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Chapter 7 · A Tale of Three Intersecting Lines

triangle inequality: कौन-सी तीन लंबाइयाँ triangle बंद कर सकती हैं

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भुजाएँ 3, 4 और 8 हों, तो arcs कहीं नहीं मिलते: 8 के सामने 3 धन 4 बस 7 है। मोड़ वाला रास्ता कभी सीधे से छोटा नहीं, इसलिए त्रिभुज की हर भुजा बाकी भुजाओं के जोड़ से छोटी होनी चाहिए।

मुख्य idea

यहाँ दो अलग-अलग तर्कों की ज़रूरत है, और chapter उन्हें अलग रखने में असाधारण सावधानी बरतता है। पेड़ तक चलकर जाने वाली तस्वीर सिर्फ़ नहीं कह सकती है: अगर एक side बाक़ी दो के जोड़ से भी बड़ी हो, तो figure असंभव है, और यह तुम compass उठाए बिना जान लेते हो। वह हाँ नहीं कह सकती — यह test पास हो जाने के बाद भी तुम्हें पता नहीं होता कि arcs कटेंगे या नहीं। हाँ का फ़ैसला एक दूसरी, बिलकुल अलग नज़र से होता है — दो circles पर — और पता चलता है कि उसके ठीक तीन संभावित नतीजे होते हैं। जब दोनों हिस्से अपनी जगह पर हों, तभी तीन numbers के बारे में एक नियम इस बात का कथन बनता है कि कोई आकृति मौजूद है या नहीं।

आपको क्या आना चाहिए

  • लंबाइयों की दी गई triple के लिए तय करना कि उन sidelengths वाला triangle मौजूद है या नहीं, और उसे बनाए बिना फ़ैसले को सही ठहराना
  • समझाना कि दो points के बीच का सीधा रास्ता, किसी तीसरे point से घूमकर जाने वाले रास्ते से लंबा क्यों नहीं हो सकता
  • वह विरोधाभास वाला तर्क फिर से बनाना जो 10, 15 और 30 को ख़ारिज करता है
  • दिखाना कि तीन तुलनाओं में से सिर्फ़ एक ही कभी नाकाम हो सकती है, और पहले से पहचानना कि वह कौन-सी है
  • triangle inequality को chapter के अपने शब्दों में कहना और उसे triples की एक सूची पर लगाना
  • समझाना कि inequality पूरी हो जाने से, सिर्फ़ रास्ते वाले तर्क के बल पर, यह साबित क्यों नहीं होता कि triangle मौजूद है
  • circles की तीनों हालतों में से हर एक को, छोटी दो लंबाइयों और सबसे बड़ी लंबाई की तुलना से जोड़ना
  • दो लंबाइयाँ दी हों, तो तीसरी लंबाई की वह पूरी range बताना जिससे triangle बंद हो जाए

