PrepShorts · पढ़ाई की शीट · Class 6 Mathematics · Chapter 3, Number PlayPrepShorts

Chapter 3 · Number Play

जीतने की युक्तियाँ: खेल को उसके अंत से पीछे की ओर हल करना

Where number play runs out of answers11 मिनट

यह video load नहीं हो सकी. फिर से कोशिश करने के लिए page reload करें.

Sign in with Google

11 min.

यह lesson English में भी है.Englishहिन्दी

कक्षा 6 की सभी Hindi videos · सभी Hindi videos

एक खेल, जिसके लिए कुछ भी नहीं चाहिए। पहला खिलाड़ी 1, 2 या 3 बोलता है, फिर दोनों बारी-बारी से उसमें 1, 2 या 3 जोड़ते जाते हैं, और जो 21 बोल दे वो जीत जाता है। तुम बार-बार खेलते हो और हर बार वही खिलाड़ी जीतता है — तो ये किस्मत नहीं, कुछ और है।

मुख्य idea

जीतने की युक्ति आगे की ओर सोचकर नहीं मिलती — चार चालों के बाद ही सैकड़ों भविष्य हो जाते हैं जिन्हें दिमाग़ में रखना पड़े। यह मिलती है अंत से शुरू करके पीछे की ओर चलने से: लक्ष्य वह number है जो तुम बोलना चाहते हो, इसलिए उससे पहले वाला जो number तुम बोलना चाहते हो, वह वह है जिससे तुम्हारा विरोधी, चाहे जैसे भी चले, लक्ष्य तक नहीं पहुँच सकता। ऐसे numbers एक तय फ़ासले वाली सीढ़ी बनाते हैं, और सीढ़ी बनते ही पूरा खेल किसी के कुछ बोलने से पहले ही तय हो जाता है। फिर कौन-सा खिलाड़ी जीतता है, यह एक अकेला भाग है — और इसीलिए यही तर्क 21 के लक्ष्य वाले खेल का, 99 के लक्ष्य वाले खेल का, और class के गढ़े किसी भी खेल का जवाब देता है।

आपको क्या आना चाहिए

  • खेल को सही ढंग से खेलना, हर चाल में इजाज़त वाले दायरे के भीतर जोड़ते हुए
  • समझाना कि संभावित चालों में आगे की ओर खोजना व्यावहारिक क्यों नहीं है
  • वह स्थिति पहचानना जिससे विरोधी लक्ष्य तक नहीं पहुँच सकता
  • बार-बार घटाकर ऐसी स्थितियों की पूरी सीढ़ी बनाना
  • हर छपे खेल में, जीतने वाले खिलाड़ी को कौन-से numbers बोलने चाहिए, उनका pattern बताना
  • दोनों सही खेलें तो कौन-सा खिलाड़ी जीतता है, यह तय करना और फ़ैसले को सही ठहराना
  • अलग लक्ष्य और अलग इजाज़त वाली चाल वाले खेल पर यही तर्क लगाना
  • कोई नया रूप गढ़ना और खेलने से पहले उसके विजेता का अंदाज़ा लगाना
  • समझाना कि एक ही तरह के विश्लेषण में 99 और 21 अलग बर्ताव क्यों करते हैं

