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Chapter 10 · Conic Sections

एक fixed point से fixed distance, equation में बदली हुई

Circle and parabola14 मिनट

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14 min.

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circle की पूरी definition में सिर्फ़ एक point और एक number है, इसलिए इसकी equation derive नहीं करनी पड़ती: definition distance बताती है, distance formula उसे नापता है, और दोनों को बराबर रखते ही equation मिल जाती है.

मुख्य idea

इस chapter में circle अकेला conic है जिसकी definition में सिर्फ़ एक geometric object का नाम आता है — parabola में एक point और एक line का नाम आता है, ellipse और hyperbola में दो-दो points का — और यही बात derivation में दिखती है: derive करने को कुछ है ही नहीं। Definition 1 कहती है कि centre से distance fixed है, distance formula बताता है कि वह distance है क्या, और दोनों तरफ़ square करते ही काम एक ही पंक्ति में पूरा हो जाता है। यह section असल में जिस चीज़ की जाँच करता है वह उल्टी यात्रा है — हाथ में एक second-degree equation थमा दी जाए और centre और radius पूछे जाएँ — और कहने लायक़ बात यह है कि completing the square कोई अलग से जोड़ी हुई technique नहीं है। यह वही एक पंक्ति वाली derivation है, उल्टी दिशा में चलाई हुई, और ठीक इसीलिए, जब भी वह काम कर सकती है, तब हमेशा काम करती है।

आपको क्या आना चाहिए

  • Definition 1 बताइए और उसकी दोनों सामग्रियों के नाम लीजिए
  • किसी circle की equation उसके centre और radius से derive कीजिए, distance formula से शुरू करते हुए, और बताइए कि squaring वाला step कहाँ इस्तेमाल होता है
  • centre और radius दिए हों तो equation लिखिए, सही signs के साथ
  • खुली हुई second-degree equation से completing the square करके centre और radius वापस निकालिए
  • समझाइए कि completing the square derivation को उल्टी दिशा में दोहरा ही क्यों देती है
  • general equation में unknowns गिनिए और उन्हें सवाल में दी गई conditions की गिनती से मिलाइए
  • किसी अनजान circle के लिए तीन conditions वाला सवाल खड़ा कीजिए और हल कीजिए
  • तय कीजिए कि दिया हुआ point दिए हुए circle के अंदर है, बाहर है, या उस पर है
  • पहचानिए कि कब निकला हुआ right-hand side positive number नहीं बनता, और बताइए कि तब वह equation किसका वर्णन करती है

जानने लायक़ शब्द

शब्दएक पंक्ति में अर्थहिंदी / क्षेत्रीय समकक्षपहली बार कहाँ
circleकिसी plane के points का वह set जो उसी plane के एक fixed point से एक ही fixed distance पर होंवृत्तइसी chapter में छपा (Definition 1, §10.3, p. 179)
centre of the circleवह fixed point जिससे definition नापती हैवृत्त का केंद्रइसी chapter में छपा (§10.3, p. 179)
radiusवह fixed distance, और वह कोई भी segment जो उसे साकार करता हैत्रिज्याइसी chapter में छपा (§10.3, p. 179)
distance formulaदो नाम लिए हुए points के बीच के segment की लंबाई देने वाला व्यंजकदूरी सूत्रइसी chapter में छपा (§10.3, p. 180)
completing the squareकिसी quadratic को इस तरह दोबारा लिखना कि squared binomial दिखने लगेपूर्ण वर्ग बनानाDefinition 1 में इसका काम बताया गया है पर उसे नाम नहीं दिया गया; यह वाक्यांश ख़ुद Example 3, §10.3, p. 180 पर छपा है
interceptवह लंबाई जो कोई curve किसी coordinate axis पर काटती हैअंतःखंडइसी chapter में छपा (Exercise 10.1 q13, p. 181)
point circlecircle वाले रूप की equation, जब उसका radius शून्य हो, तब जिस एक-point वाली आकृति का वर्णन करती हैबिंदु वृत्तयहाँ जोड़ा गया नाम; इस chapter में छपा नहीं है
general second-degree formsquares पूरे किए जाने से पहले circle की equation जो खुला हुआ रूप लेती हैव्यापक द्विघात रूपयहाँ जोड़ी गई भाषा, इस chapter में छपी नहीं है