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक पंक्ति में अर्थहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ
triangle inequalityयह शर्त कि तीन लंबाइयों में से हर एक, बाक़ी दो के जोड़ से कम पड़ती हैत्रिभुज असमिका§7.2, p.154 में bold में छपा, और फिर SUMMARY, p.171 में
sidelengthकिसी side की लंबाई, जिसे यह किताब एक शब्द में लिखती हैभुजा की लंबाईपूरे §7.2 में छपा, p.148 से
direct pathतीन points में से दो के बीच का सीधी line वाला रास्तासीधा पथp.152 पर छपा और p.153 पर नापी जाने वाली मात्रा की तरह इस्तेमाल हुआ
roundabout pathदो points के बीच दो हिस्सों वाला रास्ता, जो तीसरे point से होकर जाता हैघुमावदार पथp.152 पर छपा और p.153 पर नापी जाने वाली मात्रा की तरह इस्तेमाल हुआ
rough diagramबताई गई लंबाइयाँ दर्ज करने के लिए बना sketch, scale से नहींकच्चा आरेखp.152 पर छपा
radius / radiicentre से उसके circle तक की तय दूरी; बहुवचन radiiत्रिज्याp.155 और p.157 पर छपा
circlecentre से एक तय दूरी पर पड़ा हर pointवृत्तपूरे §7.2 में छपा, p.149 से
centreवह point जिसके चारों ओर circle बनाया जाता हैकेंद्रp.149 और p.155 पर छपा
baseसबसे पहले बनाई गई side; यहाँ हमेशा तीनों में सबसे लंबी चुनी जाती हैआधारp.155 और p.157 पर छपा
equilateral triangleऐसा triangle जिसकी तीनों sides बराबर लंबाई की होंसमबाहु त्रिभुज§7.1 के heading के रूप में छपा, p.146
degenerate caseऐसी तीन लंबाइयाँ जिनमें छोटी दो का जोड़ ठीक सबसे बड़ी के बराबर हो, इसलिए "triangle" चपटा होकर एक line पर आ जाता हैअपह्रासी स्थितियहाँ जोड़ा गया शब्द; यह phrase इस chapter में नहीं छपा, हालाँकि यह हालत Case 1 के रूप में बनी है, p.157 पर

Hindi column में standard NCERT हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। Ganita Prakash Part I का हिंदी संस्करण यहाँ इस्तेमाल किए गए corpus में नहीं है, इसलिए ये शब्द हिंदी छपाई से नहीं लिए गए — Notes देखें।

समझाते समय एक सावधानी। chapter कभी "≤" का इस्तेमाल नहीं करता — लेकिन वह symbols से ख़ाली भी नहीं है, और जो व्याख्या notation से पूरी तरह बचती है वह chapter के रास्ते पर नहीं चल रही। वह अपनी तुलनाएँ नाम वाली लंबाइयों के बीच <, > और = से लिखता है: 10, 15 और 30 के लिए ऐसी तीन, p.154 पर; 4, 5 और 8 के लिए एक, p.155 पर; bold में छपा सामान्य नियम p.156 पर; और circles की तीनों हालतों में से हर एक pp.157–159 पर, दोनों radii के जोड़ और AB के बीच एक संबंध की तरह। जो वह कभी नहीं करता, वह है लंबाइयों की जगह algebra के अक्षर रखना। दोनों बातें बनाए रखो: नाम वाली लंबाइयों पर संबंध के symbols किताब का अपना notation हैं; अक्षरों वाली inequality, और "≤", नहीं।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "तीनों तुलनाएँ जाँचनी पड़ती हैं।" कभी नहीं। तीनों लंबाइयों को क्रम में रखो और सबसे बड़ी को बाक़ी दो के जोड़ से जाँचो; बाक़ी दो तुलनाएँ नाकाम हो ही नहीं सकतीं। chapter p.154 पर इसे घोषित करने के बजाय एक hint देकर student को यहाँ तक ले जाता है।
  • "अगर inequality पूरी होती है, तो ज़ाहिर है कि triangle मौजूद है।" यही वह ग़लती है जिसे रोकने के लिए chapter p.155 पर ख़ास कोशिश करता है। रास्ते वाला तर्क एक-तरफ़ा test है। दूसरी दिशा pp.157–159 का circle वाला विश्लेषण देता है, और वह सचमुच एक अलग तर्क है, पहली बात को दोबारा कहना नहीं।
  • "बराबर भी चलेगा — 3, 6, 9 से बहुत पतला triangle बनता है।" इससे कोई triangle नहीं बनता। दोनों circles ठीक एक point पर छूते हैं, जो ख़ुद AB पर है, इसलिए तीनों points एक line में होते हैं और कोई angle होता ही नहीं। chapter का p.146 वाला शुरुआती सवाल इसी तस्वीर की ओर इशारा कर रहा था।
  • "Fig. 7.4 ग़लत बना है, इसलिए तर्क नाइंसाफ़ी है।" वह जान-बूझकर ग़लत बना है। असंभव triangle को सही-सही बनाया ही नहीं जा सकता; उसे मौजूद मानकर नतीजों के पीछे चलना ही विरोधाभास तक पहुँचने का अकेला तरीक़ा है।
  • "नियम दो सबसे छोटी sides के बारे में है।" नियम हर लंबाई बनाम बाक़ी दो के बारे में है। shortcut — सबसे लंबी को जाँचो — इसका नतीजा है, परिभाषा नहीं, और shortcut को ही नियम बता देने से student यह नहीं बता पाता कि वह काम क्यों करता है।
  • "लंबी sides से triangle बनने की संभावना ज़्यादा होती है।" आकार का इससे कोई लेना-देना नहीं: 10, 15, 30 नाकाम होती है और 10, 15, 20 सफल; किसी भी चलने वाली triple को हज़ार से गुणा करो, वह फिर भी चलेगी। शर्त अनुपात के बारे में है, आकार के बारे में नहीं।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains Figure it Out · 2 Q1, Figure it Out · 2 Q2, Figure it Out · 2 Q3, Figure it Out · 3 Q1, Figure it Out · 4 Q1, Figure it Out · 4 Q2, Figure it Out · 4 Q3