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक line में मतलबहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ आया
winning strategyखेलने का ऐसा तरीक़ा जो विरोधी चाहे जैसे खेले, जीत पक्की कर देविजयी युक्ति§3.12, p.71 — वहीं छपा, और section के शीर्षक में
winning numberवह number जो खेल जीतने के लिए खिलाड़ी को बोलना पड़ता हैविजयी संख्या§3.12, p.72 — वहीं छपा, जहाँ class को अपना खेल बनाने के लिए बुलाया गया है
Rules for Gameकिताब जो दो नियम-sets छापती है, उनमें से हर एक के लिए उसका अपना शीर्षक—§3.12, p.71 — वहीं मोटे अक्षरों में छपा, दो बार
take turnsबारी-बारी से चलना, एक खिलाड़ी के बाद दूसराबारी-बारी से§3.12, p.71 — वहीं छपा
first playerजो पहले बोलता है, और Game #1 में वही जो जीत पक्की कर सकता हैपहला खिलाड़ी§3.12, p.71 — वहीं छपा
variationउसी खेल का ऐसा रूप जिसमें चाल का आकार या लक्ष्य बदला गया होरूपांतर§3.12, pp.71–72 — वहीं छपा
computational thinkingकोई तय प्रक्रिया निकालने और फिर उस पर चलने के लिए किताब का नामअभिकलनात्मक चिंतनSummary, p.73 — वहीं कोष्ठक में छपा
set procedureपहले से तय एक नियम जो हर चाल का फ़ैसला करता हैनिर्धारित प्रक्रियाSummary, p.73 — वहीं छपा
safe numberव्याख्या का दिया नाम, ऐसी स्थिति के लिए जिससे विरोधी लक्ष्य तक नहीं पहुँच सकता—व्याख्या का अपना शब्द, किताब में कहीं नहीं छपा
rungव्याख्या का दिया नाम, सुरक्षित numbers की सीढ़ी के एक number (पायदान) के लिए—व्याख्या का अपना शब्द, किताब में कहीं नहीं छपा

हिंदी column में standard NCERT हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है; यह Ganita Prakash के हिंदी संस्करण से उतारी नहीं गई है। Notes देखें।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "जो पहले चलता है वही जीतता है।" Game #2 में नहीं। पहले चलना फ़ायदा तभी है जब शुरू करने वाला सबसे निचले पायदान पर पहुँच सके, और किताब का दूसरा खेल इस तरह बना है कि वह नहीं पहुँच सकता।
  • "जितना हो सके उतना जोड़कर जीतते हो।" तुम वह जोड़कर जीतते हो जो तुम्हें अगले पायदान पर ले आए, जो अक्सर सबसे छोटी जायज़ चाल होती है। लालची खेल यह खेल पक्के तौर पर हारता है।
  • "पूरा खेल शुरू से ही योजना बनाकर खेलना पड़ता है।" सीढ़ी पता होनी चाहिए। उसके बाद हर चाल मजबूरी है और उसमें सोचना नहीं पड़ता — और ठीक यही इसे हुनर नहीं, युक्ति बनाता है।
  • "कई बार खेलने से युक्ति दिख जाएगी।" इससे यह दिखेगा कि कोई जीतता जा रहा है। क्यों, यह पता करने के लिए पीछे की ओर हल करना पड़ता है, और chapter नतीजा नहीं, pattern माँगता है।
  • "हर लक्ष्य के लिए एक ही युक्ति काम करती है।" 21 को 22 करो तो विजेता अब भी शुरू करने वाला है पर उसकी पहली चाल बदल जाती है; 21 को 20 करो तो शुरू करने वाला सीधे हार जाता है। मायने लक्ष्य के शेषफल के हैं, उसके आकार के नहीं।
  • "खेल के numbers बस सजावट हैं।" Summary इसे chapter के उस उदाहरण की तरह नाम देती है जिसमें numbers खेलने और जीतने के लिए इस्तेमाल होते हैं, और किसी तय प्रक्रिया को नाम देने को उस चीज़ के केंद्र में रखती है जिसके लिए chapter था।

Worked answers to this chapter’s exercises · this video explains End-of-Chapter Figure it Out Q10

पूरा transcript1,710 शब्द

देखो, board पर इस खेल के सारे नियम लिखे हैं, और इसके लिए कुछ चाहिए ही नहीं — न पासा, न कागज़। सिर्फ़ 2 खिलाड़ी और गिनती। पहला खिलाड़ी शुरू करता है और 1, 2 या 3 में से कोई संख्या बोलता है। उसके बाद दोनों बारी-बारी से चलते हैं, और हर बार पिछली संख्या में 1, 2 या 3 जोड़ना होता है। और जीतता कौन है? जो 21 बोल दे।

ऊपर लिखा ये आख़िरी नियम ही पूरा खेल तय करता है। पहली नज़र में लगता है कि इसमें जीतना किस्मत की बात है। पर क्या कोई ऐसा तरीका भी हो सकता है जिससे तुम हर बार जीत सको? मान लो तुमने शुरुआत की और सबसे बड़ी चाल चली — 3 बोल दिया। यहाँ देखो कि आगे क्या हुआ। सामने वाले ने 5 बोला। तुमने 8, उन्होंने 9। तुमने 12, उन्होंने 13।