हिंदी column में standard हिंदी गणितीय शब्दावली दी गई है। इस textbook का हिंदी संस्करण मैंने नहीं देखा, इसलिए इसे उस संस्करण की हूबहू भाषा नहीं, आम प्रचलित इस्तेमाल मानिए।

लोग कहाँ चूकते हैं

  • "Completing the square एक रटी हुई trick है।" यह (x − h)² के expansion को उल्टा चलाना है, और वह expansion सबसे पहले आया ही p. 180 वाली derivation से है। सीधा expansion और उल्टी completion एक ही screen पर दिखाइए, और "trick" ग़ायब हो जाती है।
  • "centre (−3, 2) से (x − 3)² + (y + 2)² बनता है।" इस section की सबसे आम ग़लती। template centre के coordinates घटाता है, इसलिए negative coordinate से plus का sign बनता है। Example 2 है ही इसीलिए, कि ठीक यही हो।
  • "जिस भी equation में x² और y² हों वह circle है।" दो शर्तें चाहिए: x² और y² के coefficients बराबर हों, और squares पूरे करने के बाद जो बचे वह positive हो। item 9 (Exercise 10.1 का) पहली शर्त पर तब तक खरा नहीं उतरता जब तक आप पूरे को भाग न दे दें; item 5 का radius दूसरी शर्त पर गिर सकता है। ध्यान रहे कि §10.3, pp. 179–181 इनमें से किसी भी शर्त को कहीं नहीं लिखता — page images पर जाँचा गया — यानी जिस student ने सिर्फ़ यह section पढ़ा है उसे यह बताया ही नहीं गया।
  • "दो points एक circle तय कर देते हैं।" तीन numbers अनजान हैं, इसलिए तीन स्वतंत्र conditions चाहिए। Example 4 दो points और centre के लिए एक line देता है; item 10 से 14 तक हर item अलग सामग्री के साथ वही हिसाब है। students से हिसाब लगाने से पहले गिनवाना — असल बात यही है।
  • "r² उन चीज़ों में है जिन्हें सबसे पहले हल किया जाता है।" Example 4 में वह सबसे आख़िर में मिलता है, क्योंकि दोनों point-conditions को घटाने से वह हट जाता है। elimination खड़ा कीजिए, r² अपने आप सँभल जाता है।
  • "radius कोई भी व्यंजक हो सकता है।" item 5 का √(a² − b²) सिर्फ़ a और b पर एक शर्त के तहत ही real है, और वह शून्य भी हो सकता है। circle वाले रूप की हर equation अपने आप circle नहीं होती।
  • "किसी point को जाँचने के लिए diagram चाहिए।" इसके लिए एक substitution और एक तुलना चाहिए। item 15 ही पूरा तरीक़ा है।

Worked answers: Exercise 10.1 · Exercise 10.2 · Exercise 10.3 · Exercise 10.4 · Miscellaneous Exercise · this video explains Exercise 10.1 Q1, Exercise 10.1 Q2, Exercise 10.1 Q3, Exercise 10.1 Q4, Exercise 10.1 Q5, Exercise 10.1 Q6, Exercise 10.1 Q7, Exercise 10.1 Q8, Exercise 10.1 Q9, Exercise 10.1 Q10, Exercise 10.1 Q11, Exercise 10.1 Q12, Exercise 10.1 Q13, Exercise 10.1 Q14, Exercise 10.1 Q15

पूरा transcript2,045 शब्द

एक cone को काटने से 4 curves निकलती हैं, और चारों की अपनी definition है। parabola की definition में एक point और एक line का नाम आता है; ellipse और hyperbola की definition में 2-2 points आते हैं। circle की definition में सिर्फ़ एक चीज़ का नाम है: एक point। एक point और एक number, बस इतनी ही पूरी definition है। इसीलिए इन 4 में circle वह case है जहाँ derive करने को कुछ नहीं है।

definition पहले से बता देती है कि distance क्या है, और distance formula पहले से बताता है कि distance नापते कैसे हैं। दोनों को साथ रखो, और equation एक line में मिल जाती है। इस topic में सीखने लायक असली काम उल्टी यात्रा है: equation हाथ में हो, और उससे centre और radius निकालने हों। वही हम आगे करेंगे। definition को पहले एक तस्वीर की तरह देखो। एक point लगाओ और उसे centre कहो।