पूरा transcript1,816 शब्द

arcs वाली तरकीब से 2 त्रिभुज बनाने की कोशिश करो, भुजाएँ 3, 4, 8, और 2, 3, 6 सेंटीमीटर। यहाँ 8 का आधार खींचो, एक सिरे से 3 का arc, दूसरे से 4 का, और arcs कहीं मिलते ही नहीं। और 6 के आधार पर 2 और 3 के arcs, वे भी नहीं मिलते, कटाव 0। आज 2 सवाल, कब पक्का पता है कि त्रिभुज नहीं बनेगा, और कब पक्का पता है कि बनेगा।

और इन 2 सवालों के लिए 2 बिल्कुल अलग तर्क चाहिए, उन्हें अलग रखना ही आज का सबक है। एक मैदान में एक तंबू, एक पेड़, और उनके बीच कहीं एक खंभा। तंबू से पेड़ तक जाने के 2 रास्ते, सीधे, या पहले खंभे तक और फिर पेड़ तक। क्या खंभे से होकर जाने वाला रास्ता कभी सीधे रास्ते से छोटा हो सकता है? नहीं, मोड़ वाला रास्ता कभी छोटा नहीं, ज़्यादा से ज़्यादा बराबर, जब खंभा ठीक सीधे रास्ते पर हो।

एक 7 गुणा 7 की जाली के बिंदुओं को तंबू, खंभा और पेड़ बनाकर सारे 115248 रास्ते जाँचे गए, एक भी मोड़ छोटा नहीं निकला। यह बात किन्हीं भी 3 बिंदुओं पर लागू है, और त्रिभुज के 3 कोने भी तो 3 बिंदु ही हैं। तो किसी भी त्रिभुज में, एक भुजा, बाकी 2 भुजाओं के जोड़ से छोटी होनी चाहिए, वरना मोड़ सीधे से छोटा हो जाता। अब मान लो कि 10, 15 और 30 सेंटीमीटर की भुजाओं वाला त्रिभुज है।

उसका एक कच्चा चित्र बनाओ, A B बराबर 15, A C बराबर 30, B C बराबर 10। यह चित्र पैमाने पर नहीं है, और हो भी नहीं सकता, जो चीज़ असंभव हो उसका सही चित्र नहीं बनता। मान लेना और फिर उसके नतीजे देखना, असंभव तक पहुँचने का यही एक रास्ता है। पहली जाँच, B C, यानी 10, और B A धन A C, यानी 45, B C छोटी, ठीक।