तुमने 16, उन्होंने 17। तुमने 20, और उन्होंने 21 बोलकर बाज़ी जीत ली। क्या ये किस्मत है? दोबारा खेलो, और फिर से — वही खिलाड़ी हर बार जीतता है, तो किस्मत तो नहीं हो सकती। दूसरी बाज़ी में तुमने सोचा कि छोटी चाल चलते हैं — 2 बोला। उन्होंने 5 बोल दिया, और आगे 9, 13, 17, 21। फिर वही अंत। नीचे वाली कतार में उनकी संख्याएँ देखो — दोनों बार लगभग वही रहीं, 5, 9, 13, 17 और फिर 21।

तो अब यही पता करना है। उन्हें ऐसा क्या पता है जो तुम्हें नहीं? तो तरीका क्या हो सकता है? पहली नज़र में लगता है कि आगे की सारी चालें सोच लेनी चाहिए — मैं ये चलूँ तो वो क्या चलेंगे, और फिर मैं क्या। पर देखो ये कितनी तेज़ी से फैलता है। सिर्फ़ 4 चालों के बाद ही खेल 81 अलग-अलग तरीकों से चल चुका हो सकता है। 2 चाल और आगे बढ़ो, तो ये संख्या 729 हो जाती है।

और पूरा खेल शुरू से आख़िर तक 223317 अलग तरीकों से खेला जा सकता है। इतना कोई दिमाग़ में नहीं रख सकता। पर अब यही चीज़ दूसरी तरफ़ से देखो। उन 4 चालों के बाद तुम चाहे किसी भी रास्ते से आए हो, तुम सिर्फ़ 9 अलग संख्याओं में से किसी 1 पर बैठे हो। रास्ते इतने सारे हैं कि गिने न जाएँ, पर संख्याएँ गिनी-चुनी हैं। इसका मतलब ये है कि अलग-अलग रास्ते बार-बार उन्हीं संख्याओं पर आकर मिल जाते हैं।

तुम 1 और 3 चलो या 3 और 1, दोनों बार तुम 4 पर ही हो। खेल को फ़र्क सिर्फ़ इससे पड़ता है कि इस वक़्त संख्या क्या है, इससे नहीं कि वहाँ कैसे पहुँचे। इसलिए सवाल ये नहीं है कि खेल कैसे चला। सवाल ये है कि किसी संख्या पर खड़े होकर तुम्हारी हालत अच्छी है या ख़राब। तो चलो शुरुआत से नहीं, अंत से सोचते हैं। देखो, इस पट्टी के आख़िरी सिरे पर क्या है।

आख़िर में तुम्हें कौन सी संख्या बोलनी है? यहाँ, सबसे ऊपर — 21। यही 1 संख्या है जो जीत दिलाती है। अब असली सवाल ये है — 21 से ठीक पहले तुम्हें कौन सी संख्या बोलनी चाहिए, ताकि सामने वाला 21 तक पहुँच ही न सके? मान लो तुमने 17 बोला। अब सामने वाला क्या कर सकता है? देखो उनके पास क्या-क्या बचता है। वो 1, 2 या 3 ही जोड़ सकते हैं, यानी 18, 19 या 20।

और इनमें से कोई भी 21 नहीं है। अब इन तीनों में से कहीं से भी 21 तुम्हारी 1 ही चाल दूर है — 18 से 3, 19 से 2, 20 से 1। यानी 17 बोलने के बाद तुम्हारी जीत पक्की है। ऐसी संख्या को हम सुरक्षित संख्या कहेंगे। तुम्हें लगेगा कि 16 भी तो लक्ष्य के पास ही है, वो क्यों नहीं? क्योंकि 16 के बाद वो ख़ुद 17 बोल सकते हैं, और तब जाल तुम्हारे लिए बिछ जाएगा।