अब उन सारे points को लगाओ जो इस centre से एक fixed distance पर हैं। 3 points लो या बहुत सारे, हर एक की centre से लंबाई एक जैसी है, और यही एक बात पूछी जा रही है। इस fixed distance का नाम radius है। ध्यान दो कि इस definition में क्या नहीं है: कोई axes नहीं, कोई coordinates नहीं, कोई equation नहीं। circle points का एक set है, जिसे सिर्फ़ distance की तुलना से चुना गया है।

यही बात आगे काम आएगी। equation एक बिल्कुल अलग तरह की चीज़ है, और किसी भी equation की सही या ग़लत होने का फ़ैसला यही set करेगा: equation वही points चुने जो definition चुनती है, तभी वह सही है। अब इस तस्वीर को axes पर रखते हैं। centre कहीं है; उसके 2 coordinates को h और k कहो। circle पर कोई भी point कहीं है; उसके coordinates को x और y कहो।

पहले से याद करो: 2 points के बीच distance नापने का एक formula है। दोनों points के बीच एक right angle बनाओ, तो triangle की 2 legs हैं x minus h और y minus k। distance formula कहता है कि distance का square इन दोनों legs के squares का जोड़ है। यानी distance है: x minus h का square plus y minus k का square, और इस पूरे का square root।

definition कहती है कि यह distance r है, और formula कहता है कि यह distance क्या है। दोनों को बराबर रखो: x minus h का square plus y minus k का square, उसका square root, बराबर r। यही equation है, बस थोड़ी सफ़ाई बाक़ी है। दोनों तरफ़ square करो, और root हट जाता है: x minus h का square plus y minus k का square, बराबर r square। square करना एक ऐसा step है जिस पर शक करना चाहिए, क्योंकि यह बाहर की चीज़ें अंदर आने दे सकता है।

जैसे x बराबर 3 को square करो तो x square बराबर 9 मिलता है, और उसे x बराबर minus 3 भी पूरा करता है, जो पहली equation में था ही नहीं। यहाँ कुछ भी बाहर से अंदर नहीं आता, और उसकी वजह है। distance कभी negative नहीं होती, और r भी negative नहीं है। जब दोनों तरफ़ की चीज़ें negative नहीं हैं, तो square करने के बाद root वापस लेने पर वही equation मिलती है।

तो यहाँ square करना मुफ़्त है। हमेशा मुफ़्त नहीं होता, और फ़र्क सिर्फ़ एक sign का है: अगर दाईं तरफ़ negative हो सकती, तो यही step ग़लत जवाब भी अंदर ले आता। जो बचा है वह हमारा template है: बाईं तरफ़ 2 squares का जोड़, दाईं तरफ़ r square। इसमें 3 खाली जगहें हैं: h, k और r। centre को origin पर रखो तो h और k दोनों 0 हो जाते हैं, और बचता है x square plus y square बराबर r square।

radius 5 हो तो x square plus y square बराबर 25। इस case को अलग से कहने की एक वजह है: यह सबसे सादा रूप है, और आगे उल्टी यात्रा में हम हर equation को इसी तरह के सादे रूप की ओर ले जाएँगे। अब वह हिस्सा जिसमें लगभग हर कोई फँसता है। centre minus 3, 2 पर है और radius 4 है। सोचो: bracket के अंदर x plus 3 आएगा, या x minus 3?

template centre के coordinates को घटाता है। x minus h में h की जगह minus 3 रखो, तो x minus minus 3, यानी x plus 3। इसलिए negative coordinate bracket के अंदर plus sign बन जाता है। पूरी equation है: x plus 3 का square plus y minus 2 का square बराबर 16। 16 इसलिए, क्योंकि दाईं तरफ़ radius नहीं, radius का square आता है। ग़लती यह होती है कि centre का अपना sign सीधे bracket में लिख दिया जाए: x minus 3।