दूसरी, A B, यानी 15, और A C धन C B, यानी 40, फिर ठीक। तीसरी, C A, यानी 30, और C B धन B A, यानी बस 25। यानी C से A तक सीधा रास्ता, B से होकर जाने वाले मोड़ से लंबा, यह बेतुका है। तो जो त्रिभुज हमने मान लिया था, वह खुद अपने को झूठा साबित करता है, वह है ही नहीं। कोई सोचे कि नाम बदलने से बात बन जाएगी, 30 को A B कह दें तो।

नामों के सारे 6 क्रम आज़माए गए, हर एक में वही जाँच फेल होती है। और 30 के आधार पर 10 और 15 के घेरे बनाओ, तो कटाव 0, वे मिलते ही नहीं। रास्तों वाली बात को संख्याओं में लिखो, हर भुजा, बाकी 2 भुजाओं के जोड़ से छोटी होनी चाहिए। अब 3 भुजाएँ, तो 3 तुलनाएँ, हर भुजा को बाकी 2 के जोड़ से मिलाओ। यह नियम हर भुजा के बारे में है, सिर्फ़ 2 छोटी भुजाओं के बारे में नहीं।

अब सवाल, क्या हर बार 3 तुलनाएँ करनी पड़ेंगी, या काम छोटा हो सकता है। भुजाओं को छोटी से बड़ी क्रम में रखो, और एक एक करके सोचो। छोटी भुजा, सबसे बड़ी से बड़ी तो हो नहीं सकती, और उसके ऊपर तीसरी भुजा कुछ और जोड़ देती है, तो छोटी भुजा वाली जाँच अपने आप पास। यही बात बीच वाली पर भी, तो सिर्फ़ सबसे बड़ी भुजा फेल हो सकती है।

देखो, 1 से 30 तक की सभी 4960 तिकड़ियाँ क्रम में रखकर जाँची गईं, छोटी 2 भुजाएँ एक बार भी फेल नहीं हुईं, और सिर्फ़ सबसे बड़ी की जाँच हर बार पूरे नतीजे से मिली। पर याद रहे, सबसे बड़ी वाली जाँच नियम का नतीजा है, नियम खुद नहीं, वरना यह समझ नहीं आएगा कि यह क्यों चलता है। अब शुरुआत वाले त्रिभुजों पर लौटो, 3, 4, 8 में सबसे बड़ी 8, और 3 धन 4 बस 7, तो जाँच फेल।

यहाँ 2, 3, 6 में सबसे बड़ी 6, और 2 धन 3 बस 5, फिर फेल। और 10, 15, 30 में 30 के सामने बस 25, वही तीसरी जाँच जो बेतुकी निकली थी। तीनों में एक ही बीमारी, सबसे बड़ी भुजा इतनी लंबी कि बाकी 2 मिलकर भी उसे ढक नहीं पातीं। और आधार पर यही दिखा था, छोटे घेरे आधार के दोनों सिरों से चलकर बीच में एक दूसरे तक पहुँचते ही नहीं।

इस नियम का नाम है, triangle inequality। यानी त्रिभुज की कोई भुजा, बाकी 2 के जोड़ से कम। अब 4, 5, 8, सबसे बड़ी 8, और 4 धन 5 बराबर 9, तो जाँच पास। तो क्या अब पक्का है कि यह त्रिभुज बनेगा? अभी नहीं, रास्तों वाला तर्क बस इतना कहता है कि अगर त्रिभुज है, तो जाँच पास होगी। वह कभी यह नहीं कहता कि जाँच पास हुई, तो त्रिभुज है, वह बस ना कह सकता है, हाँ नहीं।

पास होने के बाद भी त्रिभुज हो भी सकता है, और न भी हो, यह अभी तय नहीं हुआ। यह बात छोड़ देना सबसे बड़ी गलती है, जाँच पास, इसलिए त्रिभुज है, यह तर्क उल्टा पढ़ना है। और 4, 5, 8 की तीनों जाँचें लिखो, 4 के सामने 5 धन 8, यानी 13, और 5 के सामने 4 धन 8, यानी 12। और 8 के सामने 4 धन 5, यानी 9, बस 1 का फ़र्क।