सुरक्षित का मतलब लक्ष्य के पास होना नहीं है। सुरक्षित का मतलब है कि वहाँ से सामने वाला लक्ष्य तक पहुँच ही नहीं सकता, चाहे कुछ भी चले। अब वही सवाल दोबारा पूछो — 17 तक सुरक्षित पहुँचने के लिए मुझे कौन सी संख्या बोलनी चाहिए? जवाब है 13। 13 के बाद वो 14, 15 या 16 तक ही जा सकते हैं, और वहाँ से 17 तुम्हारी 1 चाल दूर है।

इसी तरह नीचे उतरते जाओ — 13 से 9, 9 से 5, और 5 से 1। और फ़ासला हर बार 4 ही क्यों निकला? इसलिए कि वो जो भी जोड़ें, तुम उसे 4 तक पूरा कर सकते हो — वो 1 तो तुम 3, वो 2 तो तुम 2, वो 3 तो तुम 1। और 4 कोई जादुई संख्या नहीं है — जितनी बड़ी चाल चली जा सकती है, उससे सिर्फ़ 1 ज़्यादा है।

यही पूरी सीढ़ी का फ़ासला तय करता है। यहाँ पूरी सीढ़ी एक साथ देखो — 1, 5, 9, 13, 17 और 21। और सबसे नीचे की सीढ़ी 1 है, जिसे पहला खिलाड़ी अपनी पहली ही चाल में बोल सकता है। उसके बाद हर चाल अपने आप तय है — वो जितना जोड़ें, तुम उतना जोड़ो कि दोनों मिलाकर 4 बन जाए। पूरी बाज़ी ऐसे चलती है — तुम 1, वो 4, तुम 5, वो 8, तुम 9, वो 12, तुम 13, वो 16, तुम 17, वो 20, और तुम 21।

यानी 223317 तरीकों वाला पूरा खेल सिर्फ़ 6 संख्याओं से तय हो जाता है, और पहला खिलाड़ी हमेशा जीत सकता है। तुम्हें लगेगा कि जीतने के लिए हर बार सबसे ज़्यादा जोड़ना चाहिए। शुरू में तुमने यही किया था। ऊपर वाली कतार देखो — तुमने 3, 8, 12, 16 और 20 बोला, और इनमें 1 भी सीढ़ी नहीं है। अब नीचे देखो — जीतने वाले ने 5, 9, 13, 17 और 21 बोला, और कई बार उन्होंने सबसे छोटी चाल चली।

ज़्यादा जोड़ना नहीं, सही जगह पहुँचना जीत है। अब दूसरा खेल। इसमें पहली चाल में 1 से लेकर 10 तक कुछ भी बोल सकते हो, और उसके बाद हर बार 1 से 10 तक कुछ भी जोड़ सकते हो। और इस बार जो 99 बोल दे, वो जीता। अब सीढ़ियों का फ़ासला कितना होगा? वही तरीका लगाओ — यहाँ चाल 10 तक जा सकती है, तो फ़ासला उससे 1 ज़्यादा, यानी 11।

99 से 11-11 करके नीचे उतरो — 88, 77, 66, 55, 44, 33, 22 और 11। इस सीढ़ी की सबसे नीचे वाली संख्या 11 है। और पहला खिलाड़ी ज़्यादा से ज़्यादा 10 ही बोल सकता है। यानी वो पहली चाल में सीढ़ी पर चढ़ ही नहीं सकता। वो जो भी बोलें, दूसरा खिलाड़ी उसे 11 तक पूरा कर सकता है — और वहाँ से सीढ़ी उसकी हो गई। तो इस खेल में दूसरा खिलाड़ी जीतता है।

शायद तुम सोच रहे थे कि जो पहले चले वही जीतता है — ये बात हर खेल में सही नहीं होती। दोनों खेलों में हमने आख़िर कितनी चीज़ें इस्तेमाल कीं? सिर्फ़ 2 — लक्ष्य, और सबसे बड़ी चाल से 1 ज़्यादा। ये दोनों यहाँ इस ख़ाके में रख दो। यहाँ इस ख़ाने में लक्ष्य रखो और उसी दूसरी संख्या से भाग लगाओ। 21 पर 4 से भाग लगाने पर 1 बचता है।

