौन-सी रूपरेखाएँ बन सकती हैं वह भी बदल जाता है। समूह को पूरा रखो।
- "लगभग मिलती रूपरेखा भी चलेगी।" टुकड़ों के किनारे और angles बिल्कुल सटीक हैं, और या तो वे बंद होते हैं या नहीं। यही "हाँ या नहीं" वाली आदत है जिस पर Part II के §6.2 का बाक़ी हिस्सा टिका है।
- "दोनों बड़े triangles की जगह मँझला triangle रखा जा सकता है।" नहीं: हर बड़ा triangle मँझले से दोगुना है। आकारों के आपसी संबंध ग़लत समझना ही सबसे आम कारण है कि हल की कोशिश अटक जाती है।
- "टुकड़े को पलटना बेईमानी है।" पलटना टेनग्राम की आम चाल है, और चार भुजाओं वाले टुकड़े के लिए यह मायने रखता है, क्योंकि वही अकेला टुकड़ा है जो पलटने पर अलग दिखता है।
- "यह असली गणित से पहले का बस एक खेल है।" यह असली गणित की तैयारी है: यहीं बिना ढील और बिना दोहराव के ठीक-ठीक ढकना ऐसी चीज़ बनती है जिसे student अपने हाथों में महसूस कर सके।
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पूरा transcript1,302 शब्द
एक पुरानी पहेली है, tangram। एक square, उसे काटकर 7 टुकड़े। और इन्हीं 7 टुकड़ों को सरकाकर तरह तरह की आकृतियाँ बनती हैं। square पर एक diagonal पूरा खिंचा है, कोने से कोने तक। दूसरा diagonal बीच में ही रुक जाता है, और बाकी lines टुकड़ों को अलग करती हैं। टुकड़ों के नाम बस निशान हैं, A से G तक। यहाँ 2 बड़े triangles, 2 छोटे triangles, 1 मझोला triangle, 1 square, और 1 parallelogram।
कुल 7 टुकड़े, और हर बार यही 7। गौर करो, बड़े और छोटे triangles जोड़ियों में आते हैं, बाकी अकेले। मान लो कि पूरे square की area 16 है। तो दोनों बड़े triangles 4 के, अगले 3 टुकड़े हर एक 2 का, और दोनों छोटे triangles 1 के। जोड़ो, फिर से पूरे 16। square के हिस्सों में, 1 बटा 4 वाले 2, 1 बटा 8 वाले 3, और 1 बटा 16 वाले 2।
और सब मिलाकर पूरा square, न कम, न ज़्यादा। यानी सबसे छोटा टुकड़ा पूरे का 1 बटा 16, और बाकी सब उसी के गुणा। यहाँ एक बड़ी बात छुपी है, area और आकृति अलग अलग चीज़ें हैं। मझोला triangle, square और parallelogram, 3 बिल्कुल अलग दिखने वाले टुकड़े, और तीनों की area 2 ही है। पूरी पहेली इसी बात को बड़े पैमाने पर दिखाती है। सबसे छोटे triangle को इकाई मान लो, तो पूरा square 16 इकाइयों जितना।
बड़ा triangle 4 इकाई, मझोला, square और parallelogram हर एक 2 इकाई, और छोटा ख़ुद 1। इस गिनती से हर आकृति की area जाँचना आसान हो जाता है। कुछ लोग बड़े triangle और मझोले triangle को अदल बदल वाला मान लेते हैं। पर बड़ा triangle 2 मझोलों जितना, या 4 छोटों जितना, और मझोला 2 छोटों जितना। इन नापों को गलत समझना सबसे आम वजह है कि हल अटक जाता है।