छोटी भुजाएँ आराम से पास, सबसे बड़ी बाल बाल, ठीक जैसा क्रम वाले तर्क ने कहा था। पर सारी जाँचें पास होने के बाद भी, अभी यह पता नहीं कि घेरे सच में कटेंगे, उसके लिए घेरे खुद देखने होंगे। हाँ वाली बात के लिए एक दूसरा तर्क, घेरों का, आधार A B बराबर 8। A से 4 का घेरा, जो आधार को एक बिंदु X पर काटता है, A से 4 दूर।

तो B X बराबर 8 में से 4, यानी 4, और B वाले घेरे की त्रिज्या 5। अब 4, 5 से छोटा है, तो X, B वाले घेरे के अंदर है। अब A वाले घेरे का सबसे दूर वाला बिंदु, A के दूसरी ओर, वह B से 12 दूर। देखो, 12, 5 से बड़ा, तो वह बिंदु B वाले घेरे के बाहर है। A वाले घेरे पर चलो, X से, जो अंदर है, दूर वाले बिंदु तक, जो बाहर है, तो बीच में कहीं सीमा पार करनी ही पड़ेगी।

ऊपर से जाओ तो एक बार, नीचे से जाओ तो एक बार, तो घेरे 2 जगह कटते हैं। यही वह हाँ है जो रास्तों वाला तर्क नहीं दे सकता था। आम तौर पर, सबसे लंबी भुजा को आधार A B बनाओ, और बाकी 2 को त्रिज्याएँ। पहला मामला, दोनों त्रिज्याओं का जोड़ ठीक आधार जितना, तो घेरे बस एक बिंदु पर छूते हैं। दूसरा, जोड़ आधार से कम, तो घेरे एक दूसरे तक पहुँचते ही नहीं।

तीसरा, जोड़ आधार से ज़्यादा, तो घेरे एक दूसरे में घुसते हैं, और 2 जगह कटते हैं। यहाँ 1 से 20 तक की सभी 1540 क्रमबद्ध तिकड़ियों पर घेरे बनाकर गिना गया, 100 छूते हैं, 615 चूकते हैं, और 825 2 जगह कटते हैं। और हर एक तिकड़ी में, घेरों की गिनती ने ठीक वही कहा जो जोड़ और आधार की तुलना ने। रास्तों वाले तर्क से, अगर सबसे बड़ी भुजा बाकी 2 के जोड़ से छोटी नहीं, तो त्रिभुज नहीं।

घेरों वाले तर्क से, अगर छोटी है, तो घेरे 2 जगह कटते हैं, और त्रिभुज बनता है। दोनों मिलकर ही यह कहते हैं, 3 संख्याओं वाली एक शर्त, और एक आकृति का होना, एक ही बात। कोई कहे, 3, 6, 9 से बहुत पतला त्रिभुज बनेगा। नहीं, 3 धन 6 ठीक 9, घेरे बस 1 बिंदु पर छूते हैं। और वह बिंदु आधार पर ही है, A से 3 और B से 6 दूर।

तीनों बिंदु एक line पर, कोई angle नहीं, कोई त्रिभुज नहीं, एक line पर पड़े 3 कोने त्रिभुज नहीं बनाते। कोई पूछे, बहस क्यों, बस बनाकर देख लो न? मोटी पेंसिल से 3, 6, 9 बनाओ, तो घेरों की मोटी लकीरें आपस में चिपकी लगेंगी, और एक पतला त्रिभुज दिखने लगेगा। उल्टा भी होता है, बहुत पतला पर सच्चा त्रिभुज, कागज़ पर एक line जैसा दिखता है। आँख छूने और कटने में फ़र्क नहीं कर पाती, पर जोड़ और आधार की तुलना एक ही बार में बता देती है।