वह एक बिल्कुल अलग circle की equation है, जिसका centre 3, 2 पर है। centre हमेशा template में घटाकर जाता है। एक और: centre 0, 2 और radius 2। x minus 0 यानी सिर्फ़ x, और y minus 2। तो equation है x square plus y minus 2 का square बराबर 4। अब उल्टी यात्रा। तुम्हें equation दी गई है: x square plus y square plus 8x plus 10y minus 8 बराबर 0, और पूछा गया है centre और radius।

शायद तुम्हें लग रहा हो कि इसमें कुछ भी template जैसा नहीं दिखता, और यह सही लग रहा है, क्योंकि brackets खोल दी गई हैं। तो हम brackets वापस बनाएँगे, एक group एक बार में। x वाले terms लो: x square plus 8x। यह x plus 4 का square बनने के लिए 16 और माँगता है, क्योंकि x plus 4 का square है x square plus 8x plus 16। y वाले terms लो: y square plus 10y।

यह y plus 5 का square बनने के लिए 25 माँगता है। जो 16 और 25 हमने बाईं तरफ़ जोड़े, वही दाईं तरफ़ भी जोड़ने होंगे, और minus 8 को उधर ले जाओ तो plus 8 बनता है। 8 plus 16 plus 25 बराबर 49। अब यह template है। centre minus 4, minus 5 पर, और radius 7, क्योंकि 49 का square root 7 है। sign फिर उल्टा: bracket में plus 4 है, इसलिए centre का coordinate minus 4।

यह काम किया क्यों? क्योंकि यह कोई अलग तरकीब नहीं है; यह वही derivation उल्टी दिशा में है। x minus h का square खोलो: x square minus 2hx plus h square। वे terms वहीं से आए थे। इसलिए खुली हुई equation में x का coefficient हमेशा minus 2h होता है। इसलिए centre निकालने का नियम: x का coefficient लो, उसे आधा करो, और sign उल्टा कर दो। 8x में coefficient 8 है; आधा 4, sign उल्टा, तो h बराबर minus 4।

y के लिए वही: 10 का आधा 5, sign उल्टा, k बराबर minus 5। तो completing the square रटने वाली तरकीब नहीं है। आगे की दिशा में expansion है, पीछे की दिशा में completion, और दोनों एक ही identity के 2 रुख़ हैं। शायद तुम सोच रहे हो कि यह तरीका हर equation पर चलेगा। नहीं, यह हमेशा नहीं चलता, और जहाँ रुकता है वही बात अक्सर बताई नहीं जाती।

यह 3 तरह से शिकायत करता है। अगर x square और y square के coefficients अलग-अलग हैं, तो कोई circle है ही नहीं; वह कोई और आकार है। अगर कोई xy वाला term है, तब भी वही। और अगर कोई squared term है ही नहीं, तो पूरा करने को कुछ है ही नहीं। अब यह देखो: 2x square plus 2y square minus x बराबर 0। दोनों squared coefficients 2 हैं, 1 नहीं।

क्या यह circle है? हाँ, है, क्योंकि दोनों coefficients बराबर हैं। इलाज यह है कि शुरू करने से पहले पूरी equation को 2 से भाग दो। तब मिलता है x square plus y square minus x बटा 2 बराबर 0। अब x का coefficient minus 1 बटा 2 है; आधा करो और sign उल्टा, तो h बराबर 1 बटा 4। y का coefficient 0 है, तो k बराबर 0। square पूरा करने पर दाईं तरफ़ 1 बटा 16 बचता है, इसलिए radius 1 बटा 4।

एक और condition है, और वह आख़िर में बचने वाले number के बारे में है। square पूरा करने पर दाईं तरफ़ जो बचता है, वह r square माना जाता है, लेकिन ज़रूरी नहीं कि वह positive हो। positive हो तो circle है। 0 हो तो सिर्फ़ एक point है, क्योंकि centre से 0 distance पर सिर्फ़ centre ही है। और negative हो तो कुछ भी नहीं है, क्योंकि कोई भी distance negative नहीं होती।

radius कभी-कभी number नहीं, expression होता है। जैसे radius हो a square minus b square का square root। यह तभी असली number है जब a square, b square से कम न हो; और जब a square और b square बराबर हों, तो radius 0 है और equation सिर्फ़ एक point बताती है: minus a, minus b। यह वही degenerate case है जो vertex से गुज़रने वाली cutting plane देती थी, बस अब वह algebra में आ पहुँचा है।