सारे triangles एक ही तरह के हैं, 2 sides बराबर, और एक कोना 90 degree का। फ़र्क बस नाप का है, छोटा, मझोला, बड़ा। इसीलिए ये एक दूसरे के किनारों पर इतनी आसानी से बैठ जाते हैं। square वाले टुकड़े की 4 sides बराबर, और 4 कोने 90 degree के। parallelogram की आमने सामने की sides बराबर और parallel, पर कोई कोना 90 का नहीं। मझोला triangle, square और parallelogram, 3 अलग आकृतियाँ, पर तीनों की area 2 ही है।
ये टुकड़े मोटे काग़ज़ या card पर काटकर बना सकते हो। काटते समय lines ठीक रखना, वरना टुकड़े आपस में नहीं बैठेंगे। हर टुकड़े को अलग रंग में रंगो, तो बाद में पहचानना आसान। अब वही 7 टुकड़े, नई आकृति, एक dart, तीर की नोक जैसा। square के ऊपर से एक बड़ा triangle घूमकर बगल में गया, बाकी टुकड़े वहीं। ऊपर एक गड्ढा बना, और बगल में एक नोक। गिनो, कुल फिर से 7।
मज़े की बात, नई आकृति के लिए सब कुछ हिलाना नहीं पड़ता। तिरछे parallelogram और बड़े triangle में बस 2 बड़े triangles हिले, बाकी 5 टुकड़े अपनी जगह पर। और dart में तो 6 टुकड़े वहीं रहे, बस 1 बड़ा triangle घूमकर दूसरी तरफ़ गया। यहाँ 3 आकृतियाँ बनाकर जाँची गई हैं, एक तिरछा parallelogram, एक बड़ा triangle, और यही dart, जिसका एक कोना अंदर की ओर मुड़ता है। हर एक में सभी 7 टुकड़े, और हर टुकड़ा बिल्कुल वैसा ही, जैसा square में।
कहीं कोई टुकड़ा दूसरे पर नहीं चढ़ा, कहीं जगह ख़ाली नहीं, और कोई टुकड़ा बाहर नहीं। यह जाँच आँख से नहीं की। हर आकृति में टुकड़ों की हर जोड़ी जाँची गई, कुल 21 जोड़ियाँ, और हर जोड़ी की साझी area निकाली गई। हर बार 0, यानी टुकड़े बस किनारों पर छूते हैं, एक दूसरे पर चढ़ते नहीं। इन आकृतियों में क्या बदला, और क्या नहीं बदला? outline पूरी तरह बदली, square में 4 कोने, parallelogram में 4, बड़े triangle में 3, और dart में 6।
पर area हर बार 16, बिल्कुल वही। यही इस पूरी पहेली का असली सबक है। क्योंकि वही 7 टुकड़े, हर एक की area वही, तो जोड़ भी वही। इसकी outline आज़ाद है, पर नीचे की सतह नहीं। जैसे कुछ कंचे, उन्हें किसी भी ढेर में रखो, गिनती वही रहती है। dart का एक कोना अंदर की ओर मुड़ता है, फिर भी area 16। outline कितनी भी अजीब हो जाए, सतह अपनी जगह से हिलती नहीं।
अंदर मुड़ा कोना बस outline की बात है, सतह की नहीं। कुछ लोग सोचते हैं कि जो टुकड़ा न बैठे, उसे बाहर ही रखो। सबसे छोटा छोड़ा तो square का बस 15 बटा 16 ढका, और बड़ा छोड़ा तो 3 बटा 4। यानी टुकड़ा छोड़ना मतलब कोई दूसरा सवाल हल करना। कुछ लोग टुकड़े को खींचकर बड़ा करके बैठाना चाहते हैं। छोटे triangle को दोगुना लंबा करो, तो वह ठीक बड़े triangle जैसा बन जाता है।
पर उसकी area 4 गुना, और सारे टुकड़े मिलकर 19, जबकि square में बस 16। आकृति सही, पर सतह गलत, इसीलिए खींचना मना है। घुमाना और पलटना दोनों चलते हैं, इनसे आकार नहीं बदलता। पलटने पर कौन सा टुकड़ा बदला हुआ दिखेगा? पलटने पर 7 में से बस 1 टुकड़ा बदला हुआ दिखता है, parallelogram, बाकी घुमाने से वापस अपने जैसे हो जाते हैं। तो पलटना धोखा नहीं, parallelogram के लिए तो वह ज़रूरी चाल है।