नीचे बचा हुआ हिस्सा देखो — वही पहली चाल है। 1 बचा, तो पहला खिलाड़ी 1 बोलकर जीत जाता है। और 99 पर 11 से भाग लगाओ तो कुछ नहीं बचता। कुछ न बचना मतलब पहली चाल के लिए कोई जगह ही नहीं, इसलिए दूसरा खिलाड़ी जीतता है। और जो बचता है वो हमेशा उस फ़ासले से छोटा होता है, इसलिए वो पहली चाल में बोला जा सकता है। भाग का बचा हुआ हिस्सा हमेशा भाग देने वाली संख्या से कम होता है।

ये सिर्फ़ 2 खेलों की बात नहीं है। इस video के लिए 200 अलग लक्ष्य और 12 अलग चाल-सीमाएँ, यानी 2400 खेल पूरे हल किए गए, और भाग वाला तरीका हर 1 में सही निकला। और अगर सबसे बड़ी चाल से ही भाग दे देते, बिना 1 जोड़े, तो उन्हीं 2400 खेलों में 693 बार जवाब ग़लत आता। वो जुड़ने वाला 1 ही सारा काम कर रहा है। अब वही पहला खेल लो, चालें वही 1, 2, 3, पर लक्ष्य 22 कर दो।

तुम्हें लगेगा कि इतने छोटे बदलाव से कुछ नहीं बदलेगा — तो अब कौन जीतेगा? यहाँ फिर से भाग लगाओ — 22 में 4 से भाग देने पर 2 बचता है। तो पहला खिलाड़ी 2 बोलकर जीतता है। देखो, पूरी सीढ़ी 1-1 ऊपर खिसक गई — 2, 6, 10, 14, 18 और 22। जीतने वाला वही रहा, पर पहली चाल बदल गई। और अगर लक्ष्य 20 रख लो, तो 20 में 4 से भाग देने पर कुछ नहीं बचता — पहला खिलाड़ी हार जाता है।

लक्ष्य में 1 का फ़र्क पूरा खेल पलट देता है। अब अपना खेल बनाओ। यहाँ ऊपर वाले ख़ाने में अपनी सबसे बड़ी चाल लिखो, और नीचे वाले में अपना लक्ष्य। शायद तुम सोच रहे हो कि ये तो खेलकर ही पता चलेगा। पर यहाँ दोनों ख़ाने भरो और खेलने से पहले भाग लगाओ — कुछ बचा तो तुम पहले चलो और वही बची हुई संख्या बोलो, कुछ नहीं बचा तो सामने वाले को पहले चलने दो।

1 बनाकर देखते हैं — सबसे बड़ी चाल 5 और लक्ष्य 60, और सवाल वही है कि कौन जीतेगा। फ़ासला 6 हुआ, और 60 में 6 से भाग देने पर कुछ नहीं बचता, इसलिए दूसरा खिलाड़ी जीतेगा। अब लक्ष्य 61 कर दो। 61 में 6 से भाग देने पर 1 बचता है, तो पहला खिलाड़ी 1 बोलकर जीतेगा। खेल बनाने वाला ही तय कर सकता है कि कौन जीते। बार-बार खेलने से सिर्फ़ ये पता चलता है कि कोई जीत रहा है।

पीछे से सोचने पर पता चलता है कि क्यों — और फिर तुम खेलने से पहले ही जवाब जानते हो। पीछे मुड़कर देखो। हमने आगे की चालें नहीं गिनीं, हमने अंत से शुरू किया। पहले वो संख्या ढूँढी जिसके बाद सामने वाला फँस जाता है, फिर उसी सवाल को दोहराकर पूरी सीढ़ी बना ली। ऊपर लिखी सीढ़ी का फ़ासला हमेशा उतना होता है जितनी बड़ी चाल चली जा सकती है, और उससे 1 ज़्यादा — क्योंकि वो जो भी जोड़ें, तुम उसे उतना पूरा कर सकते हो।

और आख़िर में 1 भाग बचता है — लक्ष्य पर उसी फ़ासले से भाग लगाओ, और जो बचे वही पहली चाल है। यही फ़र्क है तुक्के और तरीके में। तरीका पहले से तय होता है, हर चाल पर सोचना नहीं पड़ता, और वो हर ऐसे खेल पर चलता है — जो तुम बना लो उस पर भी।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

The book

Open in a new tab