circle के आकार की हर equation circle नहीं होती। अब फिर दूसरी दिशा: तुम्हें conditions दी गई हैं और circle पूछी गई है। यहाँ मन करता है कि सीधे हिसाब शुरू कर दें, लेकिन हिसाब लगाने से पहले गिनो। template में 3 unknowns हैं: centre के लिए h और k, और radius के लिए r। इसलिए 3 अलग-अलग conditions चाहिए, उससे कम नहीं। circle पर 2 points, plus एक line जिस पर centre होना चाहिए, यह 3 हैं।

circle points 2, minus 2 और 3, 4 से गुज़रती है, और centre line x plus y बराबर 2 पर है। दोनों points को template में रखो तो 2 equations बनती हैं, दोनों में r square है। एक को दूसरी से घटाओ। r square कट जाता है, h square और k square भी कट जाते हैं, और बचता है 2h plus 12k बराबर 17। तीसरी condition है h plus k बराबर 2।

दोनों को साथ solve करो: k बराबर 1.3 और h बराबर 0.7। हम यहाँ decimal में लिख रहे हैं। अब r square: 2 minus 0.7 का square plus minus 2 minus 1.3 का square, यानी 1.69 plus 10.89, बराबर 12.58। ध्यान दो, r square सबसे आख़िर में मिला; घटाने वाले step ने उसे शुरू में ही हटा दिया था। 3 conditions हमेशा 1 जवाब नहीं छोड़तीं। radius 5 है, centre x-axis पर कहीं है, और circle point 2, 3 से गुज़रती है।

सोचो: ऐसी कितनी circles हो सकती हैं? centre h, 0 है, तो condition बनती है 2 minus h का square plus 9 बराबर 25। यानी 2 minus h का square बराबर 16, और इसके 2 जवाब हैं: h बराबर 6 या h बराबर minus 2। 2 अलग circles, दोनों का radius 5, दोनों उस point से गुज़रती हैं, दोनों के centre उसी axis पर। जो सवाल यहाँ 'वह circle' पूछता है, वह ऐसी चीज़ माँग रहा है जो है ही नहीं।

एक और तरह की condition: circle origin से गुज़रती है और axes को 4 और 6 पर काटती है। यानी वह 0, 0 से, 4, 0 से और 0, 6 से गुज़रती है: 3 points, तो एक ही circle। उसका centre 2, 3 पर है और equation x square plus y square minus 4x minus 6y बराबर 0। constant term 0 है, और यही origin से गुज़रने का मतलब है: x और y की जगह 0 रखो तो equation पूरी हो जाती है।

और 3 points हमेशा circle नहीं देते; अगर तीनों एक ही सीधी line पर हों, तो उनसे कोई circle नहीं गुज़रती। आख़िर में इस पूरे topic का सबसे आसान सवाल। circle है x square plus y square बराबर 25, और point है minus 2.5, 3.5। बिना बनाए सोचो: यह point circle के अंदर है, बाहर है, या circle पर है? तुम्हें तस्वीर नहीं चाहिए, एक substitution चाहिए। centre से point तक की squared distance निकालो और उसकी तुलना r square से करो: छोटी हो तो अंदर, बराबर हो तो circle पर, बड़ी हो तो बाहर।

यहाँ squared distance है 6.25 plus 12.25 बराबर 18.5, और 18.5, 25 से छोटा है। तो point अंदर है। बस यही topic है: एक definition, एक formula, और algebra की एक line। एक point और एक number से equation आगे की दिशा में बनती है। और जो असली काम बचता है, वह उसी line को उल्टा पढ़ना सीखना है: coefficient को आधा करो, sign उल्टा करो, और आख़िर में बचे number को देखो कि circle है, point है, या कुछ भी नहीं।

यह कहाँ बैठता है

यह उन notes से लिया गया है जिनसे हर video बनी है, पढ़ने के क्रम से नहीं — ये वे ideas हैं जिन पर यह टिका है, और वे जो आगे चलकर इस पर टिकते हैं.

किस पर टिका है

आगे फिर कहाँ आता है

इसके ठीक पहले और ठीक बाद

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