पर हर बार पलटना ज़रूरी नहीं, हमारा बड़ा triangle उसके 2 बड़े टुकड़ों को बिना पलटे भी बन जाता है। तो कौन सी चाल ज़रूरी है, यह हर आकृति में अलग से देखो। वहाँ दोनों बड़े triangles अपनी साझी line के दोनों तरफ़ एक जैसे बैठते हैं, इसलिए पलटने से कुछ नहीं बदलता। जो चालें चलती हैं, वे बस 3 हैं, घुमाना, पलटना और सरकाना। इनमें से कोई भी टुकड़े की लंबाई या area नहीं बदलता।
जो बदले, जैसे खींचना या काटना, वह खेल से बाहर। अब खेल के नियम साफ़ साफ़ देखो। पहला, कोई जगह ख़ाली न रहे। दूसरा, कोई टुकड़ा दूसरे पर न चढ़े। और यहाँ एक और नियम, सभी 7 टुकड़े, हर बार। कुछ लोग मानते हैं कि लगभग मिलती outline भी चल जाएगी। पर टुकड़ों के किनारे और कोने सटीक हैं, या तो बैठते हैं या नहीं। इसीलिए tangram का जवाब हाँ या ना होता है, लगभग नहीं।
और यही साफ़ जवाब tiling के हर सवाल की नींव है। एक तरीका, पहले 2 बड़े triangles रखो। वे मिलकर square का आधा घेरते हैं, तो उनकी जगह तय होते ही बाकी का रास्ता दिखने लगता है। फिर मझोले टुकड़े, और आख़िर में छोटे triangles, जो छोटी ख़ाली जगहें भरते हैं। अब इन्हें बनाने की कोशिश करो, C जैसी एक आकृति, एक फिरकी, एक बिल्ली, एक नाव, एक मछली। हर बार वही 7 टुकड़े, और जाँचो, कहीं कुछ ख़ाली तो नहीं, कुछ चढ़ा तो नहीं।
शुरुआत हमेशा बड़े triangles से करके देखो, और फिर बाकी भरो। हम यह नहीं कह रहे कि हर outline बन सकती है, बस इतना कि ये 3 यहाँ बनकर दिखीं। कोई outline नहीं बनती, यह साबित करना अलग तरह का तर्क माँगता है, और वह तर्क यहाँ नहीं है। तो बाकी outlines तुम्हारे लिए खुले सवाल हैं। कुछ लोग इसे असली गणित से पहले का बस एक खेल मानते हैं।
पर यही असली गणित की तैयारी है, ढकना सटीक, न ढील, न दोहराव। जो बात शब्दों में कही जाती है, वह यहाँ उँगलियों से समझ आ जाती है। क्या कुछ outlines बिना कोशिश किए ही रद्द हो सकती हैं? हाँ, जिस outline की area 16 न हो, वह इन 7 टुकड़ों से बन ही नहीं सकती। तो पहली जाँच हमेशा area की, फिर टुकड़ों को सरकाना। यही 2 नियम tiling की परिभाषा हैं।
और tiling का असली सवाल है, क्या कोई आकृति ढकी जा सकती है। और यहाँ हाथों से महसूस कर लिया, ढकना मतलब बिना जगह छोड़े, बिना चढ़े। एक square, 7 टुकड़े, areas 2 बार 4, 3 बार 2, और 2 बार 1। हर आकृति में outline आज़ाद, सतह तय, area हर बार 16। घुमाना और पलटना चलता है, खींचना और छोड़ना नहीं। न जगह ख़ाली, न कोई टुकड़ा चढ़ा। जवाब हाँ या ना, लगभग नहीं।
यह कहाँ बैठता है
यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.
आगे फिर कहाँ आता है
- What it takes to cover a region with no gaps and no overlapsकक्षा 7 · Ch 6, Constructions and Tilings
इसके ठीक पहले और ठीक बाद
- Regular hexagons, and why the angles round a point must total 360°कक्षा 7 · Ch 6, Constructions and Tilings