अब 4 तिकड़ियाँ, 1, 100, 100, फिर 3, 6, 9, फिर 1, 1, 5, फिर 5, 10, 12। पहली, सबसे बड़ी 100, और 1 धन 100, 101, तो घेरे 2 जगह कटते हैं, एक बहुत पतला पर सच्चा त्रिभुज। दूसरी, 3, 6, 9, बराबर, तो बस छूना, कटाव 1। तीसरी, 1 धन 1 बस 2, 5 से बहुत कम, कटाव 0। चौथी, 5 धन 10, 15, 12 से ज़्यादा, कटाव 2।

इन 4 में बस 3, 6, 9 सीमा पर बैठी है, न चूकती, न कटती। और 1, 100, 100 फिर से देखो, 100 के सामने 1 धन 100, यानी 101, बस 1 से पास। फिर भी घेरे 2 जगह कटते हैं, एक ऊपर, एक नीचे, बहुत पास पास। तो पतला होना कोई दोष नहीं, पतला त्रिभुज भी पूरा त्रिभुज है। त्रिभुज line तब बनता है, जब जोड़ ठीक बराबर हो, एक बाल भी कम या ज़्यादा नहीं।

अगर 2 भुजाएँ 1 और 100 हों, तो तीसरी कितनी हो सकती है? तीसरी, 100 धन 1 से छोटी, और 100 घटा 1 से बड़ी, यानी 99 और 101 के बीच, पर दोनों सिरे नहीं। 0 दशमलव 1 के कदमों में हर लंबाई आज़माई गई, चलने वाली लंबाइयाँ 99 दशमलव 1 से 100 दशमलव 9 तक। अब 5 और 5 हों, तो तीसरी 0 और 10 के बीच, गिनती में 0 दशमलव 1 से 9 दशमलव 9 तक।

और 3 और 7 हों, तो 7 घटा 3 यानी 4, और 7 धन 3 यानी 10 के बीच, गिनती में 4 दशमलव 1 से 9 दशमलव 9 तक। हर बार तीसरी भुजा, बाकी 2 के अंतर और जोड़ के बीच। एक और गलतफ़हमी, भुजाएँ बड़ी हों तो त्रिभुज बनने की संभावना ज़्यादा। देखो, 10, 15, 30 फेल, और 10, 15, 20 पास, फ़र्क बस एक भुजा का। और 10, 15, 20 को 1000 गुना करो, तो भी पास, कुछ नहीं बदलता।

तो बात आकार की नहीं, भुजाओं के आपसी अनुपात की है। खुद करो, 2 भुजाएँ 6 और 9, तो तीसरी किन लंबाइयों के बीच हो सकती है? फिर हर बार 2 तरह से जाँचो, पहले नियम से, फिर घेरे बनाकर। और हर जवाब के संग सोचो, यह ना रास्तों वाले तर्क से आया, या हाँ घेरों वाले तर्क से। आख़िर में सोचो, रास्तों वाला तर्क कहाँ से शुरू होता है, एक त्रिभुज मानकर।

जो चीज़ मानकर चलो, उससे बस टकराव मिल सकता है, वह चीज़ पैदा नहीं होती। घेरों वाला तर्क बस आधार से शुरू होता है, और तीसरा कोना सच में बनाकर दिखाता है। एक तर्क झूठे दावे पकड़ता है, दूसरा सच्ची चीज़ बनाता है, और triangle inequality को दोनों चाहिए। याद रखो, मोड़ वाला रास्ता कभी सीधे से छोटा नहीं। क्रम में रखो, और बस सबसे बड़ी भुजा जाँचो। रास्तों वाली जाँच बस ना कह सकती है।

हाँ घेरों से आता है, कम जोड़ तो चूक, बराबर तो छूना, ज़्यादा तो 2 कटाव। और बराबर होना त्रिभुज नहीं, बस एक line।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

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